新高考数学二轮复习强化练习专题16 立体几何线面位置关系及空间角的计算（练）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题16立体几何线面位置关系及空间角的计算（练）【对点演练】一、单选题1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，正方体SKIPIF1<0中，P是SKIPIF1<0的中点，给出下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0其中正确的结论个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，不存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，所以①错误.SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0,故可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，②正确.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，③正确.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直，所以④错误.故正确的个数为SKIPIF1<0个.故选：B2．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图，在正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，则下列说法正确的是（

）A．当点SKIPIF1<0移动至SKIPIF1<0中点时，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角最大且为SKIPIF1<0B．无论点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上怎么移动，都有SKIPIF1<0C．当点SKIPIF1<0移动至SKIPIF1<0中点时，才有SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于一点，记为点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0D．无论点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上怎么移动，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角可能是SKIPIF1<0【答案】B【分析】对于A，利用四面体的等体积法求解直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值，从而判断正误；对于B，证明正方体SKIPIF1<0的体对角线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即可判断正误；对于C，根据四点共面，利用梯形几何性质求解SKIPIF1<0，即可判断正误；对于D，根据动点SKIPIF1<0的位置，求解异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正切值取值范围来判断正误.【详解】解：对于A，设正方体SKIPIF1<0的棱长为1，如图，连接SKIPIF1<0在正方体SKIPIF1<0中，面对角线SKIPIF1<0，故四面体SKIPIF1<0为正四面体，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为正三角形，则当点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点时，线段SKIPIF1<0的长度最短，且为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值SKIPIF1<0最大，且为SKIPIF1<0，选项A错误；对于B，如图，连接SKIPIF1<0在正方体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为正方形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以总有SKIPIF1<0，选项B正确；对于C，如图，连接SKIPIF1<0，当F为SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0四点共面，SKIPIF1<0为梯形SKIPIF1<0的对角线，故其交于一点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，选项C错误；对于D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角，该角的正切值为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不在该范围内，故无论点F在SKIPIF1<0上怎么移动，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角都不可能是SKIPIF1<0，选项D错误.故选：B.二、多选题3．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）在正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（含端点），则下列说法正确的有（

）A．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值B．若直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．不存在点SKIPIF1<0使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．存在点SKIPIF1<0使直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0【答案】AB【分析】选项A连接SKIPIF1<0，设正方体的棱长为SKIPIF1<0，说明SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可说明点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的高度为定值，SKIPIF1<0为定值，利用等体积法即可说明，选项B建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可，选项C，当SKIPIF1<0处于SKIPIF1<0处时即可判断，选项D借助选项B中的相关结论，假设存在点SKIPIF1<0使直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，根据假设条件，表示出线面角，列出等式，推出结论即可.【详解】选项A，连接SKIPIF1<0，如图所示：设正方体的棱长为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以直线SKIPIF1<0上的所有点到平面SKIPIF1<0的距离都相等都等于正方体的棱长SKIPIF1<0为定值，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的高度为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为定值，所以SKIPIF1<0为定值，故A正确，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设SKIPIF1<0，设正方体的棱长为1，因为点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B选项正确，当SKIPIF1<0处于SKIPIF1<0点时，平面SKIPIF1<0即为平面SKIPIF1<0，而在正方体中平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故存在点，SKIPIF1<0使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C错误，由B选项知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，由线面角的性质有：SKIPIF1<0，假设存在点SKIPIF1<0使直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，无实数解，所以不存在点SKIPIF1<0使直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，故D选项不正确，故选：AB.4．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知在正四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面【答案】ABD【分析】把正四面体SKIPIF1<0放到正方体里，对于A项根据线面平行的判定定理证明对于B项，从正方体的角度上看易得对于D项，证明四边形SKIPIF1<0是平行四边形可验证对于C项，反证法证明，矛盾点是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角.【详解】把正四面体SKIPIF1<0放到正方体里，画图为：对于A项，SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正确对于B项，从正方体的角度上看易得SKIPIF1<0，故B正确.对于D项，SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，所以D正确.对于C项，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0而SKIPIF1<0为等边三角形，与SKIPIF1<0矛盾，所以C不正确.故选：ABD5．（2022秋·江苏南京·高三南京航空航天大学附属高级中学校考阶段练习）已知正四棱柱SKIPIF1<0的底面边为1，侧棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则（

