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第七节无穷小的比较一、无穷小的比较二、关于等价无穷小的两个重要结论

第一章一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限定义:例如,说明:1）等价无穷小具有传递性:即2)高阶无穷小不具有等价代换性。但3)未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如:当

4)对于无穷大量也可作类似的比较、分类；时，与既非同阶，又无高低阶可比较不存在；都是无穷小例1:当时,将下列各量与无穷小量进行比较.（2）（3）（1）（2）不存在.与不能比较.（3）解:（1）例2解例3解证明:（必要性）（充分性）二、关于等价无穷小的两个重要结论:意义:用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,常用等价无穷小:定理２(等价无穷小代换定理)证明:例4求解:时,故例5解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限.不能滥用等价无穷小代换.注意:例6解:例7解解错切记:只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.例8解内容小结:1.无穷小的比较设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且

是

的高阶无穷小

是

的低阶无穷小

是

的同阶无穷小

是

的等价无穷小

是

的k阶无穷小

反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.

作业P604常用等价无穷小:2.等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.不能.例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当

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