2024-2025学年高中数学第2章推理与证明章末综合提升学案含解析新人教A版选修1-2

PAGE第2章章末综合提升[巩固层·学问整合][提升层·题型探究]合情推理【例1】(1)视察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，……，据此规律，第n个等式可为_____________________________．(2)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.(1)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)(2)eq\f(1,27)[(1)等式的左边的通项为eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，前n项和为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；右边的每个式子的第一项为eq\f(1,n＋1)，共有n项，故为eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n).(2)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).]1．归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤eq\o([跟进训练])1．(1)视察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律，推出Sn与n的关系式为________．(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．(1)Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)(2)eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)[(1)依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．……猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)．(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．]综合法与分析法【例2】若a、b、c是△ABC的三边长，m＞0，求证：eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).思路探究：依据在△ABC中随意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立．[证明]要证明eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m)，只需证明eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)－eq\f(c,c＋m)＞0即可．∵eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)－eq\f(c,c＋m)＝eq\f(ab＋mc＋m＋ba＋mc＋m－ca＋mb＋m,a＋mb＋mc＋m)∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中随意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).1．(变条件)本例删掉条件“m＞0”，证明：eq\f(a＋b,1＋a＋b)>eq\f(c,1＋c).[证明]要证eq\f(a＋b,1＋a＋b)>eq\f(c,1＋c).只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c.即证a＋b>c.而a＋b>c明显成立．所以eq\f(a＋b,1＋a＋b)>eq\f(c,1＋c).2．(变条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”，求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).[证明]要证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).即证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，即证eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1.即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列．∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．分析法，综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，经常把分析法和综合法结合起来运用，即先利用分析法找寻解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.反证法【例3】已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.[证明]假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝2x2－2x＋eq\f(1,2)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3≥3，两者冲突，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.反证法的关注点1反证法的思维过程：否定结论推理过程中引出冲突否定假设确定结论，即否定——推理——否定经过正确的推理导致逻辑冲突，从而达到新的“否定”，即确定原命题.2反证法常用于干脆证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.eq\o([跟进训练])2．若x，y，z∈(0,2)，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不行能都大于1.[证明]假设x(2－y)>1，且y(2－z)>1，且z(2－x)>1均成立，则