新高考数学二轮复习强化练习专题17 直线与圆及相关的最值问题（讲）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题17直线与圆及相关的最值问题（讲）真题体验感悟高考1．（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为SKIPIF1<0，可得圆的半径为SKIPIF1<0，写出圆的标准方程，利用点SKIPIF1<0在圆上，求得实数SKIPIF1<0的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线SKIPIF1<0的距离.【详解】由于圆上的点SKIPIF1<0在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为SKIPIF1<0，则圆的半径为SKIPIF1<0，圆的标准方程为SKIPIF1<0.由题意可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以圆心的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，圆心到直线的距离均为SKIPIF1<0；圆心到直线的距离均为SKIPIF1<0圆心到直线SKIPIF1<0的距离均为SKIPIF1<0；所以，圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.故选：B.2．（2021·北京·统考高考真题）已知直线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）与圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变化时，若SKIPIF1<0的最小值为2，则SKIPIF1<0

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出SKIPIF1<0【详解】由题可得圆心为SKIPIF1<0，半径为2，则圆心到直线的距离SKIPIF1<0，则弦长为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，弦长SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.3．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=SKIPIF1<0和x2+y2=SKIPIF1<0都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+SKIPIF1<0 C．y=SKIPIF1<0x+1 D．y=SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据导数的几何意义设出直线SKIPIF1<0的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上的切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0，两边平方并整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍），则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.总结规律预测考向（一）规律与预测（1）直线、圆的方程及位置关系问题，多以选择题或填空题的形式呈现，此类试题难度中等偏下.有时也会出现在压轴题的位置，难度较大.

（2）和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，中低难度.（3）和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．（二）本专题考向展示考点突破典例分析考向一求直线方程【核心知识】直线方程的几种形式：两直线平行、垂直的条件：【典例分析】典例1.（2020·山东·统考高考真题）直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的直线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为SKIPIF1<0,则其关于点SKIPIF1<0对称的点的坐标为SKIPIF1<0，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为SKIPIF1<0，则其关于点SKIPIF1<0对称的点的坐标为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.故选：D.典例2.（2022·全国·统考高考真题）写出与圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的一条直线的方程________________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，再结合①解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直线方程有三条，分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0填一条即可SKIPIF1<0[方法二]：设圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然SKIPIF1<0符合题意；又由方程SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相减可得方程SKIPIF1<0，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为SKIPIF1<0，直线OC与直线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，设过该点的直线为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，从而该切线的方程为SKIPIF1<0填一条即可SKIPIF1<0[方法三]：圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，两圆圆心距为SKIPIF1<0，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设方程为SKIPIF1<0O到l的距离SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以l的方程为SKIPIF1<0，当切线为m时，设直线方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当切线为n时，易知切线方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【规律方法】解决直线方程问题的注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用SKIPIF1<0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．(4)直线与圆相切时,利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，一般求切线方程时主要选择点斜式．考向二求圆的方程【核心知识】圆的标准方程：圆的一般方程：【典例分析】典例3.（2023·全国·模拟预测）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，写出一个半径为SKIPIF1<0，且与圆SKIPIF1<0及直线都相切的圆的方程：______．【答案】SKIPIF1<0(答案不唯一)【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.【详解】设圆心SKIPIF1<0为SKIPIF1<0,由已知圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切,圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切,可得SKIPIF1<0,即得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,且已知半径为SKIPIF1<0,所以圆的方程可以为:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<0(答案不唯一)典例4.（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的方程为______________．【答案】SKIPIF1<0【分析】设出点M的坐标，利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆∵点M在直线SKIPIF1<0上，∴设点M为SKIPIF1<0，又因为点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线SKIPIF1<0的交点(1,-1).SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0典例5.（2022·全国·统考高考真题）过四点SKIPIF1<0中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】方法一：设圆的方程为SKIPIF1<0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为SKIPIF1<0，（1）若过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）若过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（3）若过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（4）若过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设SKIPIF1<0（1）若圆过SKIPIF1<0三点，圆心在直线SKIPIF1<0，设圆心坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0；（2）若圆过SKIPIF1<0三点，设圆心坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0；（3）若圆过SKIPIF1<0三点，则线段SKIPIF1<0的中垂线方程为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中垂线方程为SKIPIF1<0，联立得SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0；（4）若圆过SKIPIF1<0三点，则线段SKIPIF1<0的中垂线方程为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0中垂线方程为SKIPIF1<0，联立得SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．【总结提升】求圆的方程一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．考向三直线、圆的距离问题【核心知识】点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0不同时为零)的距离SKIPIF1<0.【典例分析】典例6.（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最大值为（

