专题04 自由落体与竖直上抛模型（解析版）-2023-2024学年高中物理同步模型易点通人教版2019必修第一册

专题04自由落体与竖直上抛模型模型一自由落体运动一．自由落体运动1．条件：物体只受重力，从静止开始下落。2．运动性质：初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。3．基本规律：(1)速度与时间的关系式：v＝gt。(2)位移与时间的关系式：h＝eq\f(1,2)gt2。(3)速度位移关系式：v2＝2gh。二．自由落体运动的推论和比例（1）两个推论：①逐差法Δh=gT2；②平均速度v=Δx/Δt=(v0+v)/2=vt/2（2）两个比例：①相等时间位移之比1：3：5……；②相等位移时间之比1：（-1）：（-）……三．“由局部求整体”方法t=？Ovtt=？OvtΔtgΔhgΔtΔh方法二、基本公式法解得t.方法三、中间时刻速度法 解得t.方法四、平均速度法解得t.模型二竖直上抛运动1．运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。2．运动性质：匀变速直线运动。3．基本规律(1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。(2)位移与时间的关系式：x＝v0t－eq\f(1,2)gt2。4．竖直上抛运动的对称性(如图所示)(1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA。(2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。1．竖直上抛运动的研究方法：分段法上升阶段：a＝g的匀减速直线运动下降阶段：自由落体运动全程法初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－eq\f(1,2)gt2(以竖直向上为正方向)若v>0，物体上升，若v<0，物体下落若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。【例1】某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一个鸡蛋从离地面20m高的高楼面由静止释放，下落途中用Δt＝0.2s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2m，忽略空气阻力的作用，重力加速度g取10m/s2，求：(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1s内的位移大小；(2)高楼面离窗的上边框的高度。【答案】(1)20m/s15m(2)4.05m【解析】(1)根据速度位移关系v2＝2gh，解得鸡蛋落地时速度大小为v＝20m/s，设鸡蛋自由下落时间为t，根据速度时间关系得t＝eq\f(v,g)＝2s鸡蛋在第1s内的位移为h1＝eq\f(1,2)gt12＝5m则鸡蛋落地前最后1s内的位移大小为h2＝h－h1＝15m(2)由题意知，窗口的高度为h3＝2m设高楼面离窗的上边框的高度为h0，鸡蛋从高楼面运动到窗的上边框的时间为t0，则h0＝eq\f(1,2)gt02，h0＋h3＝eq\f(1,2)g(t0＋Δt)2联立解得h0＝4.05m。【总结提升】1．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故初速度为零的匀加速直线运动的规律、比例关系及推论等规律都适用。2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。【例2】(多选)从高度为125m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1s，g取10m/s2，不计空气阻力，以下说法正确的是()A．b球下落高度为20m时，a球的速度大小为20m/sB．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45mC．