2024届备战高考数学易错题《二项式定理、复数》含答案解析

高中⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．2.系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．Ⅱ：二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．易错提醒：二项式定理的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要令字母值为1）.例、设的展开式中，第三项的系数为36，试求含的项．错解：第三项的系数为，依题意得，化简得，解此方程并舍去不合题意的负值，得n＝9，设的展开式中项为第r＋1项，则，由9－r＝2，得r＝7，故的展开式中含的项为．错因分析：错解将“二项展开式中的第三项的二项式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误的．正解：的展开式的第三项为，∴，即，解此方程并舍去不合题意的负值，得n＝4，设的展开式中项为第r＋1项，则，由4－r＝2，得r＝2，即的展开式中项为．变式1：求的展开式中第3项的系数和二项式系数．【详解】二项式展开式通项公式为，第三项为：，所以第三项系数为，第3项的二项式系数为．变式2：计算的展开式中第5项的系数和二项式系数．【详解】因为的展开通项为，所以的展开式中第5项是，故所求第5项的系数是，第5项的二项式系数是．变式3：求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．【详解】因为，所以展开式中的第项为．要得到常数项，必须有，从而有，因此常数项是第4项，且．从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为．1．在二项式的展开式中，二项式系数最大的是（

）A．第3项 B．第4项C．第5项 D．第3项和第4项【答案】B【分析】根据二项式系数的性质分析求解.【详解】二项式的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.2．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知，二项式的展开式共项，即可求出的值.【详解】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则二项式的展开式共项，即，解得.故选：A.3．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（

）A．常数项是 B．各项系数和为C．第5项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为32【答案】BD【分析】根据二项式理及二项式系数的性质逐项判断即可.【详解】二项式的展开式的通项为当时，得常数项为，故A不正确；当时，可得展开式各项系数和为，故B正确；由于，则二项式系数最大为为展开式的第4项，故C不正确；奇数项二项式系数和为，故D正确.故选：BD.4．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（

）A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1【答案】ACD【分析】由系数和二项式的系数的性质可判断A，B，C；由赋值可判断D.【详解】通项公式为，，其二项式系数为，二项式的展开式共项，中间项的二项式系数最大，故第6项的二项式系数是最大的，故A正确；二项式系数和为，所以C正确；令得所有项的系数和为1，故D正确；因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误，故选：ACD.5．已知2，n，8成等差数列，则在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．二项式系数之和为32 B．各项系数之和为1C．常数项为40 D．展开式中系数最大的项为80x【答案】ABD【分析】根据等差中项可得.对于A：根据二项式系数之和的结论直接运算求解；对于B：利用赋值法运算求解；对于C、D：利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】由题意可得：，则，对于选项A：二项式系数之和为，故A正确；对于选项B：令，可得各项系数之和为，故B正确；对于选项C、D：因为的展开式的通项公式为：，所以，展开式中没有常数项，故C错误；展开式中系数最大的项为80x，故D正确；故选：ABD.6．下列关于的展开式的说法中正确的是（