）A．任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．存在SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交C．平面SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0交线长为定值SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0外接球表面积为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】对于A，由题意可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，即可判断；对于B，根据异面直线的定义可得；对于C，根据题意找出交线，然后求出交线长即可；对于D，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积.【详解】解：对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故正确；对于B，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异面，故不相交，故错误；对于C，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0交线为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，故正确对；对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直角三角形，外接圆是以SKIPIF1<0为直径的圆，圆心设为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故错误.故选：SKIPIF1<0．三、填空题6．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）如图，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内运动（不与SKIPIF1<0重合），且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，推导出SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，然后以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴的正方向建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，利用空间向量法可求得SKIPIF1<0的值，求出点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的最小值，即可求得SKIPIF1<0的最大值.【详解】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0为菱形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题7．（2021秋·吉林辽源·高三校联考期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是正方形，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，E、F分别为AB、PC的中点．(1)证明：直线SKIPIF1<0平面PAD；(2)求点B到平面EFC的距离．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可得解；（2）利用等体积转化法即可求解.【详解】（1）证明：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴四边形AEFG为平行四边形，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0平面PAD，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴点F到平面BCE的距离为SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以点B到平面EFC的距离是SKIPIF1<0.8．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点M是棱SKIPIF1<0上的动点．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，求当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）根据SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，根据余弦定理计算推出SKIPIF1<0，根据线面垂直的判定定理得到SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0；（2）连SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点N，连SKIPIF1<0，根据线面平行的性质定理推出SKIPIF1<0，再根据三角形相似可求出结果.【详解】（1）证明：由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．（2）连SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点N，连SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．在梯形SKIPIF1<0中，根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0．9．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）如图，在直四棱柱SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E是棱SKIPIF1<0上的一点（与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不重合）.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）由已知可得SKIPIF1<0，根据线面垂直的性质可得SKIPIF1<0，即可证得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，进而证得线线垂直；（2）设SKIPIF1<0.以点SKIPIF1<0为坐标原点，建立空间直角坐标系.设SKIPIF1<0，写出各点的坐标，得到平面SKIPIF1<0以及平面SKIPIF1<0的法向量，根据已知可得SKIPIF1<0.然后用向量求出结果即可.【详解】（1）证明：如图1，连结SKIPIF1<0.由已知可得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为四边形SKIPIF1<0是菱形，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.由已知可得，SKIPIF1<0为等边三角形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0所在的直线为x轴，y轴，z轴，如图2建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.10．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是凸四边形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由题意可证得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由线面垂直的判定定理可证得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，再由面面垂直的判定定理即可证明；

（2）以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为x，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）连接SKIPIF1<0，由题设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0是凸四边形，所以SKIPIF1<0.从而有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为x，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由（1）知SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0设面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，记平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0.【冲刺提升】一、单选题1．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）正四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是侧棱SKIPIF1<0上（端点除外）的一点，若异面直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先在正四面体SKIPIF1<0中，作出SKIPIF1<0对应的角，再比较三者间的的大小关系即可解决.【详解】正四面体SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设正四面体边长为1，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0综上：SKIPIF1<0故选：C【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．二、多选题2．（2023·安徽淮南·统考一模）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，侧面SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，则（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的余弦值为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为SKIPIF1<0D．该四棱锥外接球的表面积为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、线面角定义、异面直线所成角的定义、球的几何性质逐一判断即可.【详解】因为SKIPIF1<0为矩形，所以SKIPIF1<0，因为侧面SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为矩形可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此选项A正确；由SKIPIF1<0为矩形可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角（或其补角），设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为侧面SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，而平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由勾股定理可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以选项B正确；因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，因此SKIPIF1<0，所以选项C不正确；设该四棱锥外接球的球心为SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设该四棱锥外接球的半径为SKIPIF1<0，所以在直角三角形SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，在直角梯形SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以该四棱锥外接球的表面积为SKIPIF1<0，因此选项D正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用线面垂直的判定定理和球的几何性质是解题的关键.3．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）如图，正方体SKIPIF1<0中，顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点SKIPIF1<0，B，C到SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0，1，2，则（）A．BC∥平面SKIPIF1<0B．平面A1AC⊥平面SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角比直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角小D．正方体的棱长为2SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】对A，因为B，C到SKIPIF1<0的距离分别为1，2，显然不相等，所以BC不可能与平面SKIPIF1<0平行，因此选项A不正确；对B，设SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，因为平面SKIPIF1<0，C到SKIPIF1<0的距离为2，所以O到SKIPIF1<0的距离分别为1，而B到SKIPIF1<0的距离为1，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<