人教A版2019高一数学必修1第一学期第二章2.3二次函数与一元二次方程不等式

人教A版高一数学必修1第一学期第二章2.3二次函数与一元二次方程、不等式第二章一元二次函数、方程和不等式2.3

二次函数与一元二次方程、不等式核心素养目标1.数学抽象：了解一元二次不等式的现实意义.2.直观想象：能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.逻辑推理：借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.4.数学运算：会用一元二次不等式解决实际问题．教学目标教学重点：能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.教学难点：会用一元二次不等式解决实际问题情境导入知识讲解在初中阶段，我们学习过一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间的关系。本节内容将沿用类似的思路探讨二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系。我们暂时继续沿用初中（也就是传统意义上）的函数概念：【函数】（传统意义上，）在某个数学问题中有两个变量（不妨记为𝑥和𝑦）。𝑦随𝑥的变化而变化，并且对于每一个（有意义的）𝑥值，𝑦都有唯一确定的值。此时，我们说𝑦是𝑥的函数。称𝑥是这个函数的“自变量”，𝑦是这个函数的“因变量”。知识讲解

知识讲解

知识讲解在一个函数中，对每一个（有意义的）𝑥值，𝑦都有唯一确定的值。这就意味着，对于每一个𝑥，在平面直角坐标系中都有唯一确定的一个点𝑃(𝑥,𝑦)与之对应。从而，我们可以把一个函数涉及到的所有的点都画在平面直角坐标系上，用这些点的全体来表示这个函数。这些点的全体称作这个函数的图像，用这种方法来表示一个函数的做法称为“图像法”。

知识讲解在例1中，我们可以用这种方法画出这么一个图（方便起见，这里我们代入𝑔=10米每二次方秒）：在这个函数中，所有点会组成一条曲线。因此我们只要确定几个点的位置后，用平滑的曲线连接起来就可以了。另外注意，这个函数中才有意义。知识讲解1.一元二次不等式定义:一般地，我们把含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式，叫做一元二次不等式.

1."一元"指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如a,b,c等；2."二次"指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0.对于这类不等式应怎样来解它呢？这就是我们接下来要学习的内容．11知识讲解要解一元二次不等式，首先要了解三个“二次”的关系，

不等式的解集：{x|x>10或x<2}

知识讲解三个“二次”的关系:你中有我，我中有你！一元二次函数一元二次方程一元二次不等式零点的定义：

注：零点是实数不是点知识讲解我们实际上已经在初中学过二次函数和一元二次方程的关系：【例2】我们考察二次函数𝑦=𝑥2−𝑥−2。这个函数的图像如下所示：14知识讲解

接下来我们加入一元二次不等式。它的概念完全可以类比一元一次的情形。

ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

ax2+bx+c<0(a>0)的解集xyOx1=x2yxO

x1=x2=没有实根y=ax2+bx+c(a>0)的图象x1x2xyO有两相异实根x1,x2(x1<x2)x1x2xxxx1x2xx1=x2xΦxΦx“三个二次”的关系（要牢记）（一元二次不等式的解集与一元二次方程、二次函数的图象的关系）小组活动：1、仿照上述过程讨论填写“三个二次”之间的关系表格。2、讨论总结在这个过程中用到了哪些数学思想和数学方法？x1

x2知识讲解数缺形时少直观形少数时难入微数形结合百般好隔离分家万事非知识讲解【注1】上表中规定了了𝑎>0。当𝑎<0时，可以得到大同小异，但绝大多数不等号都改变了方向的结论。但更推荐的做法还是，在遇见二次项系数𝑎小于零的一元二次不等式时，不等号左右两边都乘上−1（记得改变不等号的方向）。【注2】一个不等式的全体解可以组成一个集合，称为这个不等式的“解集”。一般来说，求一个不等式的“解”，实际上等同于求这个不等式的“解集”。本人的高中数学老师曾说：“解不等式比解方程要难。因为不等式有无穷多个解，漏掉任意一个解都不能得到最终的正确答案。”另外，正如表格所示，如果一个不等式无解，那么我们可以说这个不等式的解集是一个空集。最后指出，上面的方法其实可以用在其他任何函数与它对应的方程、不等式上。我们用“𝑓(𝑥)”来表示一个关于𝑥的式子。方程𝑓(𝑥)=0的实数根（如果有）对应函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像与𝑥轴交点的横坐标，不等式𝑓(𝑥)>0的解集对应使得函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像在𝑥轴上方的全体𝑥，不等式式𝑓(𝑥)<0的解集对应使得函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像在𝑥轴下方的全体𝑥。上面这些话反过来说也对。例1：解不等式:x2－2x－15≥0原不等式变形为（x+3）(x-5)≥0

方程(x+3)(x-5)＝0的两根为:x＝－3，或x＝5∴不等式的解集为:{x│x≤－3或x≥5}。y-350x。。解：先求方程的根画函数的图象写出解集知识讲解18知识讲解

解：

由图象得，

另解:(x-2)(x-3)>0

{𝑥|2<𝑥＜3}{𝑥|2≤𝑥≤3}知识讲解练一练：解下列一元二次不等式

知识讲解解一元二次不等式的流程图

△>0

△=0

△<0

原不等式的解集为R

知识讲解22知识讲解

知识讲解行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系:s=(n为常数,且n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,其中(1)求n的值;(2)要使刹车距离不超过12.6m,则行驶的最大速度是多少?一元二次不等式的实际应用24知识讲解分析:(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.知识讲解若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.解:当m2-2m-3=0时,m=3或m=-1.若m=3,不等式化为-1<0,显然对于x∈R恒成立,满足题意;若m=-1,不等式化为4x-1<0,显然不满足对于x∈R恒成立.当m2-2m-3≠0时,知识讲解某地年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量减少

t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是

.

解析:设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元