2025版高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1课时正弦定理A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB＝(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(5,9)C．eq\f(\r(5),3) D．1[解析]由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，知eq\f(3,\f(1,3))＝eq\f(5,sinB)，即sinB＝eq\f(5,9)，选B．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值为(D)A．－eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．1 D．eq\f(7,2)[解析]由正弦定理得eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)＝eq\f(2b2－a2,a2)＝eq\f(2b2,a2)－1＝eq\f(2·\f(3,2)a2,a2)－1＝eq\f(7,2).3．已知△ABC的面积为eq\f(3,2)，且b＝2，c＝eq\r(3)，则sinA＝(A)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\r(3)[解析]由已知，得eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×sinA，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).4．(2024·湖南武冈二中高二月考)在△ABC中，∠A＝60°，a＝2，b＝4，那么满意条件的△ABC(C)A．有一个解 B．有两个解C．无解 D．不确定[解析]∵a＝2，b＝4，∠A＝60°，∴a＜bsinA，∴△ABC无解．5．(2024·山东理，9)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若△ABC为锐角三角形，且满意sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是(A)A．a＝2b B．b＝2C．A＝2B D．B＝2[解析]∵等式右边＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左边＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC>0，得sinA＝2sinB.依据正弦定理，得a＝2b.故选A．6．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(C)A．x>2 B．x<2C．2<x<2eq\r(2) D．2<x<2eq\r(3)[解析]由题设条件可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2,xsin45°<2))，∴2<x<2eq\r(2).二、填空题7．已知△ABC外接圆半径是2cm，∠A＝60°，则BC边长为__2eq\r(3)cm__.[解析]∵eq\f(BC,sinA)＝2R，∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝2eq\r(3)(cm)．8．(2024·北师大附二中高二检测)在△ABC中，若B＝2A，a∶b＝1∶eq\r(3)，则A＝__30°__.[解析]由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)知，eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)＝eq\f(1,\r(3))，所以sinB＝eq\r(3)sinA＝sin2A.所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，因为A为△ABC的内角，所以A＝30°.三、解答题9．在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，求△ABC中其他边与角的大小．[解析]由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)×sin45°,2)＝eq\f(\r(3),2)，∵因为0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin75°,sin60°)＝eq\r(3)＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin15°,sin120°)＝eq\r(3)－1.∴b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.10．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C[解析]∵A、B、C是三角形的内角，∴A＝π－(B＋C)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.∴sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0，又∵0<B<π，0<C<π，∴－π<B－C<π，∴B＝C.又∵sin2A＝sin2B＋sin2∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，∴△ABC是等腰直角三角形．B级素养提升一、选择题1．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为(D)A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3)＋1,4)[解析]由正弦定理，得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\r(2)，∵B＝180°－30°－45°＝105°，sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3)＋1,4).2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝(D)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－1 D．1[解析]∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，∴sinAcosA＋cos2B＝1.3．(2024·全国卷Ⅰ文，11)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，则C＝(B)A．eq\f(π,12) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,3)[解析]因为a＝2，c＝eq\r(2)，所以由正弦定理可知，eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(2),sinC)，故sinA＝eq\r(2)sinC，又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(3π,4).从而sinC＝eq\f(1,\r(2))sinA＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).由A＝eq\f(3π,4)知C为锐角，故C＝eq\f(π,6).故选B．4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是(C)A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直[解析]∵k1＝－eq\f(sinA,a)，k2＝eq\f(b,sinB)，∴k1·k2＝－1，∴两直线垂直．二、填空题5．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝__1__.[解析]设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝eq\f(2×4k－3k,5k)＝1.6．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.下面三个不等式成立的是__①②③__.①sinA>sinB；②cosA<cosB；③sinA＋sinB>cosA＋cosB.[解析]∵0<B<A<eq\f(π,2)且函数y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上是增函数，∴sinA>sinB，故①成立．函数y＝cosx在区间[0，π]上是减函数，∵A>B，∴cosA<cosB，故②成立．在锐角三角形中，∵A＋B>eq\f(π,2)，∴A>eq\f(π,2)－B，则有sinA>sin(eq\f(π,2)－B)．即sinA>cosB，同理sinB>cosA.故③成立．三、解答题7．(2024·湖南武冈二中高二月考)在△ABC中，AC＝6，cosB＝eq\f(4,5)，C＝eq\f(π,4).(1)求AB的长；(2)求cos(A－eq\f(π,6))的值．[解析](1)∵cosB＝eq\f(4,5)，∴sinB＝eq\f(3,5).由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(ACsinC,sinB)＝eq\f(6×\f(\r(2),2),\f(3,5))＝5eq\r(2).(2)sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),10)，∴又cosA＝－cos(B＋C)＝－eq\f(\r(2),10).∴cos(A－eq\f(π,6))＝cosAcoseq\f(π,6)＋sinAsineq\f(π,6)＝－eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(1,2)＝eq\f(7\r(2)－\r(6),20).8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知cosB＝eq\f(\r(3),3)，sin(A＋B)＝eq\f(\r(6),9)，ac＝2eq\r(3)，求sinA和c的值．[解析]在△ABC中，由cosB＝eq\f(\r(3),3)，得sinB＝eq\f(\r(6),3).因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝eq\f(\r(6),9).因为sinC＜sinB，所以C＜B，所以C为锐角，所以cosC＝eq\f(5\r(3)