2022年高中数学人教B版必修第一册 第3章 函数 全章教学案

第三章函数

3.1函数的概念与性质

3.1.1函数及其表示方法

新课程标准学业水平要求

1.能用集合语彳。对应关系刻画函数•建★水平一

立完整的函数概念,体会集合语占与对1.能从教材实例中抽象出函数的概念.（数学抽象）

应关系在刻画函数概念中的作用.了解2.能从教材实例中了解构成函数的要素.（数学抽象）

构成函数的要索•能求一些简单函数的3.能结合教材实例掌握求函数定义域的方法.（数学运算）

定义域.1.能从教材实例中犷纳出同一函数的概念.（数学抽象）

2.在实际情境中.会根据不同的需要选择5.能结合教材实例收纳出求简单函数值域的方法.（数学运算）

恰当的方法（如图像法、列去法、解析★水平二

法）表示函数•理解函数图像的作用.1.理解函数的概念、函数的一:要斐•会求函数的定义域.（数学运算）

3.通过具体实例,了解简单的分段函数.2.能判断两个函数是否是同一函数•会求简单函数的值域.（数学运算）

并能简单应川.3.会解决可分段函数有关的问题.（数学运算）

第1课时函数的概念

住基础认知-自主学习8

1.什么叫做函数？函数的三要素是什么？

导思

2.怎样求函数的定义域？

函数的概念

⑴定义：给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合

A中的每一个实数x,在集合B中都有唯二确定的实数y与x对应，则

称f为定义在集合A上的一个函数.

（2）记法:y=f（x）,xGA.

⑶定义：

自变量因变量定义域值域

XyA{yGB|y=f(x),xEA}

⑷本质：函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具

有函数关系，只需检验：

①定义域和对应关系是否给出；

②根据给出的对应关系，自变量X在其定义域中的每一个值，是否都

有唯一确定的函数值y与之对应.

(5)构成：定义域、值域和对应关系是构成函数的三要素.

①定义域：函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的

集合.在实际问题中，还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许值

范围.

②对应关系:对应关系f是对自变量x进行〃操作〃的〃程序〃或者〃方法〃,

是连接x与y的纽带.

一周考

Ly=f(x)表示的是等于f与x的乘积〃吗？

提示：符号y=f(x)是"y是x的函数〃的数学表示，应理解为x是自变量，

它是关系所施加的对象.

2.f(x)与f(a)有何区别与联系？

提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值,是

一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)

是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时，f⑻=3x8

+4=28是一个常数.

基础小测

1.辨析记忆(对的打"V",错的打"x〃).

⑴任何两个集合都可以建立函数关系.(x)

提示：集合A,B应为非空数集.

⑵集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y.(V)

提示：符合函数的定义.

⑶函数的值域即为集合B.(x)

提示：值域是集合B的子集.

2.函数f(x)=十二丁的定义域为()

AX

A.{x|x>—3}B.{x|x>—3}

C.{x|x2—3且XHI}D.{x|x>—3且xxl}

x+，

【解析】选C要使函数f(x)=tz丁有意义，

x+3>0

则J，解得3且XX1,

X—1^0

、/x~I-3

所以函数f(x)="_的定义域为{x|xN—3且XH1}.

XJL

1

3.(教材例题改编)若f(x)=m^,则可3)=.

1

1-

【解析】f(3)=K8

答案：一程

c能力形成-合作探究卬

类型一函数关系的判断(数学抽象、直观想象)

题组训练

1.(2021.宁波高一检测)下列各图中，可表示函数y=f(x)图像的是()

【解析】选D.根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值对应唯一

的y值，则只有D满足条件.

2.已知函数y=/(x)的值域为{4,16},解析式为/(x)=、2,这样的函

数的个数为()

A.1B.2C.3D.9

【解析】选D.函数的值域为{4,16},即、2=4,X2=16,解得X=±2,X

=±4,故当定义域分别为{2,4},{—2,4},{2,-4}，{-2,—4},

{2,-2,4},{2,-2,-4},{2,4,—4},{—2,4,-4},

{2,-2,4,-4},都满足题意，所以这样的函数的个数为9.

3.在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定V是x的函数的是

（）

①A={x|xWZ},S={y|yGZ},/为〃除以3"；

（2）A={X\X>09xeR},B={y|yGR},/为〃求3x的平方根〃；

（3）4=R,8=R,/为〃求平方〃；

@A={x\~l<x<l,xER},B={0},/为〃乘以0〃.

