2024-2025学年高中数学第四章三角恒等变换2.1两角和与差的余弦公式及其应用课后习题含解析北师大版必修第二册

PAGE§2两角和与差的三角函数公式2.1两角和与差的余弦公式及其应用课后篇巩固提升基础达标练1.cos285°等于()A.6-24C.2-64 D解析cos285°=cos(360°-75°)=cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=6-答案A2.计算cosπ4-αA.2 B.-2 C.22 D.-解析cos=22答案C3.满意sinαsinβ=-cosαcosβ的一组值是()A.α=β=90° B.α=18°,β=72°C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°解析由sinαsinβ=-cosαcosβ可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,只有C项符合.答案C4.在△ABC中,sinAsinB<cosAcosB,则△ABC是()A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等腰三角形解析由题意,得cosAcosB-sinAsinB>0,则cos(A+B)>0,所以cos(π-C)>0,即cosC<0,所以∠C是钝角.答案B5.(多选)已知sinα=55,sin(α-β)=-1010,α,β均为锐角,则β=(A.cos(α-β)=-31010 B.cos(α-β)C.cosα=255 D.β解析因为α,β均为锐角,所以-π2<α-β<π又sin(α-β)=-1010,所以cos(α-β)=31010.故A错误又sinα=55,所以cosα=255,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=255×31010+55×-1010=22,答案BCD6.(多选)满意cosαcosβ=32-sinαsinβ的一组α,β的值是(A.α=13π12,β=3π4 B.α=πC.α=π2,β=π6 D.α=π12,解析因为cosαcosβ=32-sinαsinβ所以cosαcosβ+sinαsinβ=32,即cos(α-β)=3当α=13π12,β=3π4时,α-β=π3,cos(α-β)=1当α=π2,β=π3时,α-β=π6,cos(α-β)=32,当α=π2,β=π6时,α-β=π3,cos(α-β)=12,当α=π12,β=π4时,α-β=-π6,cos(α-β)=32,答案BD7.化简cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)·sin(α+5°)=.

解析原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=12答案18.(2024江西南昌高一检测)已知α为三角形的内角且12cosα+32sinα=12,则α=解析因为12cosα+32sinα=cosπ3cosα+sin=cosα-π3=12,又0<α<π,-π3<α-π3<2π3,所以α-答案239.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=255,求cos(α-β解因为a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),所以a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).所以|a-b|=(=co=2-所以2-2cos(α-β)=45,所以cos(α-β)=3实力提升练1.已知sinα=35,α∈0,π2,则cos7π4+α等于()A.425 B.-7210 C.-解析由题意可知cosα=45cos7π4+α=cos2π-π4+α=cosα-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ答案D2.已知锐角α,β满意cosα=35,cos(α+β)=-513,则cos(2π-β)的值为(A.5465 B.-5465 C.3365 D解析因为α,β为锐角,cosα=35,cos(α+β)=-5所以sinα=45,sin(α+β)=12所以cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-513答案C3.在△ABC中,cosA=35,且cosB=513,则cosC的值是解析因为在△ABC中,cosA=35,可知A为锐角所以sinA=1-因为cosB=513,可知B也为锐角所以sinB=1-所以cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=45答案334.若sinα-sinβ=32,cosα-cosβ=12,则cos(α-β)的值为(A.12 B.32 C.34解析由sinα-sinβ=32,cosα-cosβ=12,得sin2α+sin2β-2sinαsinβ=34,cos2α+cos2β-2cosαcosβ=14,以上两式相加得2-2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1,所以sinαsinβ+cosαcosβ=12,故cos(α-答案A5.已知α∈0,π2,tanα=2,则cosα-解析由tanα=2,得sinα=2cosα.又sin2α+cos2α=1,α∈0,所以cosα=55,sinα=2所以cosα-π4=cosαcosπ4+=55答案36.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=3解析因为0<α<π2,所以π4<π4又cosπ4+α=1因为-π2<β<0,所以π又cosπ4-β2=于是cosα+β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ答案67.已知函数f(x)=2sin13x-π6(1)求f5π4(2)设α,β∈0,π2,f3α+π2=1013,f(3β+2π)=解(1)f5π4=2sin13×5π4-(2)f3α所以2sin13所以sinα=513,又因为f(3β+2π)=6所以2sin13(3β+2π)-因为α,β∈0,π2,所以cosα=1213,sin所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=1213素养培优练1.若α,β都是锐角,且cosα=55,sin(α-β)=1010,则cosβ=(A.22 B.C.22或-210 D解析因为α,β都是锐角,且cosα=55,sin(α-β)=1010,所以sinα=255,cos(α-β)=31010,从而cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)答案A2.(2024浙江杭州十四中月考)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,则cosα+π4=.

解析因为α,β∈3π4,π,所以α+β∈