江苏连云港市海滨中学2024-2025学年八上数学第9周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏连云港市海滨中学2024-2025学年八上数学第9周阶段性训练模拟练习一．选择题（共6小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合．若∠OEC＝136°，则∠BAC的大小为（）A．44° B．58° C．64° D．68°2．如图，数轴上点A对应的数是1，点B对应的数是2，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．1.4 B． C． D．2.43．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，CN的长为（）A．7 B． C． D．154．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.55．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5 B．2 C．4 D．36．如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如果AB＝2，BC＝4，则AF的长是（）A．2 B．2.5 C．2.8 D．3二．填空题（共10小题）7．如图，一个高16m，底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为长．8．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．9．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为．10．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝5，AD＝4．则边AC的取值范围是．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝38°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝．12．如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为．13．若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝9cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是．15．如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP＝BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．16．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．三．解答题（共11小题）17．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x．（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x．因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝．（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程；（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由可得ad＝bc）18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0）（1）在AC上是否存在点P，使得PA＝PB？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（2）若点P恰好在△ABC的角平分线上，请求出t的值，说明理由．19．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB＝180°．∵∠EAC+∠CAB＝180°，∴∠EAC＝∠BDC．又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AE+AB，∴BE＝BD+AB，∴BD+AB＝CB．（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（3）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝，CB＝．20．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）已知AC＝8，求点C到BE之间的距离．21．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？22．在长方形纸片ABCD中，AB＝8，P是边BC上一点，BP＝6．将纸片沿AP折叠后，点B的对应点记为点O，PO的延长线恰好经过该长方形的顶点D．（1）试判断△ADP的形状，并说明理由；（2）求AD长．23．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．24．已知，△ABC是边长8cm的等边三角形，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动，运动时间为t（1）如图1，t＝s时，△PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q分别以1cm/s和2cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．25．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：BE＝CF；（2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长．26．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．27．问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．求证：△ABD≌△ACE；探索：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD2、BD2、CD2之间满足的数量关系，并证明你的结论；应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝6，CD＝2，求AD的长．

参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【解答】解：如图连接OB、OC．在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC，∴OB＝OC，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB＝OC，∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA，设∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA＝x．∵∠OEC＝136°，EO＝EC，∴∠EOC＝∠ECO＝（180°﹣∠OEC）＝22°，∴∠OBC＝∠OCE＝22°，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴4x+2×22°＝180°，∴x＝34°，∴∠BAC＝2x＝68°，故选：D．2．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2﹣1＝1，BC＝1，由勾股定理得，AC＝＝，则点D表示的数为+1．故选：C．3．【解答】解：∵将长方形ABCD沿直线MN折叠，使点C与点A重合，∴AN＝CN，设CN＝x，则AN＝CN＝x，∵AB＝8，∴BN＝8﹣x，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，在Rt△CBN中，CN2＝NB2+BC2，又∵BC＝6，∴x2＝（8﹣x）2+62，解得，x＝，故选：B．4．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，在AB上取一点G，使AG＝AF，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴FE＝EG，∴CE+EF＝CE+EG，则当点C，E，G三点在一条直线且CG垂直AB时，CG的值最小，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CG，∴3×4＝5CG，∴CG＝，∴CE+EF的最小值为，故选：C．5．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．6．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACB，由翻转变换的性质可知，∠FCA＝∠ACB，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC，在Rt△CDF中，FC2＝DF2+CD2，即FA2＝（4﹣AF）2+22，∴AF＝2.5，故选：B．