A.①④B.②③④C.②③D.③④

【解析】选D.①在对应关系/下，R中不能被3整除的数在B中没有

唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系

/下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；

③④符合函数的定义.

解题策略

1.判断一个对应是否是函数的方法

2.根据图形判断对应是否为函数的步骤

⑴任取一条垂直于x轴的直线/.

（2）在定义域内平行移动直线/.

⑶若/与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或

有两个或两个以上的交点，则不是函数.

【补偿训练】

已知集合4={1,2,3,4},8={5,6,7）,在下列，到8的四种对应

关系中，存在函数关系的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】选B.根据函数的定义可知,集合人中每一个实数在B中都有

唯一确定的实数与之对应，其中①③均满足函数的定义.

类型二求函数的定义域（逻辑推理、数学运算）

【典例】求下列函数的定义域:

,3

(W)=2+—T.

7\4

(2)/(x)=(x—.

(3)/(X)=、3—X-\jx-l.

(x+1)2I------

(4)/(x)=~——yjl-x・

【思路导引】要求定义域瑞使函数有意义也立不笔式（组）=解不等式

（组）若出函数定义域.

【解析】⑴当且仅当X—2工0,即XH2时，

3

函数/（X）=2+£7^有意义，

所以这个函数的定义域为{X|XM2}.

x-1^0,

2

(2)函数有意义，当且仅当(不^0,

、X+1H0,

解得X>—1且XH1,

所以这个函数的定义域为{X|X>—1且XH1}.

[3—x>0,

⑶函数有意义，当且仅当1解得l<x<3,

[x—1>0,

所以这个函数的定义域为仅|1众43}.

⑷要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

xII/O,

解得XVI且XH—1,

(l-x>0,

即函数定义域为{x|xU且片一1}.

解题策略

求函数定义域的常用方法

(1)若/(X)是分式，则应考虑分母不为零.

(2)若/(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

⑶若/(x)是指数哥，则函数的定义域是使某运算有意义的实数集合.

⑷若/(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交

集.

⑸若/(X)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

跟踪训练

(2021・怀仁高一检测)求下列函数的定义域：

\/x2-3x—4

;

(l)fW=|x+1|_2

(2)/(x)=(2x+l)°-

x2—3x-4>0

【解析】(1)要使函数有意义，只需।,一、八，

l|x+l|一2=0

解得x<-l或x>4且XH—3,

所以定义域为{x|x«—1或xN4且xw-3}.

l>0

⑵要使函数有意义，只需jx+1,

[2X+1H0

-1<X<0

1

解得彳10—1<XV0且xx—3,

XLQZ

,1

所以定义域为jx—1<X40且xw一3.

题型比比看

⑴已知函数/(x)的定义域为[—1,5],则函数/(X—5)的定义域为

⑵已知函数/(x—5)的定义域为[—1,5],则函数/(x)的定义域为

【解析】⑴已知函数/(x)的定义域为[—1,5],则由一1次一5W5,得

4<x<10,即函数/(x-5)的定义域为[4,10].

⑵已知函数/(x-5)的定义域是[-1,5],

则一1取45,则一6取一540,

即函数/(x)的定义域为[-6,0].

答案：⑴[4,10](2)[-6,0]

【点拨】从本题上看：

两题的区别在于题设中自变量的取值范围.

①题中自变量虽是X,但其范围应由一1女一545求得；

②题中的题设条件x的取值范围相当于已知函数中X—5的取值范围.

【拓展延伸】

抽象函数定义域的求法

⑴若已知函数/(x)的定义域为句，则复合函数/(g(x))的定义域由不

等式a<g(x)<b求出.

⑵若已知函数/(g(x))的定义域为回句，则f(x)的定义域为g(x)在

b］上的值域.

【拓展训练】

函数y=/(x+l)的定义域是［―2,3］,求y=/(2x—1)的定义域.

【解析】因为函数y=/(x+l)的定义域是［-2,3］,所以一2次43,~l<x

+1<4,所以f(x)的定义域是［一1,4］.再由一得0次《|.

所以/(2x-l)的定义域是0,1.

