广东省深圳市2023-2024学年重点中学高一（上）期末数学试卷

广东省深圳市2023-2024学年重点中学高一（上）期末数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数f(x)=x+1A．(23，+∞)C．(23，1)∪(1，+∞)2．若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数A．(−∞，−2)∪(2，+∞) B．(−∞，−2]C．[2，+∞) D．(−∞，−2]∪[2，+∞)3．“x>0”是“x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数y=ax+4+2(a>0，且a>1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点PA．35 B．−35 C．45．下列是奇函数，且在区间(0，+∞)上单调递增的是（）A．y=x−1 B．y=x C．y=6．已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则1mA．4 B．6 C．8 D．127．将函数y=2cos(4x−πA．x=π12 B．x=−π6 C．8．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于(或等于)0.2毫克/毫升属于酒驾.假设某驾驶员一天晚上6点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早点(结果取整数)开车才不构成酒驾.(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)（）A．7 B．8 C．9 D．10二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．下列是函数图象的是（）A． B．C． D．10．已知函数f(x)=sinx+1A．f(x)的定义域是R B．f(x)的图象关于原点对称C．f(−π6)=−52 D．当11．已知f(x)的定义域是R，f(x)既是奇函数又是减函数．若a，b∈R，且a+b<0，则（）A．f(a+b)>0 B．f(a)+f(b)<0 C．f(a+b)<0 D．f(a)+f(b)>012．若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在区间(0，4)，(0，2)，(1，A．f(4) B．f(2) C．f(1) D．f(三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知a>0，计算：a1214．若函数f(x)=log1215．若sinθ、cosθ是关于x的方程x2−ax+a=016．设当x=θ时，函数f(x)=3cosx−sinx，x∈R取得最大值，则cosθ=．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．设U=R，已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．（1）当m=4时，求∁U（2）若B≠∅，且B⊆A，求实数m的取值范围．18．已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R且a≠0)（1）若函数f(x)的最小值为f(1)=0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；（2）在(1)的条件下，f(x)>x+k在区间[1，3]上恒成立，试求19．已知函数f(x)=2(3cosx−sinx)sinx，（1）求函数f(x)的最小正周期与单调增区间；（2）求函数f(x)在[0，π20．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前n(n∈N∗)年的支出成本为(10n2−2n)万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以21．已知函数f(x)=3x−（1）证明f(x)是增函数；（2）若不等式3xf2(x)+m⋅f(x)≥0对于22．已知函数f(x)=lg（1）求不等式f(x)>0的解集；（2）函数g(x)=2−ax(a>0，a≠1)，若存在x1，x2

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：要使函数f(x)=x+13x−2+(x−1)0有意义，则x-1≠03x-2>0，解得x>23且x≠1，

故函数f(x)=2．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得：命题“∃x0∈R，x02+ax0+1<0”是真命题，则故答案为：A.【分析】由题意可知：命题的否定为真命题，利用Δ>0，即可求解.3．【答案】A【解析】【解答】设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜−1，或x＞0}，∵A⊂≠故“x＞0”是“x2故答案为：A．

【分析】首先由一元二次不等式的解法求出集合B，再由集合之间的关系结合充分必要条件的定义即可得出结果。4．【答案】A【解析】【解答】解：令x+4=0，解得x=−4，y=3，则函数y=ax+4+2（a>0，且a≠1又因为角α的终边经过点P，所以sinα=故答案为：A.【分析】先求函数y=a5．【答案】D【解析】【解答】解：A、函数y=x−1的定义域为-∞，0∪0，+∞，满足B、函数y=x的定义域为[0，∞），定义域不关于原点对称，所以函数y=C、函数y=ex的定义域为R，f-xD、函数y=x3的定义域为R，且满足f-x=-x故答案为：D.【分析】根据函数的单调性和奇偶性定义逐项判断即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：∵实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，∴1m+2n=12(2m+n)(1m+∴1m故选A．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．7．【答案】B【解析】【解答】将函数y=2cos得到y=2cos(2x−π得到y=2cos[令2x+π3=kπ，k∈Z，则x=显然，k=0时，对称轴方程为x=−π故答案为：B

【分析】根据三角函数的图象变换，得到y=2cos(8．【答案】D【解析】【解答】解：假设经过x小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，则1×(1−10%)x<0则x>lg所以xmin=16，所以次日上午最早故答案为：D.【分析】假设经过x小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，则1×(1−109．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由函数的定义可知，定义域内的每一个x都有唯一的一个y和它对应，根据图象可知C不是函数图象，ABD是函数图象.故答案为：ABD.【分析】根据函数的定义直接判断即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、函数f(x)B、由A可知，定义域关于原点对称，且满足f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)C、因为f(−πD、当x∈(π，2π)时，sinx<0故答案为：BC.【分析】求函数得定义域，再根据函数奇偶性的定义即可判断A、B；根据函数解析式可得函数值即可判断C；根据余弦函数的性质即可判断D.11．【答案】A,D【解析】【解答】解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又因为函数f(x)为减函数，a+b<0，