二．填空题（共10小题）7．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，设等楼梯的长为xm，∵圆柱高16m，底面周长8m，∴x2＝（1×8+4）2+162＝400，∴登梯至少＝20（m），故答案为：20m．8．【解答】解：作DD′⊥AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2，即DQ+PQ的最小值为2，故答案为：2．9．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△AnBnAn+1的边长为2n﹣1．故答案为：2n﹣1．10．【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB．在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+EC，∴8﹣5＜AC＜8+5，即3＜AC＜13，故答案为：3＜AC＜13．11．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝38°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝52°．由折叠的性质可知：DA＝DP＝DB，∠DCP＝∠DCB．又∵△ABC为直角三角形，∴DC＝AB，∴DC＝DA＝DB，∴∠ACD＝∠A＝38°，∠DCB＝∠B＝52°，∴∠DCP＝52°，∴∠ACP＝∠DCP﹣∠ACD＝52°﹣38°＝14°．故答案为：14°．12．【解答】解：过点P作FG⊥AD交AD于F，交BC于G，∵AD∥BC，∴FG⊥BC，∵AP是∠BAD的角平分线，PF⊥AD，PE⊥AB，∴PF＝PE＝1，∵BP是∠ABC的角平分线，PE⊥AB，PG⊥BC，∴PG＝PE＝1，∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG＝2，故答案为：2．13．【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是＝；当5是斜边时，则第三边是3．故答案为：和3．14．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BEA＝90°，又∵∠FBD+∠BDF+∠BFD＝180°，∠FAE+∠FEA+∠AFE＝180°，且∠BFD＝∠AFE，∴∠FBD＝∠FAE，又∵∠ABC＝45°，∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，且∠ADC＝∠BDF＝90°，∠FBD＝∠FAE，∴△ADC≌△BDF（ASA）∴BF＝AC＝9cm，故答案为：9cm．15．【解答】解：将长方体展开，连接A、P，∵长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP＝BC，∴AC＝4cm，PC＝BC＝3cm，根据两点之间线段最短，AP＝＝5（cm）．故答案为：5．16．【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC＝10，S△ABC＝25，∴×10•BE＝25，解得BE＝5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB＝AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N＝BE＝5，即BM+MN的最小值是5．故答案为：5．三．解答题（共11小题）17．【解答】解：（1）∵a﹣x+b﹣x＝c，∴x＝，故答案为：；（2）∵S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC，∴，解得x＝，即正方形IECF的边长是；（3）由（1）和（2）可得，＝，∴2ab＝（a+b﹣c）（a+b+c），∴2ab＝[（a+b）﹣c][（a+b）+c]，∴2ab＝（a+b）2﹣c2，∴2ab＝a2+2ab+b2﹣c2，∴c2＝a2+b2，∴勾股定理成立．18．【解答】解：（1）如图1，设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；（2）当点P在点C或点B处时，一定在△ABC的角平分线上，此时t＝2或t＝3.5秒；当点P在∠ABC的角平分线上时，作PM⊥AB于点M，如图2，此时AP＝2t，PC＝PM＝4﹣2t，△APB的面积＝PM•AB＝BC•AP，∴AP：AB＝PM：BC，即：2t：5＝（4﹣2t）：3，解得：t＝；当点P在∠CAB的平分线上时，作PN⊥AB，如图3，此时BP＝7﹣2t，PN＝PC＝（2t﹣4），△APB的面积＝PN•AB＝BP•AC，∴BP：BA＝PN：AC，即：（7﹣2t）：5＝（2t﹣4）：4，解得：t＝，综上，当t＝2s或3.5s或s或s时，点P在△ABC的角平分线上．19．【解答】解：（1）如图（2）：AB﹣BD＝CB．理由如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AB﹣AE，∴BE＝AB﹣BD，∴AB﹣BD＝CB．如图（3）：BD﹣AB＝CB．理由如下：：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AE﹣AB，∴BE＝BD﹣AB，∴BD﹣AB＝CB．（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，∴综合了第一个图和第二个图两种情况，若是第1个图：由（1）得：△ACE≌△DCB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴∠AEC＝45°＝∠CBD，过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．BD＝BH，∴BH＝DH＝1．直角△CDH中，∠DCH＝30°，∴CD＝2DH＝2，CH＝．∴CB＝+1；若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H．解法类似上面，CD＝2，得出CB＝﹣1；故答案为：2，+1或﹣1．20．【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴CD＝CE，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）解：由（1）可知△ACD≌△BCE，∴S△ACD＝S△BCE，设C到BE的距离为h，则AD•CO＝BE•h，∴h＝CO，∵AO平分∠BAC，∴CO＝BC＝AC＝4，即点C到BE的距离为4．21．【解答】解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO＝（米）；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），根据勾股定理：OB′＝＝2（米），所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．22．【解答】解：（1）△ADP为等腰三角形；理由：由翻折可得∠APB＝∠APD，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DAP＝∠APB，∴∠DAP＝∠APD，∴AD＝DP，∴△ADP为等腰三角形；（2）由翻折可知PO＝BP＝6，AO＝AB＝8，∠AOD＝∠AOP＝∠B＝90°，设AD的长为x．∵AD＝DP，∴OD＝x﹣6，在直角△AOD中有AD2＝AO2+OD2，∴x2＝64+（x﹣6）2，解得x＝，即AD的长为．23．【解答】解：（1）由题意可得，AE＝AC＝5，∠EAC＝90°，则△EAC的面积是：（cm2），即四边形ABCD的面积为12.5cm2，故答案为：12.5；（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，在△GFH和△NFO中，，∴△GFH≌△NFO（SAS），∴FH＝FO，∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，∴HM＝OM，在△HFM和△OFM中，，∴△HFM≌△OFM（SSS），∵△OFM的面积是：cm2，∴△HFM的面积是12.5cm2，∴四边形HFOM的面积是25cm2，∴五边形FGHMN的面积是25cm2．24．【解答】解：当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，而∠BPC＝90°，则∠BCP＝30°，∴BP＝BC＝4，所以t＝4（s），故答案为4；（2）当∠BPQ＝90°时，BP＝0.5BQ，而BP＝8﹣2t，BQ＝2t，∴8﹣t＝0.5×2t，所以t＝4；当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，∴8﹣t＝2×2t，所以t＝；所以t＝4或；（3）相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，∴∠G＝∠AEP，在△EAP和△GCQ，，∴△EAP≌△GCQ（AAS），∴PE＝QG，∴△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．25．【解答】（1）证