在a球接触地面之前，两球速度差恒定D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定【答案】BC【解析】b球下落高度为20m时，t1＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×20,10))s＝2s，则a球下落了3s，a球的速度大小为v＝30m/s，故A错误；a球下落的总时间为t2＝eq\r(\f(2×125,10))s＝5s，a球落地瞬间b球下落了4s，b球的下落高度为h′＝eq\f(1,2)×10×42m＝80m，故b球离地面的高度为h″＝(125－80)m＝45m，故B正确；由自由落体运动的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差Δv＝gt－g(t－1s)＝10m/s，即速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C正确，D错误。【方法点拨】自由落体运动中的两个物体先后从同一高度下落，两物体加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。【例3】为测试一物体的耐摔性，在离地25m高处，将其以20m/s的速度竖直向上抛出，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，求：(1)经过多长时间到达最高点；(2)抛出后离地的最大高度是多少；(3)经过多长时间回到抛出点；(4)经过多长时间落到地面；(5)经过多长时间离抛出点15m。【答案】(1)2s(2)45m(3)4s(4)5s(5)1s3s(2＋eq\r(7))s【解析】(1)运动到最高点时速度为0，由v＝v0－gt1得t1＝－eq\f(v－v0,g)＝eq\f(v0,g)＝2s(2)由v02＝2ghmax得hmax＝eq\f(v02,2g)＝20m，所以Hmax＝hmax＋h0＝45m(3)法一：分段，由(1)(2)知上升时间t1＝2s，hmax＝20m，下落时，hmax＝eq\f(1,2)gt22，解得t2＝2s，故t＝t1＋t2＝4s法二：由对称性知返回抛出点时速度为20m/s，方向向下，则由v1＝v0－gt，得t＝－eq\f(v1－v0,g)＝4s法三：由h＝v0t－eq\f(1,2)gt2，令h＝0，解得t3＝0(舍去)，t4＝4s(4)法一：分段法由Hmax＝eq\f(1,2)gt52，解得t5＝3s，故t总＝t1＋t5＝5s法二：全程法由－h0＝v0t′－eq\f(1,2)gt′2解得t6＝－1s(舍去)，t7＝5s(5)当物体在抛出点上方时，h＝15m，由h＝v0t－eq\f(1,2)gt2，解得t8＝1s，t9＝3s，当物体在抛出点下方时，h＝－15m，由h＝v0t－eq\f(1,2)gt2，得t10＝(2＋eq\r(7))s，t11＝(2－eq\r(7))s(舍去)。【例4】打弹弓是一款传统游戏，射弹花样繁多，燕子钻天是游戏的一种，如图所示，一表演者将弹丸竖直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1s内上升的高度与最后1s内上升的高度之比为9∶1，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，则弹丸在上升过程中最初1s内中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为()A．45m/s125m B．45m/s75mC．36m/s125m D．36m/s75m【答案】A【解析】射出的弹丸做竖直上抛运动，可看成自由落体运动的逆运动，由运动学公式h＝eq\f(1,2)gt2，弹丸最后1s内上升的高度h1＝eq\f(1,2)×10×12m＝5m，则最初1s内上升的高度h2＝9h1＝45m，最初1s内中间时刻的速度v＝eq\f(h2,t)＝eq\f(45,1)m/s＝45m/s，弹丸的初速度v0＝v＋gt′＝45m/s＋10×0.5m/s＝50m/s，故上升的最大高度为h＝eq\f(v02,2g)＝eq\f(502,2×10)m＝125m，故选A。一、单选题1．某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一个小石子拍摄在照片中，已知本次摄影的曝光时间是s，测得照片中石子运动痕迹的长度为，窗框上下边在照片中的长度为，已知窗框上下边的实际长度为下列说法正确的是（）A．曝光时刻石子运动的速度为B．曝光时刻石子运动的速度为100m/sC．石子大约离窗户上沿下落D．