新高考数学二轮复习强化练习思想03 数形结合思想（讲）（原卷版）

第三篇思想方法篇思想03数形结合思想（讲）考向速览方法技巧典例分析一．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．二．特别提醒数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；利用数形结合探究方程解的问题应注意两点（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．三.命题规律1．数形结合思想在高考试题中主要有以下几个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）平面向量（4）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（5）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（6）对于研究距离、角或面积的问题，往往涉及直线与圆、立体几何、圆锥曲线等，利用几何图形或形数转换求解；（7）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用【与函数方程思想相结合】．2．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；“对勾函数”应用单调性或基本不等式；三角函数图象和性质；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等．01研究图形的形状、位置关系、性质等【核心提示】1.函数图象与性质应用问题：即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题；②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象；③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化；④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．2.熟练掌握函数图像的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．【典例分析】典例1.（河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四））函数SKIPIF1<0的大致图象是（

）A． B．C． D．典例2.（2022·北京·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，F是椭圆SKIPIF1<0的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足SKIPIF1<0，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<002构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围【核心提示】含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.【典例分析】典例4.（全国·高考真题（文））已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例5.（2020·天津高考真题）已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0恰有4个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例6.（2015·全国·高考真题（理））设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若存在唯一的整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<003构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系【核心提示】熟练掌握常见函数的图象以及函数图象的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．【典例分析】典例7.【多选题】（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0，则下列不等式中成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例8.（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知正实数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例9.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极大值点，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<004构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式【核心提示】向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【典例分析】典例10.（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，SKIPIF1<0且交AB于点E．SKIPIF1<0且交AC于点F,则SKIPIF1<0的值为____________；SKIPIF1<0的最小值为____________．典例11.（2022·全国·模拟预测）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=23，BC=2，AA1=27，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上动点，AP+PC1典例12.（2023·全国·高三对口高考）已知函数SKIPIF1<0．(1)证明：当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；(2)若存在实数SKIPIF1<0，使得函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，求实数m的取值范围．05构建几何模型研究代数问题【核心提示】1.在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义．②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．2.几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论.【典例分析】典例13.（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例14.（2022·浙江新昌·高三期末）如图，正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是侧面SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例15.（2022·全国·高三专题练习）求方程SKIPIF1<0的实根个数．06构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值等问题【核心提示】1.在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.2.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解；③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．3.破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种：①通过数形结合建立相应的关系式；②通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．【典例分析】典例16.（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例17.（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,i为虚数单位,则SKIPIF1<0的最大值是_______．典例18.（2023·吉林·统考二模）已知函数SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象上不同的两个点，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）的取值范围是___________.07构建方程模型或函数模型，结合其图象研究零点的范围与个数问题【核心提示】讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函数图象的交点个数问题；fx<gx可转化为函数y＝fx和函数y＝gx图象的位置关系问题.【典例分析】典例19.【多选题】（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知函数，的零点分别为，则（

）A． B．C． D．典例20.（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数，则函数的零点个数为___________.典例21.（2021·北京·高考真题）已知函数SKIPIF1<0，给出下列四个结论：①若SKIPIF1<0，SK