（讲评用卷）2024年河南某商丘一中一模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南某商丘一中一模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列各式中，等式不成立的是（）A．|﹣2|＝2 B．﹣|2|＝﹣|﹣2| C．|﹣2|＝|2| D．﹣|2|＝21.D【解析】根据绝对值的性质，得A、B、C正确；D中，左边＝﹣2，等式不成立．2.太阳的半径约为696300千米，太阳到地球的距离约为149597870千米，太阳半径与太阳到地球的距离的比值约为0.00465，0.00465用科学记数法可表示为（）A．465×10﹣3 B．4.65×10﹣2C．4.65×10﹣3 D．4.65×10﹣42.C【解析】0.00465＝4.65×10﹣3．3.下列图形中为正方体的平面展开图的是（）A．B．C．D．3.C【解析】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A、B、D上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．选项C可以拼成一个正方体．4.如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝90°，则∠3的度数为（）A．40° B．50° C．150° D．140°4.D【解析】如图，作c∥a，∵a∥b，∴c∥b．∴∠1＝∠5＝50°，∴∠4＝90°﹣50°＝40°，∴∠6＝∠4＝40°，∴∠3＝180°﹣40°＝140°．5.下列计算正确的是（）A．﹣4a2•2a3＝﹣8a6B．3a2﹣4a2＝a2C．（a﹣3）2＝a2﹣9D．（2a3）2÷（2a）2＝a45.D【解析】A.﹣4a2•2a3＝﹣8a5，故A不符合题意；B.3a2﹣4a2＝﹣a2，故B不符合题意；C.（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，故C不符合题意；D.（2a3）2÷（2a）2＝4a6÷4a2＝a4，故D符合题意.6.把不等式组

x+2＞A．

B．C．

D．6.B【解析】x+2＞1①2−x≥0②，解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x≤2，则不等式组的解集7.某公司决定招聘一名职员，一位应聘者三项素质测试的成绩如下表：测试项目创新能力专业知识语言表达测试成绩（分）708092这三项成绩按照如图所示的比例确定综合成绩，则这位应聘者最后的得分为（）A．78分 B．79.5分 C．80.5分 D．82分7.B【解析】70×35%+80×40%++92×25%＝24.5+32+23＝79.5（分），故这位应聘者最后的得分为79.5分．8.若关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．08.A【解析】根据题意得

b2－4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣k）＜0，解得k＜﹣2，所以k可以取9.如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6，点P为平面内一点，且BP＝2，点Q为CD上一个动点，则AQ+PQ的最小值为（）A．11 B．52C．103−2

D9.A【解析】如图，延长AD到A'，使DA'＝DA＝6，连接QA'，连接BA'交⊙B于点P'，∵点P为平面内一点，且BP＝2，∴点P在以B为圆心，2为半径的⊙B上，∵四边形ABCD是矩形，∴CD垂直平分AA'，∴QA'＝QA，∵AQ+PQ＝A'Q+PQ+PB﹣P'B≥A'B－P'B＝A'B－2，∴AQ+PQ的最小值为A'B﹣2，在Rt△A'AB中，A'A＝2AD＝12，AB＝5，由勾股定理，得A'B

=A′A2+AB2=122+52=13，∴AQ10.如图，平面直角坐标系中，A（0，2），

B(23，0)，将△AOB绕顶点O顺时针旋转一定角度到△COD处，此时线段CD与BO的交点E为BO的中点，A．

(3，−3)

C．

(323，−310.B【解析】∵A（0，2），

B(23，0)，∴

OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，tan∠ABO

=OAOB=33，∴∠ABO＝30°，过点O作CD的垂线，垂足为M，∵OD＝OB＝2

3，∠D＝∠ABO＝30°，∴在Rt△OMD中，sinD

=OMOD，∴

OM23=12，则OM

=3二、填空题（每小题3分，共15分）11.买单价3元的圆珠笔m支，应付

元．11.3m【解析】依题意得，应付3m元．12.若反比例函数

y=kx的图象经过点（﹣4，﹣1），则k的值12.4【解析】∵反比例函数y

=kx的图象经过点（﹣4，﹣1），∴k＝﹣4×（﹣1）＝13.2022年秋季开学，劳动课已正式成为中小学的一门独立课程，根据《义务教育劳动课程标准（2022年版）》方案，劳动课程平均每周不少于1课时，某校7～9年级劳动课有四项传统工艺制作项目，分别为陶艺、纸工、布艺和木雕．小红和小明分别从4项工艺中随机选取一项，恰好选中同一项目的概率是

．13.1【解析】把陶艺、纸工、布艺和木雕4项工艺分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小红和小明恰好选中同一项目的结果有4种，∴小红和小明恰好选中同一项目的概率是

41614.如图，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，以O为圆心OB的长为半径作扇形EOF，∠EOF＝90°，若OB＝1，则阴影部分的面积为

