2025版高中数学课时作业16空间距离习题课新人教A版必修2

PAGEPAGE1课时作业16空间距离(习题课)基础巩固1．若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1究竟面ABCD的距离为()图1A.eq\f(\r(3),3) B．1C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：因为正棱柱AC1中，BB1⊥平面ABCD，所以AB1与平面ABCD所成的角是∠B1AB.由AB＝1可得BB1＝eq\r(3).因为AA1⊥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离为eq\r(3).故选D.答案：D2．把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是()A．a B.eq\f(\r(6),2)a C.eq\f(\r(3),3)a D.eq\f(\r(15),4)a解析：折后BC＝eq\f(a,2)，∴点A到BC的距离为eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15)a,4).答案：D3．△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离为()A．7B．9C．11D．13解析：BC＝eq\r(92＋152－2×9×15cos120°)＝21.∴△ABC外接圆半径R＝eq\f(21,2sin120°)＝7eq\r(3)，∴点P到α的距离为eq\r(142－（7\r(3)）2)＝7.答案：A4．如图2，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD的距离是()图2A.eq\f(3,4)a B.eq\f(\r(3),4)aC.eq\f(\r(3),2)a D.eq\f(\r(6),4)a解析：取BD的中点O连AO、OC，作OE⊥AC于E，则OE为所求，∴AO＝CO＝AC＝eq\f(\r(3)a,2)，OE＝OC·cos30°＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4)a.答案：A5．设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm，AB与平面α所成的角是60°，则线段AB的长是________．解析：当点A、B在α同侧时，AB＝eq\f(3,sin60°)＝2eq\r(3)；当点A、B在α异侧时，AB＝eq\f(5,sin60°)＝eq\f(10\r(3),3).答案：2eq\r(3)cm或eq\f(10\r(3),3)cm6．如图3，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A­DED1的体积为________．图3解析：三棱锥A­DED1的体积等于三棱锥E­DD1A的体积，即VA­DED1＝VE­DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)实力提升1．空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为()A.eq\f(1,2)a B.eq\f(\r(2),2)aC.eq\f(\r(3),2)a D．a解析：P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意，求得PQ＝eq\f(\r(2),2)a.答案：B图42．如图4，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有()A．1<d1<d2 B．d1<d2<1C．d1<1<d2 D．d2<d1<1解析：点C到平面PAB的距离d1＝eq\f(\r(2),2)，点B到平面PAC的距离d2＝eq\f(1·\f(\r(2),2),\r(1＋\f(1,2)))＝eq\f(\r(3),3)，∵eq\f(\r(3),3)<eq\f(\r(2),2)<1，∴d2<d1<1.答案：D3．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．1解析：如图5，过C作CE∥BD，连接BE，AE，易得BE⊥AE，AC＝CE＝1，AE＝eq\r(2)，AB＝2，BE＝CD＝eq\r(2).图5答案：C4．二面角α­MN­β等于60°，平面α内一点A到平面β的距离AB的长为4，则点B到α的距离为________.解析：作AC⊥MN于C，连BC，则BC⊥MN，∴∠ACB＝60°，又MN⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面α，作BD⊥AC于D，则BD⊥α，∴BD的长即为所求，得BD＝2.答案：25．已知斜三棱柱ABC­A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直．∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2eq\r(3)，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C.(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离．解：(1)如图6所示，作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC图6∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C∴∠A1AD＝45°为所求．(2)作DE⊥AB垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．由已知AB⊥BC得DE∥BC，又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2eq\r(3)∴DE＝1，AD＝A1D＝eq\r(3)，tan∠A1ED＝eq\f(A1D,DE)＝eq\r(3)，故∠A1ED＝60°为所求．(3)连结A1B，依据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥CA1AB的高h.由VCA1AB＝VA1ABC得eq\f(1,3)S△AA1B·h＝eq\f(1,3)S△ABC·A1D即eq\f(1,3)×2eq\r(2)·h＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\r(3)，∴h＝eq\r(3)为所求．6．(2024年衡水高三一调)如图7的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F为CD的中点．图7(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求此几何体的体积．解：(1)证明：取CE的中点G，连接FG，BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝eq\f(1,2)DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝eq\f(1,2)DE，∴GF＝AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴A