2024-2025学年辽宁省七校协作体高三上学期期中数学试题及答案

辽宁省七校名校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分命题校：瓦房店市高级中学、葫芦岛一高中一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x11.已知集合Axx20,B{∣x}，若ABB，则实数a的取值范围是（）A.a1B.a1C.a2D.a22.若zi)2，则复数z的共轭复数z的虚部是（）11211A.iB.C.iD.222nˆˆbxˆ，那么下列说法正确的是3.由一组样本数据x,y,x,y,,x,y得到回归直线方程1122n（）A.若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱ˆB.若b越大，则两组变量的相关性越强ˆC.回归直线方程ˆbxˆ至少经过样本数据x,y,x,y,,x,y中的一个1122nnˆˆD.在回归直线方程ˆbxˆ中，当变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加b个单位114.已知),sin，则2)（）3619197979A.B.C.D.an2n1，则a22223n25.数列a中，已知对任意自然数n,1a2a3aaa等于（）n14n14n12A.2n1B.2n2C.D.33f(x)x3x1，若关于x的方程f(sinx)f(mx)2有实数解，则m的取值范围36.已知函数为（）A.[2]B.[2,2]C.[0，1]D.[4917.已知O为ABC的外心，ABACAOABAC，则ABC的面积为（）6A.5B.53C.63D.6ex8.已知函数yf(x)的表达式为f(x)，若函数g(x)[f(x)]22af(x)eae恰有4个不同的2|x|零点，则实数a的取值范围是（）2C.,e1eA.(,2e)B.(,e)D.,二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.,OB不共线，且APtAB(tR)，则OPtOAtOB.B.若向量a(x,2x),b(3x,2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是114,,0,333C.已知AB(3),AC(23,2)，则在AC上的投影的坐标为(3,D.已知点H为ABC的垂心，则|HA||BC||HB||||HC||AB|22222210.为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率11均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投32）1A.第一次投篮的人是甲的概率为347B.已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为5C.第二次投篮的人是甲的概率为D.设第n次投篮的人是甲的概率为an，则6anan13nnN*x24y22xyxy0)，则（）11.已知33x22y2的最大值是1B.x2y2的最小值是12A.33C.x2y的最大值是-1D.x2y的最小值是-2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：90，88，87，83，81，80，78，72，则这组数据的分位数是_____________.117213.已知a1，且，则a_____________.log8aloga414.设aR，若x0时均有[(axxax10，则a_____________.2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）π23已知函数f(x)2sin(πx)sinx23cos2xsin101.tan203（1）化简:sin101；tan20（2）求函数f(x)的最小正周期和f(x)图象的对称中心;（3）求函数f(x)在xπ]上的单调递增区间.16.（15分）在ABC中，内角，，C所对的边分别是，，已知向量m(sinAsinB,c)，n(sinBsinC,ba)，满足m//n.（1）求A;（2）若a3，求ABC周长的取值范围;（3）若角A的平分线交边BC于点D,AD3，求ABC面积的最小值.17.（15分）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：男女合计了解不了解合计202040（1）将列联表补充完整；（2）是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关;（3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为X，求随机变量X的分布列、数学期望、方差.n(adbc)22，其中nabcd附:(ab)(cd)(ac)(bd)Px2k00.1002.7060.0503.8410.0106.6350.001k010.82818.（17分）已知函数f(x)3x2x13,an1fa,nNn*，数列a满足1n5（1）求数列a的通项公式；n111（2）设n，求n;an1a2knN*，使得n1n成立，求实数k的最大值.（3）对于（2）中的n，若存在(2nn19.（17分）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下.如果函数yf(x)满足如下条件：①在闭区间[a，b]上的图象是连续的；②在开区间（a，b）上可导.