．14.π【解析】如图，作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，OF交BC于点M，OE交AC于点N，∵∠ACB＝90°，∴四边形HOGC是矩形，∴∠HOG＝90°，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，∴∠BCO＝∠ACO，OB＝OC，OC⊥AB，∴OH＝OG，∴四边形HOGC是正方形，∵∠EOF＝90°，OB＝OF＝1，∴扇形FOE的面积是：

90π×12360=π4，∵∠HOG＝90°＝∠EOF，∴∠HOM＝∠GON，在△HOM和△GON中，

∠MHO=∠NGO=90°OH=OG∠HOM=∠GON，∴△HOM≌△GON（ASA），∴S△HOM＝S△GON，∴S正方形HOGC＝S四边形MONC，∵OB＝OC，OC⊥AB，OH⊥BC，15.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点M、N分别为AB、AC上一个动点，以MN为对称轴将△AMN折叠得到△DMN，点A的对应点为D，若点D落在BC上，且△AMN与△ABC相似，已知AC＝6，AB＝8，则CD的长为

．15.185或【解析】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝8，由勾股定理得：BC

=AC2+BC2=10，∵△AMN与△ABC相似，∴有以下两种情况：①当∠ANM＝∠C时，△AMN∽△ABC，连接AD，如图①所示：

∴MN∥BC，由折叠的性质得：MN⊥AD，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BAC＝90°，又∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，∴

CDAC＝

ACBC，即

CD6＝

610，∴CD

=185；②当∠ANM＝∠B时，△AMN∽△ABC，连接AD，如图②所示：则∠AMN＝∠C，由折叠的性质得：MN⊥AD，∴∠ANM+∠NAD＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠NAD+∠DAB＝90°，∴∠ANM＝∠DAB，又∵∠ANM＝∠B，∴∠DAB＝∠B，∴AD＝BD，同理：∠DAC＝∠C，∴CD＝AD，∴

答案图①

答案图②三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（1）计算：

−27（2）解分式方程：

x+16.解：（1）原式＝﹣3+（﹣2）+1

＝﹣5+1

＝﹣4；（2）原方程两边同乘（x2﹣1），去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，移项，合并同类项得：2x＝2，系数化为1得：x＝1，检验，将x＝1代入（x2﹣1）得1﹣1＝0，则x＝1是分式方程的增根，∴原分式方程无解．17.某社区为了加强社区居民对民法典知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答“适用民法”专项试题，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取10名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：收集数据甲小区：90

90

70

90

100

80

80

90

95

65乙小区：95

70

80

90

70

80

95

80

100

90整理数据成绩x（分）60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100甲小区2242乙小区23a3分析数据统计量平均数中位数众数甲小区8590d乙小区bc80应用数据（1）直接写出a，b，c，d的值；（2）根据以上的数据分析，请你判断哪个小区对“适用民法”专项知识掌握更好？至少说出两个理由；（3）若乙小区共有1000人参与了答卷，请估计乙小区成绩大于90分的人数．17.解：（1）a＝2，b＝85，c＝85，d＝90；【解法提示】乙小区80＜x≤90对应的人数a＝2，甲小区成绩的众数d＝90，将乙小区成绩重新排列为70，70，80，80，80，90，90，95，95，100，所以其平均数b

=70×2+80×3（2）根据以上的数据分析，甲小区对“适用民法”专项知识掌握更好．（答案不唯一）甲、乙小区随机抽取的10名人员中，“适用民法”专项知识的测试平均分相同，且其中甲的中位数90大于乙的中位数85，所以甲小区掌握“适用民法”专项知识较好；（3）∵

310∴乙小区成绩大于90分的人数约为300人．18.如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼﹣10飞机在点A发现航展观礼台D在俯角为21°方向上．飞机继续向前飞行了800米到达B点．此时测得点D在点B俯角为45°的方向上．请你计算当飞机飞到D点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CD约为多少米？（结果保留整数，参考数值：sin

21°≈0.36，cos

21°≈0.93，tan

21°≈0.38）18.解：由题意得，DC⊥AC，AB＝800米，设BC＝x米，∴AC＝AB+BC＝（800+x）米，在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BC•tan

45°＝x米，在Rt△ACD中，∠A＝21°，∴CD＝AC•tan

21°≈0.38（800+x）米，∴x＝0.38（800+x），解得x≈490，∴CD≈490米，∴竖直高度CD约为490米．19.如图，以AB为直径的⊙O中，AC切⊙O于点A，点M为OB上一点．（1）作线段AM的垂直平分线DE，交⊙O上方于点D，垂足为点E，射线MD交射线AC于点N（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AD，求证：AD＝DN；（3）若OE＝1，OM＝2，求AN的长．19.（1）解：如图①，直线DE即为所求，（2）证明：如图②，∵DE垂直平分AM，∴AD＝DM，∴∠3＝∠4，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴AC∥DE，∴∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＝∠5，∴AD＝DN；（3）解：∵OE＝1，OM＝2，∴EM＝OE+OM＝3，∴AE＝EM＝3，∴OA＝AE+OE＝4，AM＝AE+ME＝6，连接OD，如图③，则OD＝OA＝4，∴