石子大约离窗户上沿下落【答案】D【详解】AB．由题意知解得m根据匀变速直线运动规律可知曝光时刻石子的速度为故AB错误；CD．石子的运动视为自由落体，由此估算其下落高度为m故C错误，D正确；故选D。2．从距地面一定高度处自由释放一个小球（可视为质点），已知最后一秒内位移为第一秒内的位移的4倍，g=10m/s2，则出发点距地面高度为（）A．20.25m B．31.25m C．30.25m D．25m【答案】B【详解】设小球第一秒内下落的位移为h，小球经过时间t后落到地面，小球出发点距地面高度为H，由自由落体运动公式得解得，故选B。3．一矿井深80m，在井口每隔一定时间自由释放一个小球（下落过程可视为自由落体运动），当第9个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底（重力加速度），则（

）A．第1个小球落至井底时的速度为30m/sB．此时第1个小球与第2个小球相距45mC．相邻两个小球下落的时间间隔是0.4sD．第1、2小球都在空中时，第1个小球相对第2个小球做匀速直线运动【答案】D【详解】C．第1个小球自由下落的时间满足解得根据题意，第1个小球刚落至井底的瞬间，第9个小球刚好在井口，因此空中存在8个相等的时间间隔，故相邻两个小球下落的时间间隔是故C错误；A．第1个小球落至井底时的速度为故A错误；B．此时第1个小球与第2个小球相距故B错误；D．第1个小球与第2个小球的相对速度为即第1个小球相对第2个小球做匀速运动。故D正确。故选D。4．一个物体从某一高度做自由落体运动，已知它在第1s内的位移恰为它在最后1s内位移的三分之一，则它开始下落时距地面的高度为（g＝10m/s2）（）A．15m B．20m C．11.25m D．31.25m【答案】B【详解】设物体下落时间为t，第1s内下落高度为则最后1s内下落高度为解得则物体开始下落时距地面的高度为故选B。5．如图所示，某同学要测量屋檐离地的高度，观测一个由屋檐边自由下落的雨滴，雨滴通过高为d的窗口所用时间为t，此后再经过落地，重力加速度为g，不计空气阻力，则屋檐离地高度为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设从屋檐到窗口所用时间为t1，高度为h1，则有可得则屋檐离地高度为故选B。6．利用水滴下落可以粗略测量重力加速度g的大小。某同学调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水刚开始下落，而空中还有一滴水正在下落。测出此时出水口到盘子的高度为h，从第1滴水开始下落到第n滴水刚落至盘中所用时间为t。下列说法正确的是（）A．第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为h的一半B．相邻两滴水开始下落的时间间隔为C．每滴水在空中的下落时间为D．此地重力加速度的大小为【答案】C【详解】A．水口到盘子的高度为h，一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水刚开始下落，而空中还有一滴水正在下落，设相邻两滴水开始下落的时间间隔为，由自由落体运动位移公式可得可知第1滴水刚落至盘中时的时间为，第二滴水运动的时间为，由于加速度相同，则它们的位移之比为即第2滴水下落的高度为则第2滴水距盘子的距离为A错误；BC．从第1滴水开始下落到第n滴水刚落至盘中（即第滴水开始下落）所用时间为t，可知相邻两滴水间的时间间隔为则有每滴水在空中的下落时间为B错误，C正确；D．由自由落体运动位移公式可得解得D错误。故选C。7．将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间间隔，它们运动的图像分别如直线甲、乙所示．则（）A．时，两球高度相差一定为B．时，两球相对于各自抛出点的位移不相等C．两球从抛出至落到地面所用的时间相等D．甲球与乙球从抛出至到达最高点的时间相等【答案】D【详解】A．根据速度时间图像与时间轴所围的“面积”表示质点的位移，知t=2s时，甲球通过的位移为乙的位移为零，两球位移之差等于40m，但两球初始的高度未知，故t=2s时两球的高度相差不确定，故A错误；B．t=4s时，甲球相对于抛出点的位移为乙球相对于抛出点的位移为故两球相对于各自的抛出点的位移相等，故B错误；C．两球从不同的高度以同样的速度竖直向上抛出，根据竖直上抛运动的规律h是抛出点距地面的高度，可知两球从抛出至落到地面所用的时间间隔t不相等，故C错误；D．