所以f(a+b)>f(0)=0，故A正确，C错误；因为a+b<0，所以a<−b，又因为函数f(x)所以f(a)>f(−b)，即f(a)>−f(b)，所以f(a)+f(b)>0，故D正确，B错误.故答案为：AD.【分析】根据题意可知f(0)=0，结合a+b<0即可判断A，C；因为a+b<0，所以a<−b，结合其单调性和奇偶性得到f(a)>−f(b)，即可判断B、D.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由二分法的步骤可知，①零点在(0，4)内，则有f(0)②零点在(0，2)内，则有f(0)③零点在(1，2)内，则有f(1)⋅f(④零点在(1，32)内，则有f(1)⑤零点在(54，32)内，则有所以与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f(3故答案为：ABD.

【分析】本题考查二分法求函数的零点.根据二分法及函数零点的存在性定理，逐步分析可得.13．【答案】a【解析】【解答】解：a1故答案为：a.【分析】利用幂的运算性质直接求解即可.14．【答案】1【解析】【解答】解：因为2>0，所以f(2)=log1故答案为：12【分析】首先计算f(2)=−1，再计算f[f(2)]即可得解.15．【答案】2【解析】【解答】解：由题意得，Δ=a2−4a≥0sinθ+又(sinθ+cosθ)2=1+2sin则sinθ+所以cos=−sin故答案为：2−1

【分析】本题考查三角函数的平方关系，三角函数的诱导公式.先根据韦达定理得到Δ=a2−4a≥0sinθ+16．【答案】3【解析】【解答】解：利用辅助角公式化简可得f(x)=3cosx−sinx=10cos(x+φ)当x+φ=2kπ，k∈Z时函数fx取最大值，即θ+φ=2kπ，所以θ=−φ+2kπ，故cos故答案为310【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据余弦函数性质求解即可.17．【答案】（1）解：当m=4时，集合B=[5，7]，

所以A∪B=[−2，7]，（2）解：因为B≠∅，且B⊆A，

则有 m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤5，解得2≤m≤3，

所以实数m的取值范围为【解析】【分析】（1）将m=4代入，根据并集和补集的运算求解即可；（2）由题意可得m+1≤2m−1m+1≥−218．【答案】（1）解：由题意知f(1)=a+b+1=0，且−b2a=1，

∴a=1，b=−2，∴f(x)=x2−2x+1，

因为函数f(x)对称轴x=1，开口向上，

（2）解：f(x)>x+k在区间[1，3]上恒成立，

转化为x2−3x+1>k在[1，3]上恒成立．

设g(x)=x2−3x+1，x∈[1，3]，且对称轴为x=32，

则g(x)【解析】【分析】（1）根据二次函数f(x)的最小值为f(1)=0，可得a+b+1=0，且−b2a=1，求得a（2）分离参数k，问题转化为x2−3x+1>k在区间[1，3]上恒成立，设19．【答案】（1）解：f(x)=2(=2sinf(x)的最小正周期为：T=2π2=π，

令−π2+2kπ≤2x+π6≤（2）解：因为0≤x≤π4，所以π6≤2x+π6≤2π3，

所以12≤sin(2x+π6)≤1，即0≤2sin(2x+π6)−1≤1，

所以0≤f(x)≤1，

【解析】【分析】（1）利用正弦、余弦二倍角公式结合两角和的正弦公式化简函数f(x)，再求函数的最小正周期与的单调区间；（2）由0≤x≤π4，求得π620．【答案】解：方案二更合理，理由如下：

方案一：设f(n)为前n年的总盈利额，单位：万元；

由题意可得f(n)=98n−(10n2−2n)−160=−10n2+100n−160=−10(n−5)2+90，

当n=5时，f(n)取得最大值90；此时处理掉设备，则总利润为90+20=110万元；

方案二：平均盈利额为f(n)n=−10n2+100n−160n=−10(n+16n)+100≤100−20n⋅【解析】【分析】方案一：设f(n)为前n年的总盈利额，根据题意可得f(n)=98n−(10n2−2n)−160=−10(n−521．【答案】（1）证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=3x1−（2）解：∀x∈[1，2]，f(x)=3x−3−x≥f(1)=3−13=83>0，

不等式3xf2(x)+m⋅f(x)≥0对于∀x∈[1，2]恒成立，

即m⋅f(x)≥−3xf【解析】【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；（2）由x∈[1，2]求得f(x)>0，分离参数将问题转化为m≥−3xf(x22．【答案】（1）解：lg1−x1+x>0=lg1，

∴1−x1+x>1，即−2x1+x>0，解得，−1