DE∴

AD∴

DN∴

MN∴

AN答案图③20.某电商准备购进某品牌的A型平板电脑和B型平板电脑共100台进行销售．若购入2台A型平板电脑和3台B型平板电脑需花费4700元，购入3台A型平板电脑和2台B型平板电脑需花费4800元．（1）求A型平板电脑和B型平板电脑的购入单价；（2）设购入A型平板电脑x台，购入总费用为y元．①求y关于x的函数关系式；②已知该电商购入这批平板电脑的总费用不超过96000元，其中A型平板电脑的销售单价为1500元，B型平板电脑的销售单价为1280元.7月底，河南突发暴雨灾害，该电商决定从销售A型平板电脑的销售利润中按每台捐献m（m＜120）元作为捐献给郑州抗涝的资金，若电商售完100台平板电脑并捐献资金后获得的利润不超过39200元，求m的取值范围．20.解：（1）设A、B两种平板电脑的进价分别为a元、b元，由题意得，

2a解得

a=答：A、B两种平板电脑的进价分别为1000元、900元；（2）①设购入A型平板电脑x台，则购入B型平板电脑（100﹣x）台，根据题意得，y＝1000x+900（100﹣x）＝100x+90000，∴y关于x的函数关系式为y＝100x+90000；②根据题意得，100x+90000≤96000，解得x≤60，设电商售完100台平板电脑并捐献资金后获得的利润为w元，由题意得，w＝（1500﹣1000﹣m）x+（1280﹣900）（100﹣x）＝（120﹣m）x+38000，∵m＜120，∴120﹣m＞0，w随x的增大而增大，∴当x＝60时，w取最大值，∴60（120﹣m）+38000≤39200，解得m≥100，∴m的取值范围为100≤m＜120．21.综合与实践：《函数》复习课后，为加深对函数的认识，刘老师引导同学们对函数

y=x−1x+1的图象与性质进（1）初步感知函数

y=x−1x+1的自变（2）作出图象①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2−5−3−7n−101234…y…753253234m6﹣3﹣2﹣10131235…填空：表中m＝

，n＝

；②描点，连线：在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）研究性质小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数

y=x−1x+1转化为

y=1－2x+1，他判断该函数图象就是反比例函数

y=−2x通过某种平移转化而来，反比例函数

y=−2x是中心（4）拓展应用当1≤x≤4时，关于x的方程

kx+1=x−1x+21.解：（1）x≠﹣1；【解法提示】x

=−32时，y

=−

32

−1−

32

+1=5，∴m＝5．当y＝（2）①5，

−1【解法提示】x

=−32时，y

=−

32

−1−

32

+1=5，∴m＝5．当y＝②函数图象如图所示：（3）（﹣1，1）；【解法提示】该函数图象就是反比例函数

y=−2x通过某种平移转化而来，反比例函数

y=−2x是中心对称图形，对称中心为（0，0），则函数

y=x−（4）当直线y＝kx+1过（1，0）时，则k+1＝0，解得k＝﹣1，当直线y＝kx+1过（4，

35）时，则4k+1

=35，解得k∴当1≤x≤4时，关于x的方程

kx+1=x−1x+1有实数解，k22.如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设置竖直的吊索，吊索与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，主索DPC所在曲线的y与x之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．某实践小组经过测量，桥面AB中点M处上方点P为该悬索桥主索的最低点，MP＝5m，MA＝40m，塔桥AD高度为25m．（1）求该悬索桥主索所在抛物线的表达式；（2）若想在距离M点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；（3）厂家生产了一条长16.25m的吊索，应将该吊索安置在距A点多远的桥面上？22.解：（1）由题意得，点P（40，5），D（0，25），设主索所在抛物线的表达式为y＝a

(x−将D（0，25）代入该表达式可得，25＝a

(0−∴

a=∴该悬索桥主索所在抛物线的表达式为

y=（2）设点N在M点左侧20m处，则xN＝40﹣20＝20，当x＝20时，

y=则这两条吊索的总长度为2×10＝20，∴这两条吊索的总长度为20m；（3）吊索长度为16.25m，则

180解得x1＝10或x2＝70，答：应将该吊索安置在距A点10m或70m的桥面上．23.如图，正方形ABCD中，点P为直线BD上一个动点，将射线PA绕点P逆时针旋转90°交直线BC于点Q，点M为线段AQ的中点，连接PM，BM．（1）如图①，当点P在线段BD上时，线段AP与线段BM的数量关系为

；（2）当点P在直线BD上时，线段AP与线段BM的数量关系是否变化，仅以图②的情形说明理由；（3）若CD＝3，

PD=13BD，请直接写出23.解：（1）AP

=2BM【解法提示】如图①，过P作PH⊥BC于H，PG⊥AB于G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，∴BG＝PG，∵∠PGB＝∠GBH＝∠BHP＝90°，∴四边形BGPH是正方形，∴PG＝PH，∠GPH＝90°，即∠QPH+∠GPQ＝90°，∵将射线PA绕点P逆时针旋转90°交直线BC于点Q，∴∠APQ＝90°，即∠APG+∠GPQ＝90°，