数学素材：数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨“思考”：如果用数学归纳法证明某命题对于全体正整数都成立,应取n0为何值?为什么？答：n0＝1.第一个正整数为1.习题4.11．证明：（1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．（2)假设当n＝k时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋（2k－1)＝k2,那么当n＝k＋1时，即1＋3＋5＋…＋(2k－1）＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝（k＋1）2，就是说，当n＝k＋1时，等式成立．根据(1）(2）可知等式对任何的n∈N＋都成立．2．证明：（1)当n＝1时，左边＝12＝1,右边＝eq\f(1×2×3,6）＝1,等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立,就是12＋22＋32＋…＋k2＝eq\f(k（k＋1)（2k＋1），6)。则当n＝k＋1时,12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝eq\f(k（k＋1）(2k＋1）,6)＋（k＋1）2＝eq\f(k（k＋1）(2k＋1)＋6(k＋1)2,6）＝eq\f（(k＋1)（2k2＋7k＋6）,6）＝eq\f（（k＋1)［（k＋1)＋1］[2（k＋1）＋1]，6）。就是说,当n＝k＋1时,等式成立．根据(1)（2)，可知等式对于任何的n∈N＋都成立．3．证明：（1）当n＝1时,左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立．（2）假设当n＝k时，等式成立,就是1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2，则当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)［3(k＋1)＋1］＝k（k＋1)2＋（k＋1)［3（k＋1)＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1)（3k＋4)＝［k(k＋1)＋（3k＋4)](k＋1）＝（k2＋4k＋4）(k＋1)＝(k＋1）[(k＋1）＋1]2。就是说，当n＝k＋1时，等式成立．根据(1）（2），可知等式对于任何的n∈N＋都成立．4．证明：（1）当n＝1时,x2－1＋y2－1＝x＋y能被x＋y整除．(2)假设当n＝k时，等式成立，就是x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．则当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋y2k＋1－x2y2k－1＋x2y2k－1＝x2（x2k－1＋y2k－1)＋（y2－x2)y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1）＋(y＋x)（y－x）y2k－1，x2（x2k－1＋y2k－1）,(y＋x)(y－x）y2k－1都能被x＋y整除．就是说，当n＝k＋1时，等式成立．根据(1）（2），可知命题对于任何的n∈N＋都成立．5．解：四边形有两条对角线，五边形有5条对角线，…，凸n边形共有f（n）＝eq\f(1,2)n(n－3）条对角线．证明如下：(1）当n＝4时，f（4)＝2显然成立．（2)假设当n＝k时，等式成立,就是f（k）＝eq\f（1,2）k(k－3）．当凸k边形A1A2…Ak增加一个顶点Ak＋1成为凸k＋1边形时,由顶点Ak＋1与另外的(k－2)个顶点连线，可增加(k－2)条对角线,同时原来的一条边A1Ak变为了对角线．这样，共增加了(k－1）条对角线,所以凸k＋1边形的对角线条数共有f(k＋1）＝eq\f（1，2)k(k－3）＋k－1＝eq\f(1，2)(k2－k－2)＝eq\f(1，2）（k＋1)（k－2）＝eq\f（1，2)（k＋1)[（k＋1）－3]．就是说，当n＝k＋1时，命题成立．根据（1）(2）,可知命题对于任何的n∈N＋都成立,即凸n边形共有f(n）＝eq\f(1,2）n(n－3）条对角线．6．解:这n条直线将平面分成了eq\f（1,2)(n2＋n＋2)个区域．证明如下：(1)当n＝1时，一条直线把平面分为两块，而eq\f（1,2）（12＋1＋2)＝2显然成立．(2）假设当n＝k时，等式成立,就是k条直线将平面分为eq\f（1，2）(k2＋k＋2)块．当n＝k＋1时，k＋1条直线中的k条直线把平面分成了eq\f（1，2)(k2＋k＋2）块．第k＋1条直线被这k条直线分成了k＋1段．每段把所在的平面块又分成了两块，因此增加了k＋1个平面块．所以k＋1条直线把平面分成了eq\f（1，2)(k2＋k＋2）＋k＋1＝eq\f(1,