则在开区间(a,b)上至f(b)f(a)少存在一个实数，使得f)成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.ba1（1）已知f(x)2xmx,a,b且ab，xf(a)f(b)ab（i）若1恒成立，求实数m的取值范围;2f(a)f(b)2abf（ii）当1m0时，求证：.33aex（2）已知函数g(x)xlnaexxa0)有两个零点，记作x,x，若02xx，证明：(1212xe1222024-2025学年度（上）七校协作体11月高三联考数学参考答案一、单选：ABDACBCB二、多选：9.BD10.BCD11.AD3三、填空：12.87.513.2或6414.2四、解答：3cos20sin20sin203cos203sin1015.（1）sin101sin101tan20sin202sin802sin10cos102sin10cos10sin20sin101.……（4分）sin20sin20sin20sin20π3(2)f(x)2sinxx23cos2π2x1sin2x3cos2x132sin2x13，所以f(x)的最小正周期Tπ；…………（7分）2ππkππkπ令2xkπ(kZ)，得x(kZ)，即f(x)图象的对称中心为,13(kZ).36262………………（9分）πππππ（3）令2kπ2x2kπ(kZ)，得kπxkπ(kZ)，2321212πππ17π令k0，得x12；令k1，得x，121212ππ所以函数f(x)在xπ]上的单调递增区间为,,π.121216.1）由m//n得：(sinAsinB,c)//(sinBsinC,ba)(sinAsinB)(ba)c(sinBsinC)，(ab)(ba)c(bc)b2a2bcc2b2c2abc，2再由正弦定理角化边得:b2c2a2bc12再由余弦定理得:A，2bc2bcπ又因为A(0,π)，所以A;……………………（3分）3bca3（2）由正弦定理及（1）得23，sinBsinCsinA32π3π6abc323sinB23sinC323sinB23sinB6sinB32ππππ1π6π60BB,sinB66sinB39.36662因此，ABC周长的取值范围是(6,9].…………（9分）11（3）由ABCABDcADsinBADbADsinCAD,221πABCbcsinBAC，又因为ADA，角A的平分线交边BC于点D，231π1π1π3所以有:bcsinc3sinb3sin，整理得:bcbc，2326263由基本不等式得:bc2bc，所以有:12，且bc23时取等号，1π123即SABCbcsin1233，232即ABC面积的最小值为33.………………（15分）17.1）由题得列联表如下：男402060女202040合计60了解不了解合计40100………………………（3分）100(40202020)60406040225922.7783.841，（2）由（1）可得所以没有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关.………………（8分）（3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人，所以从了解该20402013活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为，……（9分）1则由题意可知X2,3，且X~B，33123181122749所以P(X0)C031,P(XC131，327321311621P(X2)C231,P(XC33，33279327所以随机变量X的分布列为X0814922931P2727……………………（13分）1所以随机变量X的数学期望为E(X)np31.………（14分）31223随机变量X的方差为D(X)npp)3……（15分）333x2x118.解:（1）因为函数f(x)，11an2an1123113an1所以afa11，n1nan1an13an1121所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，an1233n1121123n则有11an；……（4分）an33annn21（2）由（1）可知:1，nan313111111113n3n1所以n2n2n1n;……（8分）n1a2an3321131（3）由（2）可知:n1n，nk1k所以由n1T，n(2nnn(2nn因为nN*，1k(2nn所以由k，……………………（11分）3n(2nn3n32134n(2nn(2n(n(2nn4n14设n，由n1n，nn1n3213由二次函数性质可知：当nN*时，函数g(n)4n是减函数，………………（14分）44g3g(2)30，2313于是有nnN*时，g(n)4n0，442所以bb,bbbb，因此bn2，21234n3k23存在nN*，使得n1T成立，则有k，n(2nn2因此实数k的最大值为.……………………（17分）3f(a)f(b)19.（1i）解:法一:由f(a)af(b)b，1，且ab化简得f(a)f(b)ab，即ab1令H(x)f(x)xxmlnx，可知H(x)在上单调递增，x1mx1则H(x)10在上恒成立，即mx在上恒成立，x2x1令h(x)x，显然h(x)在上单调递减，x所以mh0，即m0，故实数m的取值范围为).……………（4分）f(a)f(b)法二：由拉格朗日中值定理可知，0(a,b)，使得，fx0ab1恒成立.0故问题转化为fx1mx1m01又f(x)2，则fx221恒成立，即mx0恒成立，20x0x0x因为0(a,b)，1故令P(x)x，显然P(x)在上单调递减，x所以xP(x)P0，所以m0，故实数m的取值范围为)……（4分）2f(a)f(b)2ab2ab，即证2f(a)f(b)3f，（ii）证明：要证f3332ab2ab即证f(b)f2f2f(a)，332ab又1ab3，32ab2ab由拉格朗日中值定理可知，存在a,,,b，12332ab2(ba)ff2，f(b)332abba2(ba)2f(a)2f1f1.2f3331mx由题意知f(x)22，当1m0时，f(x)在上单调递增，x2(ba)2(ba