专题01运算技巧（原卷版）

专题01运算技巧算术数和有理数的衔接在小学阶段，学生基本接触的是算术数(正整数、分数、小数、负数)，这些数都是随学生的年龄特点从现实生活中得出的。进了初中后，把数的范围扩大到了有理数域，同时数的运算也相应的从小学中的加、减、乘、除四则运算上升到了乘方、开方运算。这是对数的认识的一个飞跃。对于算术方法的四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。近年来上小升初衔接班发现很多同学基本的简便运算都会，但是稍微有点灵活就下不了笔，究其原因不难发现这些同学都有“为了简便而简便”（老师要求要简便，本来小学的简便运算也就那几种，就算掌握得不是很好也基本能解决绝大部分问题）。通过本专题希望大家能多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，在我们的头脑里形成简算的数学思想。1．运算定律1）加法交换律：加法结合律：3）乘法交换律：乘法结合律：4）乘法分配律：乘法分配律的逆用：2．运算性质1）减法的性质：2）除法的性质：3）商的“不变性”，即若，则，；【题型一】活用运算定律（凑整思想）【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律达到凑整的目的。【典题1】（2022·全国·六年级专题练习）计算：(1)9+99+999+9999(2)71+73+69+74+68+70+69（3）999999×999999+1999999【典题2】（2021·四川成都·六年级期末）计算题。（1）

（2）（3）125×32×25

（4）×2000－【变式练习】1．（2021·江苏宿迁·六年级期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。18.6－3.89＋2.4－6.11

÷9＋×

（）×23＋0.4×（2.5×12.5）

×[1÷（－）]

2．（2022·全国·小升初模拟）简便计算:39×＋148×＋48×3．（2021·全国·六年级专题练习）下面各题怎样算简便就怎样算。

4．（2022·山东·德州六年级期中）用你喜欢的方法计算。（能简算的一定要简算）

【题型二】活用运算定律和性质（凑整思想）【解题技巧】灵活掌握减法的性质、除法的性质及商的不变性【典题1】（2022·全国·四年级专题练习）用简便方法计算下面各题。（1）900－245－155

（2）249－（93＋49）

（3）569－72－69（4）811－23－77

（5）403－174－26

（6）577－（177＋58）【典题2】（2022··成都高新区六年级期中）用简便方法计算。（1）5000÷125÷8（2）（3）（＋7）÷（＋）

（4）(96×48×91）÷(32×24×13）【变式练习】1．（2022·全国·四年级专题练习）用简便方法计算。3000÷125÷82．（2022·全国·四年级专题练习）用简便方法计算下列各题。600÷24

400÷163．（2022·全国·四年级专题练习）简便计算。328－（284－172）4．（2022·全国五年级期末）计算下面各题，能简算的要简算。＋（－）2－－－＋－【题型三】换元法【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。【典题1】（2022·全国六年级培优）（－＋…－＋）×（1－＋－＋－…＋）－（1－＋－＋－…＋－）×（－＋…－）=_____．【典题2】（2022·四川·成都市实验外国语学校附属小学小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。【变式练习】1．（2022·全国·六年级竞赛）=______2．（2022·全国·六年级）计算题。（1＋）×（）－（1＋＋＋）×（）3.计算题:【题型四】巧分组法【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。【典题1】（2022·全国·四年级专题练习）用简便方法计算。（1）(100＋99－98－97＋96＋95－94－93…＋4＋3－2－1（2）100－98＋96－94＋92－90＋…＋8－6＋4－2【典题2】（2022·全国六年级月考）计算：【变式练习】1．（2022·全国·四年级专题练习）用简便方法计算。50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－12．计算：____________________．3．（2022全国·六年级竞赛）=________．【题型五】应用公式【解题技巧】平方差公式：完全平方公式：，【典题1】（1）（2021·四川青羊·树德中学八年级开学考试）计算：＝___．（2）（2021·湖南汉寿·七年级期中）计算：799×801﹣8002＝_____．【典题2】（2022·河南·七年级期末）用简便方法计算下列各式：(1)；(2)．【变式练习】1．（2022·全国·六年级竞赛）=________．2．（2022·全国六年级竞赛）简算：202﹣192+182﹣172+…+22﹣12．3．（2022·广东河源·七年级期中）利用乘法公式进行简便计算：(1)；(2)4．（2022·广东·梅州市梅江区芹洋学校七年级阶段练习）简便计算：(1)20022(2)【题型六】分数裂项计算【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算第一类（“裂差”型运算）：或裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。第二类（“裂和”型运算）：或裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【典题1】（2021·辽宁·六年级专题练习）计算。