类型三函数对应关系的应用(数学抽象、逻辑推理)

角度1对应关系的选取

【典例】已知4={x|O女49},8={y|0<y<3},下列对应关系不表示定义

在4上的函数的是()

11

A./为〃乘5〃B./为“乘§〃

1

-

4D./为“求算术平方根〃

【思路导引】根据函数的定义判断.

1

【解析】选A.对于对应/:〃乘5〃，x=9^A时，y=4.5由，所以此对

应关系不是定义在集合4上的函数，B,C,D均是定义在集合A上的

函数.

一题多变

本例中，若/为〃求平方根〃，则/是否是定义在集合4上的函数？

【解析】因为任何一个正数都有两个平方根，故集合4中的任何一个

正数都对应两个实数，不符合函数的定义，故/不是定义在集合A上

的函数.

利用对应关系求值

【典例】已知/为"平方加1〃是定义在集合4上的函数，那

么值域中的元素5在集合A中对应的元素是（）

A.26B.2

C.-2D.±2

【思路导引】设对应的元素为x,列方程求值.

【解析】选D.因为/为〃平方加1〃，设集合人中对应的元素为X,由5

=x2+l,得乂=±2,

所以值域中元素5在4中对应的元素为±2.

解题策略

1.关于对应关系的选择

根本的方法是依据函数的定义进行判断，判断时可以借助区间的端点

值、区间中的特殊值进行验证、排除，另外值域一定是集合8的子集.

2.关于利用对应关系求值

利用对应关系建立定义域4中的x与值域中的y之间的方程，通过解

方程求值，其中x可以是一个或多个，而y值只能是一个.

题组训练

1.已知A=B=R,x£4y£B,对应关系/为〃乘以Q加b〃是定义在集

合4上的函数，若集合4中的3和10分别对应集合8中的1和8,则

5对应的元素是（）

A.3B.4C.5D.6

【解析】选A/=B=R,xWA,y£8,f为〃乘以a加b”,所以有

3a+b=l,fa=l,

,f解得：，即/为〃乘以1减2〃，5在/下的函数

10a+fa=8,[b=-29

值犬5）=lx5-2=3.

2.（2021•无锡高一检测）已知集合4=8={L2,3},设/：八fB为从集

合A到集合B的函数，则这样的函数一共有个，其中函数的

值域一共有种不同情况.

【解析】因为定义域中有三个元素：1,2,3,其中每个元素都可以对

应到集合B中的三个元素中的任意一个，所以对应关系共有：3x3x3=

27种，所以函数的个数为：27;将对应关系分为：一对一，多对一（二

对一、三对一），若为一对一，值域有：{1,2,3},共1种情况，若为

二对一，值域有：口，2},{1,3},{2,3},共3种情况，若为三对一,

值域有：{1},{2},{3},共3种情况，所以值域有7种.

答案：277

翅匝

专用备选类型函数的逆向问题

【典例】已知函数y=k2x2+3kx+l的定义域为&求实数k的值.

【思路导引】将定义域为R转化为分母不为0在R上恒成立，或分母

为0在R上无解.据此确定参数.

【解析】函数y=l^+3kx+l的定义域是使^2x2+3/cx+1^0的实数x

的集合.

由函数的定义域为R,得方程k2x2+3kx+l=0无解.

1

当k=0时，函数y=k2*2+3kx+l=1,函数的定义域为R，因此k=0

符合题意；

当上0时，k2x2+3kx+l=0无解，

222

A=9k—4k=5k<09不存在满足条件的k值.

综上可知，实数k的值为0.

解题策略

已知函数定义域及值域求参数问题的解题思路

⑴注意调整思维方向，根据定义域及值域的含义，将给出的定义域

及值域转化为方程的解或不等式的解集的问题.

(2)根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围.

》学情诊断•课堂测评⑷

1.设集合M={x|O女42},N={y\0<y<2}9那么下面的4个图像中，能

表示集合M到集合N的函数关系的为()

A.①②③④B.①②③C.②③D.②

【解析】选C.①图像不满足函数的定义域，不正确；

②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；

④不满足函数的定义.

2.如图给出的四个对应关系，其中构成函数的是()

⑴(2)(3)(4)

A.(D(2)B.⑴⑷C.⑴⑵⑷D.⑶⑷

【解析】选B.(l)⑷可以构成函数;

在(2)中，1,4在后一个集合中找不到对应的元素，故不是函数；在⑶

中，1对应了两个数3,4,故也不是函数.