）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求得SKIPIF1<0点的轨迹，结合圆与直线的位置关系求解即可.【详解】如图所示，设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为2，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆，原点除外，所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的最大值SKIPIF1<0，故选：C典例7.（2023·四川绵阳·统考二模）已知SKIPIF1<0，点A为直线SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0作直线与SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】设SKIPIF1<0，由切线长公式、两点间距离公式计算SKIPIF1<0，转化为点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离之和，即SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，得最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0共线．【详解】设SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，圆半径为SKIPIF1<0，由切线长公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，它表示点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离之和，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，易知当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．故选：C．典例8.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则（

）A．点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离小于SKIPIF1<0B．点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离大于SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线SKIPIF1<0的距离，可得出点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当SKIPIF1<0最大或最小时，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为SKIPIF1<0，最大值为SKIPIF1<0，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当SKIPIF1<0最大或最小时，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线SKIPIF1<0与半径为SKIPIF1<0的圆SKIPIF1<0相离，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的取值范围是SKIPIF1<0.典例9.（2023·重庆·统考一模）已知圆：SKIPIF1<0上恰有3个点到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距离等于2，则SKIPIF1<0的值为_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据圆上SKIPIF1<0个点到直线的距离等于SKIPIF1<0,可得圆心到直线的距离为SKIPIF1<0,利用点到直线的距离公式解出SKIPIF1<0即可.【详解】解:因为圆的方程为SKIPIF1<0,所以圆心为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,因为圆SKIPIF1<0上恰有SKIPIF1<0个点到直线SKIPIF1<0的距离都等于SKIPIF1<0,所以只需要圆心到直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0即可,直线方程为SKIPIF1<0所以圆心到直线的距离为:SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<0【规律方法】（1）求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式.（2）求两平行线之间的距离时，应先将两直线方程化为一般式且SKIPIF1<0的系数对应相等.（3）求曲线上任意一点到已知直线的最小距离时，要利用数形结合和转化与化归的思想解题.