【典题2】（2021·全国·六年级专题练习）怎样算简便就怎样算。【变式练习】1．（2021·全国·六年级专题练习）计算：＋＋＋＋＋＋2．（2021·成都外国语学校附属小学小升初模拟）计算：3．（2022·全国·小升初模拟）简便计算（提示，……）4.（2022·全国小升初模拟）简便计算：+++++【题型七】数列求和【解题技巧】eq\o\ac(○,1)等差数列求和等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比数列求和等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1）【典题1】（2021·成都外国语学校附属小学小升初模拟）计算：【典题2】（2022·全国六年级竞赛）计算：【变式练习】1．（2021·山东青岛·五年级期末）数学王子高斯八岁时，用如下的方法计算自然数1到100的和：利用高斯发现的规律，尝试计算下列各题：（1）（2）2．（2022·江苏小升初模拟）________3．（2022·全国·六年级竞赛）计算：1.8＋2.8＋3.8＋……＋50.81．（2021·广西象州·七年级期中）利用平方差公式计算的结果是（）A． B． C． D．2．（2022·山东临沂·一模）下列等式成立的是（

）A．6692＋2×669×31＋312＝7002 B．6692﹣669×69﹣692＝6002C．6692＋669×31＋312＝7002 D．6692﹣2×669×69﹣692＝60023．（2021·全国六年级竞赛）=________．4．（2021·全国·六年级竞赛）________5．（2021·四川·五年级课时练习）填分数

（1）=________

（2）=________6．（2021·全国·四年级课时练习）用凑整法计算下面各题。499999＋49999＋4999＋499＋49＋5

1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋207．（2021·四川成都·四年级期末）仔细观察，简便计算。99×99＋199100－98＋96－94＋92－90＋…＋8－6＋4－28．（2022·全国五年级竞赛）用简便方法计算下面各题（1）3.68+7.56﹣2.68（2）15.48﹣（9.4﹣0.52）（3）4.8×100.1（4）56.5×9.9（5）42.5﹣（6.7﹣7.5）（6）17.8÷（1.78×4）（7）8.54÷2.5÷0.4（8）1.25×32×2.5．9．（2021·全国六年级竞赛）怎样简便就怎样算．（1）9999×7778＋3333×6666（2）765×64×0.5×2.5×0.12510．（2022·全国六年级竞赛）用简便方法计算．99＋99×99＋99×99×9911．（2021·全国六年级竞赛）计算（1）0.11＋0.13＋0.15＋……＋0.97＋0.99（2）8.9×0.2＋8.8×0.2＋8.7×0.2＋……＋8.1×0.212．（2021·全国小升初真题）计算：（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7．13．（2021·辽宁·六年级专题练习）计算题。15．（2021·辽宁·六年级专题练习）计算题。16．（2021·辽宁·六年级专题练习）能简算的要简算。

（）×25×3625×＋×25－25

9.6÷1＋2.4÷1

2003÷

17．（2021·全国·六年级专题练习）计算。18．（2021·辽宁·六年级专题练习）算一算。19.98×68＋199.8×4.2－1998×0.1

19.98×37－199.8×1.9＋19