2024-2025学年高中数学第二章平面向量及其应用6.1第1课时余弦定理课后习题含解析北师大版必修第二册VIP

PAGE§6平面对量的应用6.1余弦定理与正弦定理第1课时余弦定理课后篇巩固提升基础达标练1.(2024山东高一月考)已知△ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,c=7,b=1,C=2π3,则a=(A.5 B.2 C.3 D.3解析由余弦定理推论可得,cosC=a2+b2-c22ab=a2+1-72a答案B2.(2024北京十五中高一期中)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=4,C=60°,则c的值等于()A.5 B.13 C.13 D.37解析由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=9+16-24×12=13,所以c=13.故选C答案C3.(2024海南高二期末(文))在△ABC中,AB=3,BC=7,A=120°,则AC=()A.5 B.6 C.8 D.79解析依据余弦定理AC2+AB2-BC2=2·AB·AC·cosA,代入数据,得到AC2+3AC-40=0,解得AC=5.故选A.答案A4.(2024广东执信中学高三月考(理))在△ABC中,已知B=3π4,BC边上的高恰为BC边长的一半,则cosA=(A.255 B.55 C.2解析作AH⊥CB交CB延长线上一点H,又知∠ABC=3π4.所以△AHB为等腰直角三角形,设BC=2a,则AB=2a,AH=a,CH=3a,由勾股定理得AC=10a,依据余弦定理得cos∠BAC=2a2答案A5.(2024中心民族高校附属中学高一月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,则角A的大小为.

解析因为b2+c2=a2+bc,由余弦定理得cosA=b2因为A为△ABC的内角,所以A=60°.答案60°6.(2024北京人大附中高三开学考试)在△ABC中,a=3,b=13,B=60°,则c=,△ABC的面积为.

解析由余弦定理,得9+c2-2×3c×12=13,解得c=4;由三角形的面积公式,得S=12acsinB=12×3×4×32答案433实力提升练1.若△ABC的内角A,B,C所对应的边a,b,c满意(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为()A.8-43 B.1 C.43 D.解析因为△ABC的边a,b,c满意(a+b)2-c2=4,所以c2=(a+b)2-4=a2+b2+2ab-4.又C=60°,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,所以2ab-4=-ab,所以ab=43.故选C答案C2.(2024四川阆中中学高三月考(理))在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a,b,c干脆求三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了海伦公式即S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=12(a+b+c).我国南宋闻名数学家秦九韶(约1202—A.a+c+C.c2+a解析因为c2+a2所以14(c2a2-答案C3.(2024北京清华附中高三月考(理))在△ABC中,A=60°,a=7,b=3,则c=.

解析由余弦定理可得,(7)2=32+c2-2×3c×12,整理得c2-3c+2=0,解得c=1或2答案1或24.(2024白城市第四中学高一月考)在钝角三角形ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=1,b=3,则最大边c的取值范围是.

解析由题意知3-1<c<3+1,即2<c<4,又△ABC为钝角三角形,C为最大边,所以cosC<0,所以依据余弦定理得,a2+b2-c2<0,即c2>10,解得c>10.所以10<c<4,故最大边c的取值范围是(10,4).答案(10,4)5.(2024北京市第十三中学高三开学考试)已知△ABC同时满意下列四个条件中的三个:①A=π3;②cosB=-23;③a=7;④b=(1)请指出这三个条件,并说明理由;(2)求△ABC的面积.解(1)△ABC同时满意①③④.理由如下:因为cosB=-23<-12,且B∈(0,所以B>2π若△ABC同时满意①②,则A+B>π,明显不成立.所以△ABC只能同时满意③,④.所以a>b,所以A>B,故△ABC不满意②.故△ABC满意①③④.(2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,即72=32+c2-2×3×c×12解得c=8或c=-5(舍去).所以△ABC的面积S=12bcsinA=63素养培优练如图,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,则建筑物的高度为多少?解设建筑物的高度为hm,由题图知,PA=(2h)m,PB=(2h)m,PC=23在△PBA和△PBC中,分