考向四直线与圆、圆与圆位置关系判断【核心知识】1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组SKIPIF1<0消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．【典例分析】典例10.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为SKIPIF1<0的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心SKIPIF1<0到直线l的距离SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在圆C上，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则直线l与圆C相切，故A正确；若点SKIPIF1<0在圆C内，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则直线l与圆C相离，故B正确；若点SKIPIF1<0在圆C外，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则直线l与圆C相交，故C错误；若点SKIPIF1<0在直线l上，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.典例11.【多选题】（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0必过定点 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的弦长为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0可能相切 D．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0不可能相离【答案】ABD【分析】将直线SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，即可求定点坐标，即可判断A；根据弦长公式求弦长，判断B；根据直线SKIPIF1<0所过定点与圆SKIPIF1<0的关系，再结合直线方程的形式，即可判断CD.【详解】A.SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以直线过点SKIPIF1<0，故A正确；B.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，弦长SKIPIF1<0，故B正确；C.直线所过定点SKIPIF1<0在圆上，过点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切的直线是SKIPIF1<0，但直线SKIPIF1<0，表示斜率存在的直线，表示不了直线SKIPIF1<0，故不存在直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，故C错误；D.直线所过定点SKIPIF1<0在圆上，所以直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0总有公共点，不可能相离，故D正确.故选：ABD典例12.（2022·全国·统考高考真题）设点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的直线与圆SKIPIF1<0有公共点，则a的取值范围是________．【答案】SKIPIF1<0【分析】首先求出点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称点SKIPIF1<0的坐标，即可得到直线SKIPIF1<0的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的点的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0所在直线即为直线SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；圆SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，依题意圆心到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0【总结提升】判断直线与圆的位置关系主要通过比较圆心到直线的距离和半径的大小，两个圆的位置关系的判断依据是两个圆的圆心距与两个圆的半径差的绝对值或和的大小关系.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．考向五直线与圆、圆与圆弦长问题【核心知识】半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0为弦长，SKIPIF1<0为圆的半径,SKIPIF1<0为圆心到弦的距离).【典例分析】典例13.【多选题】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0内一点SKIPIF1<0作两条互相垂直的弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到四边形SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最小值为4B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．四边形SKIPIF1<0面积的最大值为16D．SKIPIF1<0为定值【答案】ABD【分析】当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点时SKIPIF1<0最小，即可求出SKIPIF1<0，从而判断A；设SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，从而求出SKIPIF1<0，即可判断B；根据SKIPIF1<0利用基本不等式求出四边形SKIPIF1<0面积的最大值，即可判断C；分别取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据数量积的运算律求出SKIPIF1<0的值，即可判断D.【详解】解：当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点时SKIPIF1<0最小，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正确；设SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C错误.SKIPIF1<0SKIPIF1<0分别取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为定值，故D正确.故选：ABD.典例14.（2023秋·天津河西·高三校考期末）若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若弦长SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为______.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】根据题意结合垂径定理求得SKIPIF1<0，再利用点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.【详解】由题意可知：圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，设圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，若弦长SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，即直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，故圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，符合题意；当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0此时直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0；综上所述：直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.典例15.（2023·安徽淮南·统考一模）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于A，B两点，则直线SKIPIF1<0的方程为______；SKIPIF1<0的面积为______.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】两圆相减得到相交弦方程，即直线SKIPIF1<0的方程，求出圆心SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，利用垂径定理得到SKIPIF1<0，得到三角形面积.【详解】两圆相减得：SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0变形得到SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径为2，故圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由垂径定理得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【总结提升】求解圆的弦长的方法1.几何法:根据半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0为弦长，SKIPIF1<0为圆的半径,SKIPIF1<0为圆心到弦的距离).2.公式法:根据公式SKIPIF1<0求解(其中SKIPIF1<0为弦长SKIPIF1<0直线与圆相交所得两个交点的横坐标，SKIPIF1<0为直线的斜率).3.距离法:联立直线与圆的方程，解方程组先求出两交点坐标，再利用两点间的距离公式求解.考向六直线、圆与圆锥曲线【核心知识】圆锥曲线方程及其几何性质【典例分析】典例16.（2023·全国·高三对口高考）设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，与直线SKIPIF1<0相切的圆SKIPIF1<0交椭圆于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，利用椭圆性质可得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0.【详解】如图所示，连接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.典例17.（2022·全国·统考高考真题）若双曲线SKIPIF1<0的渐近线与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线SKIPIF1<0的渐近线为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，依题意圆心SKIPIF1<0到渐近线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．故答案为：SKIPIF1<0．典例18.（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：SKIPIF1<0交C于P，Q两点，且SKIPIF1<0．已知点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与l相切．（1）求C，SKIPIF1<0的方程；（2）设SKIPIF1<0是C上的三个点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均与SKIPIF1<0相切．判断直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与SKIPIF1<0相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出SKIPIF1<0坐标，由SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0；由圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑SKIPIF1<0斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若SKIPIF1<0斜率存在，由SKIPIF1<0三点在抛物线上，将直线SKIPIF1<0斜率分别用纵坐标表示，再由SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，得出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，最后求出SKIPIF1<0点到直线SKIPIF1<0的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，所以半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）[方法一]：设SKIPIF1<0若SKIPIF1<0斜率不存在，则SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，根据对称性不妨设SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切的另一条直线方程为SKIPIF1<0，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在SKIPIF1<0，不合题意；若SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，根据对称性不妨设SKIPIF1<0则过SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切的直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切；若直线SKIPIF1<0斜率均存在，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，同理SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的两根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切；综上若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切.[方法二]【最优解】：设SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，同解法1．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，同理，由直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切得SKIPIF1<0．因为方程SKIPIF1<0同时经过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，点M到直线SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0．所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切．综上所述，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切．【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用SKIPIF1<0的对称性，抽象出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关系，把SKIPIF1<0的关系转化为用SKIPIF1<0表示，法二是利用相切等条件得到SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路考向七隐圆问题【核心知识】1.在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化发现圆(或圆的方程)，从而利用圆的知识来求解，称这类问题为隐圆问题.

2.发现隐圆的方法（1）利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆.（2）在平面上给定相异的两点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0在同一平面上，且满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0的轨迹是一个圆，这个圆我们称为阿波罗尼斯圆.（3）两定点SKIPIF1<0与动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，确定隐圆.（4）两定点SKIPIF1<0与动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0是定值，确定隐圆.【典例分析】典例19.（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0作⊙M的切线SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最小时，直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点SKIPIF1<0共圆，且SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可知，当直线SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，求出以SKIPIF1<0为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线SKIPIF