由图知，甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等，都是3s，故D正确。故选D。8．2024年7月31日，在巴黎奥运会女子双人十米台跳水决赛中，中国选手陈芋汐、全红婵获得冠军。假设跳水运动员（视为质点）起跳离开跳板后在一条直线上运动，其离开跳板至入水后竖直向下速度减为零的过程中，最大速度大小为，离开跳板时速度大小为，不计空气阻力，在水中受到的阻力恒定，水中竖直向下运动的时间与空中运动的时间相等，重力加速度大小为，则下列说法不正确的是（）A．运动员离水面最远距离为 B．运动员在空中运动的时间为C．跳板离水面的高度为 D．运动员入水的深度为【答案】B【详解】A．运动员在空中的运动为竖直上抛运动，入水的瞬间速度最大，由运动学公式可知，运动员离水面最远距离为故A正确，不符合题意；B．运动员在空中运动时间故B错误，符合题意；C．跳板离水面的高度为故C正确，不符合题意；D．运动员入水深度故D正确，不符合题意。故选B。二、多选题9．吉林省广播电视塔被吉林人亲切地称为“吉塔”。某同学设想通过实验测量该塔的高度，从塔顶由静止释放一颗石子，忽略空气阻力，重力加速度为g，测量下列物理量能计算出“吉塔”高度的有（）A．石子下落的时间B．石子下落最初2m所用时间C．石子下落最后2m所用时间D．石子下落最初1s的距离【答案】AC【详解】A．设石子下落的时间为，塔高为，根据若测得，则可计算出，故A正确；B．石子下落最初2m所用的时间可通过计算得出，无需测量，且无法根据该时间计算出塔高，故B错误；C．设石子下落最后2m所用时间为，，石子下落时的速度为，根据若测得，则可计算出v，根据则可计算出，故C正确；D．石子下落最初1s的距离可通过计算得出，无需测量，且无法根据该距离计算出塔高，故D错误。故选AC。10．一科研气球携带设备以10m/s的速度匀速上升到离地20m时，设备上的一个小配件掉落，忽略配件受到的空气阻力，重力加速度，则配件离开气球后（

）A．做自由落体运动 B．落地时的速度是m/sC．上升离地的最大高度是45m D．上升的时间是1s【答案】BD【详解】A．配件离开气球后做竖直上抛运动，到达最高点后做自由落体运动，故A错误；BCD．配件离开气球后做竖直上抛运动，上升的时间为上升高度为配件上升离地的最大高度为根据可得配件落地时的速度大小为故BD正确，C错误。故选BD。11．将甲、乙两个小球（可视为质点）在同一水平面相邻的两个位置先后以相同的初速度竖直向上抛出。以抛出点所在水平面为参考平面，作出两小球的高度h与时间t的关系图像，如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，结合图像所给的信息，下列说法正确的是（）A．甲回到抛出点的时刻为B．乙回到抛出点的时刻为C．乙距抛出点的最大高度为D．乙距抛出点的最大高度为【答案】BD【详解】AB．甲、乙两小球的图线形状一样，只是乙的图线向右平移了一些，题图中时刻的虚线为对称轴，可知甲、乙运动的时间相等，则为则乙回到抛出点的时刻为，甲回到抛出点的时刻为，A错误，B正确：CD．乙运动的时间为由公式可知，乙距抛出点的最大高度为C错误，D正确。故选BD。12．某同学利用一根原长远远小于树高的弹簧、弹丸、手机粗略测量了大树的高度。该同学将弹簧竖直固定在地面上，弹簧压缩一定程度后，将一弹丸由静止弹射出去，调整弹簧压缩量，直到弹丸能刚好到达与树顶等高处，之后弹丸开始下落，用手机测出此时弹丸从离开弹簧到回到地面所用的时间t，忽略弹丸所受的空气阻力和计时误差，重力加速度为g。则下列说法正确的是（）A．大树的高度约为B．弹丸离开弹簧后的时间内，上升的高度是树高的C．将弹丸运动的时间平均分成三段，第二段时间内弹丸的位移大小是树高的D．弹丸从离开弹簧到上升到树高的一半，需要的时间为【答案】AD【详解】A．忽略弹丸所受的空气阻力，弹丸做竖直上抛运动，其上升和下落的时间都为。大树的高度等于弹丸自由下落的位移大小选项A正确；B．弹丸下落过程做自由落体运动，从速度为零开始连续两段时间内通过的位移大小之比为，根据对称性，可知弹丸离开弹簧后的时间内，上升的高度是树高的，选项B错误；C．将弹丸运动的时间平均分成三段，第二段时间内弹丸一半时间在上升，一半时间在下落，根据对称性可知位移为零，选项C错误。D．弹丸下落过程做自由落体运动，从速度为零开始通过连续两段所用的时间之比为，根据对称性，可知弹丸从离开弹簧到上升到树高的一半，需要的时间为选项D正确。故选AD。13．鸿恩寺公园的鸿恩阁为仿古建筑，共七层，是重庆主城最高观景台。登上鸿恩阁，渝中、南岸、江北、渝北、沙坪坝、北部新区等6个区的美景和两江上的舟桥都尽收眼底。某物理研究小组测量出鸿恩阁海拔高约为468m，甲同学在鸿恩阁阁楼，离地面45m高处让物体A由静止开始自由落下，同时乙同学将物体B自鸿恩阁地面以初速度竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为。下列说法正确的是（