）A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为1【答案】ACD【分析】利用二项展开式的通项和二项式系数的性质求解.【详解】展开式的通项为.对于A，令，解得，∴常数项为，A正确；对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0，2，4，6，∴，，，，∴展开式第5项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为，D正确.故选：ACD.7．若的展开式的二项式系数之和为16，则的展开式中的系数为.【答案】56【分析】通过二项式系数和求出，然后求出展开式的通项公式，最后求出指定项的系数即可.【详解】由的展开式的二项式系数之和为16，得，所以，则的展开式的通项公式为，令，解得，故的展开式中的系数为.故答案为：568．已知常数，在的二项展开式中的常数项为15，设，则．【答案】-31【分析】先求出，再由二项式的展开式进行求解即可.【详解】解：的展开式为：，令，得，则，因为，所以，则的展开式为：，得，，则，故答案为：-31.9．在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为．【答案】729/【分析】根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.【详解】由题意的二项式中，所有的二项式系数之和为64，即，设的各项的系数为，则各项的系数的绝对值之和为，即为中各项的系数的和，令，，即各项的系数的绝对值之和为，故答案为：72910．二项式的展开式中常数项为（用数字作答）.【答案】60【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求得正确答案.【详解】二项式展开式的通项公式为，由题意令，解得，所以二项式展开式中的常数项为.故答案为：60.11．已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则.【答案】14或23【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可求得或.【详解】由题意可得成等差数列，则，即，即，即，解得或.故答案为：14或2312．的展开式中含项的系数为.【答案】【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合数即可求解.【详解】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.故答案为：.13．若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为.【答案】【分析】根据二项式系数和得到，再计算第三项的二项式系数即可.【详解】展开式的二项式系数和为，故，展开式中第三项的二项式系数为.故答案为：.14．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是.【答案】【分析】先求得的值，然后根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】依题意，，则二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的常数项是.故答案为：15．已知，若展开式各项的二项式系数的和为1024，则的值为．【答案】17010【分析】由题意，利用二项式系数的性质求出值，再根据二项式展开式的通项公式，求出值．【详解】，展开式各项的二项式系数的和为，，故展开式的通项公式为．则令，可得．故答案为：17010．16．已知的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x的系数为．【答案】60【分析】手续爱你根据二项式系数和公式求出，再利用二项展开式的通项公式即可得到答案.【详解】由题意得，解得，则的二项展开式通项为，令，解得，则x的系数为，故答案为：60.17．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则.【答案】【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，所以为偶数且，可得.故答案为：.18．已知的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项．【答案】答案见解析【分析】利用二项式系数相等可得的值，再利用二项式系数的性质可得二项式系数最大的项，利用不等式法可求得系数最大的项，从而得解.【详解】因为的展开式中第7项的二项式系数是，第8项的二项式系数是，则，解得，所以的展开式共有项，则二项式系数最大的是第7和第8项，又的展开通项公式为，则，；而第项的系数是，不妨设第项为系数最大的项，则，即，即，即，解得，则，即第10项的系数最大，；综上，展开式中系数最大的项为，二项式系数最大的项为与.易错点四：混淆虚部定义致错（求复数虚部）Ⅰ：复数的概念=1\*GB3①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，叫虚数单位，满足（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）=3\*GB3③复数的模：复数的模，其计算公式Ⅱ：复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数．（3）．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．易错提醒：1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.2、复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝eq\x\to(z)；③z∈R⇔z2≥03、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0例、复数虚部是（）A.B.C.D.错解】D【错因分析】误认为复数的虚部为bi.【正解】因为，所以复数的虚部为.故选：D.变式1：已知复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．【详解】因为，即，所以的共轭复数为，其虚部为.故选：C.变式2：已知是虚数单位，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．【详解】，所以复数的虚部为，故选：A.变式3：已知复数，则复数z的虚部为，．【详解】由题意，所以复数z的虚部为1，.故答案为：1，.1．的虚部为（

）A．4 B． C． D．2【答案】B【分析】根据复数除法和乘法运算以及虚部的概念即可得到答案.【详解】，则其虚部为，故选：B.2．复数（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】C【分析】应用复数的除法运算化简，根据实部与虚部互为相反数列方程求的值.【详解】由，由其实部与虚部互为相反数，即，则，.故选：C3．已知，则的虚部是（

）A．2 B．C． D．【答案】A【分析】根据共轭复数的概念结合复数的乘法运算，求得，即可得答案.【详解】因为，则，所以的虚部为2，故选：A.4．的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得，所以复数的虚部为.故选：C.5．若是虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数除法化简，即可确定虚部.【详解】.所以复数的虚部为.故选：C.6．已知复数，则的虚部为（

