数学学案：利用导数判断函数的单调性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B选修1-1第三章3。3.1利用导数判断函数的单调性1．通过函数的图象直观地了解函数的单调性与导数的关系．2．会利用导数求函数的单调区间，判断函数的单调性．用函数的导数判断函数单调性的法则设函数y＝f（x)在区间(a，b)内可导，1．如果在(a，b）内，________，则f(x）在此区间是增函数；2．如果在(a，b)内，________，则f（x)在此区间是减函数．此法则只说明函数y＝f（x）在某区间上f′（x）＞0（或＜0)是函数f(x)在该区间上为增（减)函数的充分条件，但并非必要条件．【做一做1－1】若函数y＝f(x）的导函数f′（x)在（a，b）上恒大于0，则函数y＝f（x）在(a,b）上是__________函数（填“增”或“减”）．【做一做1－2】函数y＝f(x)的导函数f′（x）＜0在（1,2)上恒成立,则区间（1,2）是函数y＝f（x)的__________区间(填“增”或“减”)．利用求导的方法求函数的单调区间、判断函数的单调性需注意哪些问题？剖析：（1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．（2)在对函数划分区间时,除了必须注意确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．题型一函数的图象与导数的关系【例1】已知导函数f′（x)的下列信息:当1＜x＜4时，f′(x）＞0;当x＞4或x＜1时,f′(x)＜0；当x＝4或x＝1时,f′（x）＝0.试画出函数f（x)图象的大致形状．分析：题中给出的信息是函数y＝f（x）在实数集R上的部分，根据导函数的正负，画出曲线的一个上升或下降的趋势即可．反思：本题考查函数单调性与导数的关系．知道导数在区间上的符号(正、负)，可知函数在此区间上的单调性，进而可画出其大致图象．题型二求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－3x＋3；（2）f（x）＝x（ex－1)－eq\f（1，2）x2.分析:利用函数单调性判定法则解题．反思:求函数f（x）单调区间的方法和步骤：(1)确定函数的定义域；（2)求导数f′（x）；(3）在函数定义域内解不等式f′(x)＞0和f′（x）＜0;(4）确定f(x)的单调区间．温馨提示：函数的单调区间之间不能用“或",“∪”联结．题型三易错题型【例3】(1）求函数f（x)＝x＋eq\f（1,x）的单调区间；(2)已知f(x)＝x＋eq\f(a,x)在［1，＋∞）上是增函数,求a的取值范围．(1)错解:f′(x)＝1－eq\f（1,x2）。令1－eq\f（1,x2）＞0，解得x＞1或x＜－1。因此，f(x)的增区间为（－∞,－1)和（1,＋∞)．令1－eq\f（1,x2)＜0，解得－1＜x＜1.因此,f(x)的减区间为(－1,1）．错因分析：没有注意到函数的定义域是(－∞,0)∪（0，＋∞)．（2）错解：f′(x）＝1－eq\f(a,x2）。由题意得1－eq\f（a,x2）＞0在［1,＋∞）上恒成立,即a＜x2在[1，＋∞)上恒成立．因为x2在[1，＋∞)上的最小值为1，所以a＜1,即a的取值范围为（－∞，1）．错因分析：f（x）在[1,＋∞）上是增函数时，导函数f′（x）≥0在［1，＋∞）上恒成立；而错解用了f（x）在[1，＋∞）上是增函数时，f′(x)＞0在[1,＋∞)上恒成立．1函数f(x)的图象如图所示，则f（x）的单调增区间为（）A．（a,x1）B．（x2，b)C．(a,x1）∪(x2，b）D．(a，x1）和(x2，b）2在区间（a，b）内，f′（x)＜0是f（x)在（a，b)上是减函数的（)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3函数f(x)＝x3－3x2＋9的单调增区间为__________．4若函数f（x）＝x3＋ax2＋4在区间(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为__________．5函数f(x)＝xlnx的单调递减区间为__________．答案:基础知识·梳理1．f′(x)＞02．f′（x)＜0【做一做1－1】增【做一做1－2】减典型例题·领悟【例1】解：当1＜x＜4时，f′(x)＞0,可知f（x）在区间（1,4)上是增函数，曲线应呈“上升"趋势；当x＞4或x＜1时，f′(x)＜0，可知f（x)在区间(－∞,1）和(4，＋∞）上是减函数,曲线应呈“下降”趋势；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点"．综上，函数f(x）图象的大致形状如图所示．【例2】解：（1）f′（x)＝3x2－3＝3(x2－1）＝3（x＋1)（x－1)．令3(x＋1)（x－1)＞0,解得x＞1或x＜－1。因此，f（x)的增区间为(－∞，－1)和（1，＋∞）．令3（x＋1）（x－1)＜0,解得－1＜x＜1.因此，f（x)的减区间为（－1，1）．(2)f′（x)＝ex－1＋xex－x＝（ex－1)(x＋1)．令(ex－1)（x＋1）＞0，解得x＜－1或x＞0.因此,f(x）的增区间为（－∞,－1)和（0，＋∞)．令(ex－1）（x＋1)＜0，解得－1＜x＜0.因此，f(x）的减区间为(－1,0)．【例3】(1）正解：f′（x)＝1－eq\f(1,x2）.令1－eq\f（1，x2）＞0，解得x＞1或x＜－1.因此，f(x)的增区间为（－∞,－1）和(1，＋∞)．令1－eq\f(1,x2)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.因此，f（x）的减区间为（－1，0）和(0，1)．（2）正解：f′（x)＝1－eq\f（a，x2）。由题意得1－eq\f(a,x2）≥0在［1,＋∞）上恒成立，即a≤x2在［1，＋∞)上恒成立．因为x2在[1,＋∞)上的最小值为1，所以a≤1，即a的取值范围为（－∞,1]．随堂练习·巩固1．D2．A3．（－∞，0)和（2,＋∞)4．(－∞，－3]f′(x)＝3x2＋2ax.由题意得3x2＋2ax≤0在（0，2）内恒成立，即a≤－eq\f(3，2)x在（0,2)内恒成立．因为当x∈(0,2)时,－eq\f（3，2）x＞－3，所以a≤－3.5．eq\b\lc\(\