新高考数学二轮复习强化练习专题16 立体几何线面位置关系及空间角的计算（讲）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题16立体几何线面位置关系及空间角的计算（讲）真题体验感悟高考1．【多选题】（2021·全国·统考高考真题）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的周长为定值B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将SKIPIF1<0点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将SKIPIF1<0点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解SKIPIF1<0点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将SKIPIF1<0点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解SKIPIF1<0点的个数．【详解】易知，点SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0内部（含边界）．对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即此时SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周长不是定值，故A错误；对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故此时SKIPIF1<0点轨迹为线段SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点轨迹为线段SKIPIF1<0，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0均满足，故C错误；对于D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点轨迹为线段SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，故D正确．故选：BD．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．2．（2022·全国·统考高考真题）如图，SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根据三角形全等得到SKIPIF1<0，再根据直角三角形的性质得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点从而得到SKIPIF1<0，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的高，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，如图建立空间直角坐标系，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.设二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0.3.（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PDSKIPIF1<0底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为SKIPIF1<0上的点，QB=SKIPIF1<0，求PB与平面QCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得SKIPIF1<0，利用线面垂直的判定定理证得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点SKIPIF1<0，之后求得平面SKIPIF1<0的法向量以及向量SKIPIF1<0的坐标，求得SKIPIF1<0，即可得到直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）如图建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，因为QB=SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于SKIPIF1<0所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.总结规律预测考向（一）规律与预测（1）以几何体的结构特征为基础，考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.（2）与立体几何相关的“数学文化”、实际问题等相结合，考查数学应用.（3）几何体的表面积与体积是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．几何体与球的切、接、截问题，往往是知识考查的载体.（4）以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属于基础题.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，除独立考查外，多出现在立体几何解答题中的第（1）问，第（2）问则考查角的计算.空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.（二）本专题考向展示考点突破典例分析考向一空间中的位置关系【核心知识】1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.3.空间向量与空间的位置关系（1）直线的方向向量直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称SKIPIF1<0为直线l的方向向量，与SKIPIF1<0平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．（2）平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个，并且它们是共线向量.平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为SKIPIF1<0.（3）用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.（4）用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.（5）共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．【典例分析】典例1.（2022·全国·统考高考真题）在正方体SKIPIF1<0中，E，F分别为SKIPIF1<0的中点，则（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】A【分析】证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即可判断A；如图，以点SKIPIF1<0为原点，建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，分别求出平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点SKIPIF1<0为原点，建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，同理可得平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直，故B错误；因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，故C错误；因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，故D错误，故选：A.选项BCD解法二：解：对于选项B，如图所示，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线，在SKIPIF1<0内，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内，作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或其补角为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角的平面角，由勾股定理可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，底面正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为中点，则SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0，从而有：SKIPIF1<0，据此可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，据此可得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不成立，选项B错误；对于选项C，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不成立，选项C错误；对于选项D，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，很明显四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不成立，选项D错误；故选：A.典例2.（2022·全国·统考高考真题）在长方体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成的角均为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．AB与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设SKIPIF1<0，依题以及长方体的结构特征可知，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A错误；对于B，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B错误；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C错误；对于D，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．D正确．故选：D．典例3.【多选题】（2023·湖南湘潭·统考二模）如图，在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则（

）A．存在SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．存在SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．对任意SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可判断A；由平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可判断SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的重合点，进而可判断选项B；找出SKIPIF1<0最小时的位置，进而判断选项C；利用构造平形四边的方法，找到截面，进而求解判断选项D.【详解】对于A，由正方体中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A项正确；对于B，平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，此时SKIPIF1<0，不符合题意，故B项错误；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最小，最小值为SKIPIF1<0，故C项正确；对于D，当SKIPIF1<0时，在SKIPIF1<0上取靠近SKIPIF1<0点的三等分点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，易得点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0点的三等分点，在SKIPIF1<0上取靠近SKIPIF1<0点的三等分点SKIPIF1<0，如下图：则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则矩形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D项正确．故选：ACD．典例4.（2020·全国·统考高考真题）如图，在长方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．证明：（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据正方形性质得SKIPIF1<0，根据长方体性质得SKIPIF1<0,进而可证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,即得结果；（2）只需证明SKIPIF1<0即可，在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为长方体SKIPIF1<0,所以四边形SKIPIF1<0为正方形SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；（2）在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0,连SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0四点共面，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四点共面，因此SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内【规律方法】（1）根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．（3）当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.（4）利用空间向量考向二利用空间向量求直线与平面所成角【核心知识】直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).【典例分析】典例5.（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0的中点．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，点F在SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0的面积最小时，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为SKIPIF1<0【分析】（1）根据已知关系证明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到SKIPIF1<0，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为E为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0；又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）连接SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0的面积最小.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等边三角形，因为E为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为SKIPIF1<0.典例6.（2023秋·河南南阳·高三统考期末）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面为直角梯形，SKIPIF1<0，PB⊥底面ABCD，SKIPIF1<0，设平面PAD与平面PBC的交线为SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面PAB；(2)设Q为SKIPIF1<0上的动点，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】(1)由线面垂直判定定理证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由线面平行性质定理SKIPIF1<0，由此证明SKIPIF1<0平面PAB；(2)建立空间直角坐标系，求直线SKIPIF1<0的方向向量和平面SKIPIF1<0的法向量，利用向量夹角公式求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值，结合基本不等式求其最大值.【详解】（1）因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．因为四棱锥SKIPIF1<0的底面为直角梯形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又由题平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0方向为SKIPIF1<0轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，所以SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当a=-1时等号成立，所以SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值为SKIPIF1<0．典例7.（2023·安徽马鞍山·统考一模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）证法1：几何法，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，利用垂直关系转化为证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即可证明；证法2：向量法，以点SKIPIF1<0为原点建立空间直角坐标系，分别求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的法向量，证明法向量垂直，即可证明面面垂直；（2）证法1，几何法，利用平行关系，以及等体积转化求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，即可求得线面角；证法2：向量法，利用线面角的向量法，即可求解.【详解】（1）证法1：因为SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为正方形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.证法2：以SKIPIF1<0点为坐标原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，如图，由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）方法1：因为底面SKIPIF1<0为正方形，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角等于直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角，设所求角为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为2，设SKIPIF1<0点到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.方法2：因为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，设直线与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【总结提升】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.考向三利用空间向量求二面角【核心知识】1．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．即：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).【典例分析】典例8.（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，若SKIPIF1<0．（1）证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而得到面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.（2）在平面SKIPIF1<0内，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，建如图所示的空间坐标系，求出平面SKIPIF1<0、平面SKIPIF1<0的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.在正方形SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为直角三角形且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）在平面SKIPIF1<0内，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，结合（1）中的SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故可建如图所示的空间坐标系.则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.而平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.二面角SKIPIF1<0的平面角为锐角，故其余弦值为SKIPIF1<0.典例9.（2023秋·江苏南通·高三统考期末）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0，平面S