）A．－2 B．－1 C．6 D．2【答案】D【分析】利用复数乘法法则计算出，从而求出虚部.【详解】，虚部为2，故选：D．7．已知复数满足，则复数的虚部为（

）A．i B．1 C． D．【答案】D【分析】利用共轭复数的概念和复数的运算解求解.【详解】设复数，，又，可得，解得，所以复数的虚部为.故选：D.8．已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知条件先得到，再利用复数的运算法则求解即可得出结果.【详解】因为复数在复平面内的对应点为所以所以虚部为.故选：C9．若复数z满足（i是虚数单位），则复数z的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用共轭复数的定义以及加减运算法则即可得复数z的虚部为.【详解】根据题意可设，则，，所以由可得，所以,解得，即复数z的虚部为.故选：B10．已知i为虚数单位，复数z满足，则的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过复数的模及除法运算化简复数，再利用共轭复数的定义及虚部的定义求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以的虚部是.故选：D11．已知复数满足，其中是的共轭复数，则复数的虚部是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】设后代入已知条件解方程即可【详解】设，则，所以，则解得即，所以的虚部为．故选：C12．已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数四则运算计算可得，再由虚部定义可得结果.【详解】由可得，所以可得z的虚部为.故选：B13．已知，则z的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数除法求得后，根据定义可得．【详解】，所以虚部为．故选：C．易错点五：复数的几何意义应用错误（复数有关模长的求算）复数的模：复数的模，其计算公式易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.例、若，且，则最小值为（）A．2B．3C．4D．5【错解】设，因此有．即又因为，所以最小值为1.【错因分析】利用复数代数形式令，得，而．此时会因不会确定a范围导致出错；若用数形结合法．错在一般是看不出表示的几何意义．【正解】方法一：设，因此有．即又而即，∴当时，取最小值3．方法二：（利用数形结合法）表示圆心在（-2，2），半径为1的圆．而表示圆上点与点（2，2）的距离，其最小值为3．变式1：已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为.【详解】设，则的几何意义为z在复平面内所对应的点到的距离为，所以z所对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以.故答案为：18.

变式2：已知为虚数单位，且，则的最大值是.【详解】设，由的几何意义知：对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即，的几何意义为点到坐标原点的距离，.故答案为：.变式3：已知复数满足，则的最大值为．【详解】设复数，由，得，整理得，即，因此复数在复平面内对应点在以点为圆心，为半径的圆，为原点，所以.故答案为：1．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.【详解】因为z在复平面内对应的点为，所以，则，又，所以，即.故选：C．2．已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】设出复数的代数形式，结合条件得到复数在复平面内所对应的点的轨迹是一个圆，从而将问题转化为点与圆的位置关系求解.【详解】设，在复平面内对应的点的坐标为，由，得，即，因此点在圆上运动，圆心的坐标为，半径，又，于是可以看成是点到点的距离，显然此点在圆外，所以.故选：D3．若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先设复数，(且不同时为0)，根据条件化简求得的关系式，再根据复数模的几何意义求最值.【详解】设，(且不同时为0)，由题意可知，得或，当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示复数对应的点和的距离，此时，当时，复数所对应点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，的最小值是点与的距离.故选：B4．若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．+1【答案】C【分析】设，根据已知可得出.根据几何意义，结合三角恒等变换化简，即可得出答案.【详解】设，则.由已知可得，.设，，则.所以，.当，即时，该式有最大值，所以，，所以，.故选：C.5．复数满足（为虚数单位），则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据复数模的几何意义求解．【详解】，∴，对应的点在以原点为圆心1为半径的圆上，表示复数对应点和对应的点间距离，又，所以的最小值是，故选：B．6．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数模的运算公式进行求解即可.【详解】复数满足，则，∴，故选：D7．设复数满足，则的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】设复数，根据题意得到，得到复数对应的点的轨迹为为圆心半径为的圆，进而求得的最大值.【详解】设复数，可得，所以，所以复数对应的点的轨迹为为圆心半径为的圆，所以的最大值是．故选：B.

8．已知复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】设复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可知点的轨迹为，则问题转化为上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解．【详解】设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为，又表示点到点的距离，所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，当为时，到定点的距离最小，最小值为1，所以的最小值为1，故选：A．9．已知复数满足，则（

）A．的虚部为B．C．在复平面内对应的点在第四象限D．若复数满足，则【答案】AD【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，对化简，选项ABC依次判断即可；选项D，由复数的三角不等式可得.【详解】由，得1，即，选项A，的虚部为，故A正确；选项B，，故B错误，选项C，z在复平面内对应的点在第三象限，故C错误；选项D，方法一：复数z满足，且，则由复数加减法的几何意义可知，，故，故，故D正确.

方法二：由，得，则复数对应点的集合是以为圆心，为半径的圆，如图可知，，则，故选：AD.

10．已知复数满足，则的最大值是．【答案】/【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数对应的点，然后利用三角代换结合条件即可求解．【详解】设，由，得，因此在复平面内，复数对应的点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，所以可设椭圆方程为，则，所以椭圆方程为，而表示点与点的距离，可设，所以与点的距离，所以当时，，即的最大值是.故答案为：11．复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为．【答案】7【分析】由复数模的几何意义确定复数z对应点的轨迹，问题化为圆上点到原点的距离最大值，即可得结果.【详解】令且，又，所以，即，所以复数z对应点在以为圆心，半径为2的圆上，又表示圆上点到原点的距离，而圆心