___1

3.函数y=[x—3+工二的定义域是()

/\气

A.(3,4)B.[3,4)

C.[3,4)U(4,+2D.(4,+8)

X—320,

【解析】选C.根据题意有人

X—400,

解得x>3且XH4,

所以函数定义域为[3,4)U(4,+oo).

4.对应关系/为〃乘以2减1〃是定义在集合4上的函数，若值域B={-

3,—1,3},则集合4=.

【解析】根据函数的定义，

分别令2x—1=—3,—1,3,

解得x=-l,0,2,

从而得到集合4={-1,0,2).

答案：{-1,0,2}

第2课时函数概念的综合应用

论基础认知-自主学习3

1.怎样判断两个函数是同一函数？

导思

2.求函数值域的常用方法有哪些？

1.同一个函数

定义域相同

前提条件

对应关系也相同

结论这两个函数相同

思考

函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否

是同一个函数，只看定义域和对应关系？

提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两

个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可.

2.常见函数的定义域和值域

反比例二次函数

函数一次函数

函数a>0a<0

对应y=ax+by』y=ax2+bx+y=ax2+bx+

xX

关系（。工0）C(QHO)c(*0)

(右0)

定义

R{xlxwO}RR

域

值域R{y|y*o){y\y^{y|一

4ac—4ac一按

4Q}4g」

⑴本质：定义域是自变量X的取值范围,值域是因变量y的取值范围.定

义域或值域一定要写成集合或区间的形式.

⑵应用：作出常见函数的图像，根据图像可以求出函数的定义域和值

域.

思考

求二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的值域时为什么分a>0和a<Q两种情

况？

提示：当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，观察图像得

2

值域为Wy4>ac^——bI.

当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，观察图像得值域为

4ac—b2

V"■卜

基础小测

1.辨析记忆(对的打，一错的打〃x〃).

⑴若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函

数.(X)

35

提示：例如/%)=二与g(x)=:的定义域与值域相同，但这两个函数不

是同一个函数.

(2)函数/(x)=x2—x与g(tj=F—t不是同一个函数.(x)

提示：函数f(x)=x2—x与g(t)=F—t的定义域都是R,对应关系完全一

致，所以这两个函数是同一个函数.

1

⑶函数/(X)=1+1的值域是(一8,1)U(1,+8).(V)

提示：因为；；工0,所以；；+1工1.

XA

(IA

2.已知,?一1J=2x—5,且f(a)=6,则a等于()

7744

4---G-n--

4B.43-3

JI)

【解析】选8.因为《那一J=2x—5,且f(a)=6,

11

所以令2x—5=6,解得x=w.

“1117

所以a=2xy—1=4•

3.设函数f(x)=2x+3的值域是[-1,5],则其定义域为.

【解析】由一142x+345,解得一24x41,即函数定义域为[-2,1].

答案：[-2,1]

份能力形成-合作探究卬

类型一判断两个函数是否是同一个函数(数学抽象、逻辑推理)

题组训练

1.若函数/(x)=(//与g(x)=x(x£D)是同一个函数，则。可以是(

A.(—8,0)B.(0,+°0)

C.[0,+°°)D.(――0]

【解析】选C.函数/(x)的定义域为[0,+8),

即。=[0,+°°).

2.下列各组函数中，表示同一个函数的是()

A./(x)=x2,g(x)=x3

B./3=五,g(x)=(心)2

x2

c・fM=~，g(x)=x

x,x>0

D.7(x)=|x|,g(x)-

I—x,x<0

【解析】选D.对于选项A:定义域均属于R,但解析式不一样，不是同

一个函数，A错；

对于选项B:f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x20},两个函数的定

义域不同，不是同一个函数，B错；对于选项C:f(x)的定义域为{x|xwO},

g(x)的定义域为R,

两个函数的定义域不同，不是同一个函数，C错；对于选项D:/(x),

g(x)的定义域均为x£R,对应法则相同，故两个函数是同一个函数.

解题策略

判断函数是同一函数的三个步骤和两个注意点

⑴判断函数是否是同一函数的三个步骤.

⑵两个注意点.

①在化简解析式M,必须是等价变形；

②与用哪个字母表示解析式无关.