）A．若，则A、B两物体在B上升的最高点相遇B．若，则A、B两物体在B上升的过程中相遇C．若，A、B两物体相遇时，B正在下落途中D．若，A、B两物体相遇时，B正在下落途中【答案】ABD【详解】A．假设物体B正好运动到最高点时两物体相遇，物体B速度减小为零所用的时间为此时A下落的高度为B上升的高度为由于假设成立，故A正确；B．由于则A、B两物体在B上升的过程中相遇，故B正确；CD．若A、B两物体恰好在落地时相遇，则有此时A下落的高度为解得可知当时，A、B两物体相遇时，B正在下落途中，故C错误，D正确。故选ABD。三、解答题14．如图所示，一滴雨滴从离地面20m高的楼房屋檐自由下落，下落5m时，到达窗口上沿，再经的时间通过窗口，g取10m/s2，问：(1)雨滴落地前瞬间的速度大小；(2)窗口的高度h；(3)该雨滴最后1s内下落的平均速度大小。【答案】（1）20m/s；（2）2.2m；（3）15m/s【详解】（1）根据速度—位移公式，代入数据可得雨滴落地的速度为（2）设雨滴在到达窗口上沿时的速度为，有则窗口的高度为（3）雨滴前1s的位移为雨滴落地需要的时间为则雨滴落地前最后1s内的位移等于可得平均速度15．如图所示，AB为空心圆管、C是可视为质点的小球，AB长度为，AB与C在同一竖直线上，空心圆管处于初始位置时，A与C之间距离，。(1)若圆筒从初始位置做自由落体运动，圆筒落到地面所需的时间；(2)若圆筒静止，小球从地面以初速度开始做竖直上抛运动，穿过圆筒的时间为，求小球上抛时的初速度；(3)若圆筒从初始位置做自由落体运动的同时，小球从地面以初速度开始做竖直上抛运动①小球在圆筒落地前向上穿过圆筒，小球初速度至少多大；②小球向上穿过圆筒的时间为，小球初速度多大。【答案】(1)(2)(3)①；②【详解】（1）依题意，圆筒做自由落体运动，有解得（2）依题意，小球C做竖直上抛运动，可得又联立解得（3）①小球在圆筒落地前向上穿过圆筒的临界条件是，圆管落地的瞬间小球与B点相遇；圆管的落地时间为2s，此时C恰好与B相遇，则解得②设AB空心圆管与小球C刚接触时的时间为，AB空心圆管下落的高度为小球C上升的高度为则可得设AB空心圆管与小球C刚穿过时的时间为，AB空心圆管下落的高度为小球C上升的高度为则得又联立解得16．如图所示，一竖直固定的长直圆管内有一静止的薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为L。一小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，碰撞后小球做竖直上抛运动，圆盘做匀减速直线运动，在圆盘的速度减为零的瞬间，小球第二次与圆盘发生碰撞。小球与圆盘发生碰撞的时间极短（可忽略），每次碰撞后瞬间圆盘和小球的速率均为碰撞前瞬间小球速率的一半，不计空气阻力，重力加速度大小为g，小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，且圆盘在圆管内做匀减速直线运动的加速度大小保持不变。(1)求小球第一次与圆盘碰撞前瞬间的速度大小v；(2)从第一次碰撞到第二次碰撞，求小球平均速度的大小；(3)求圆盘在圆管内做匀减速直线运动的加速度大小；【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）小球第一次碰撞圆盘前速度，根据位移速度公式解得（2）选向下为正方向，碰撞后瞬间圆盘和小球的速度分别为依题意，圆盘做匀减速直线运动，小球做竖直上抛运动，设第二次碰撞前二者的位移为，可得联立解得，从第一次碰撞到第二次碰撞，小球的平均速度大小（3）圆盘做匀减速直线运动，则有解得17．如图，固定的两端开口竖直圆管内有一静止薄圆活塞，活塞离下开口距离。从上端开口处向下运动的小球撞在活塞中心后，小球以的速度竖直反弹，活塞