类型二利用函数的解析式求值(式乂数学运算、逻辑推理)

1

【典例】设/(X)=2X2+2,g(X)=—TT,

AI4

(1)求f(2),f(o+3),g(a)+g(0)(a#-2),g(f(2)).

⑵求g(/W).

【思路导引】(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可.

(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x)).

【解析】(1)因为/(X)=2X2+2,

所以＜2)=2x22+2=10,/(a+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20.

1

因为g(x)=&5，

1111

所以g(o)+g(0)=干+帝+5("-2).

11

g(A2))=g(io)=io+2=i2,

________1____1_1

⑵g(/(x))=7(X)+2=2乂+2+2=2x2+4・

解题策略

函数求值的方法

(1)已知/(X)的表达式时，只需用O替换表达式中的X即得/(G)的值.

⑵求/(g(。))的值应遵循由里往外的原则.

跟踪训练

(2021•庆阳高一检测)已知函数/(刈=后卫+系

AI4

⑴求函数的定义域；

(2)求/(—3),的值；

⑶若。>0,求/⑹，/(。一1)的值.

x+3>0x>-3

【解析】⑴要使函数有意义，须J.=-3众<—2或x>

[X+2H0〔XH—2

-2,

所以函数的定义域为[—3,-2)U(—2,+°°).

(2)f(x)=y/x+3,

所以A—3)=。+旧豆=T/I)=A/I+3+力+|-

§+2

(3)因为。>0,a—l>—l,(a-1)+2>0,

所以/(a)=、c+3+1工，f(a-l)=\la+2+3互.

类型三求函数的值域(数学运算、直观想象)

角度1]利用不等式的性质求值域

1

【典例】1.已知函数/(x)=沟工，则/(x)的值域是()

A.-00,2B.y+s

(1

C.[0,2D.(0,十河

1

【思路导引】利用不等式的性质推导正词的范围或变形后利用方程有

解求值域.

【解析】选C.方法一：因为M+2N2,

11(1

所以。工2+2-2，所以/(X)的值域为10,2•

方法二：设t是所求值域中的元素，则关于x的方程二上=t应该有

AI，

1

解，即—2应该有解，

1

所以f-2>0,

[2t1/1

即--—>0,解得0<区5,所以所求值域为0,2•

5x4

2.求函数/(X)=Q7的值域.

【思路导引】对解析式变形后利用不等式的性质求值域.

5x+4

【解析】函数f(x)==丁的定义域为{x|xrl},

XJ.

,5x+45(x-1)+99

因为/(x)=---丁=-------：----=5+—7,

八'x-1x_1x—1，

9

因为XN1,所以tYH0,所以/(X)H5,

X，

5x+4

所以函数/(x)==丁的值域为(一8,5)U(5,+8).

X>L

一题多变

将本例2中的函数变为伞)=公彳，试求值域.

X--11

【解析】/(X)=5x+1的定义域为"XX—5

,X-112X-212x+l-3

因为/(刈===5万币=5.WTT"

131(1^

,所以/化)工5,所以函数的值域为一8,5

22(2x+l)

%,+-J.

配方法求值域

【典例】求下列函数的值域：

(l)y=x2-2x+3,xG[O,3).

【思路导引】先配方=数形结合=求出值域;

【解析】y=x2—2x+3=(x—1)2+2,由xG[O,3),再结合函数的图

像(如图)，可得函数的值域为[2,6).

(2)y=2x—\/x—1.

【思路导引】先换元=再配方=求出值域.

【解析】设t=7x—l,则X=t2+1,且tNO,

所以y=2伍+1)—t=2^t—2+^,由也0,再结合函数的图像(如

「151

图)，可得函数的值域为可，+8

求函数值域的方法

(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的

值域，或利用函数图像的〃最高点〃和〃最低点〃观察函数的值域.如函数

1

y=yzq的值域为{y|o<y《i}.

⑵配方法：求形如F(X)=a[f(x)]2+bf(x)+c的函数的值域可用配方

法，但要注意f(x)的取值范围.如求函数y=x—24+3的值域，因为

y=(^/x—1)2+2>2,故所求值域为{y|y22}.对于形如y=ax2+bx+c(a^0)

的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法.

⑶分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转

化为〃反比例函数类〃的形式，便于求值域.

⑷换元法：形如y=ax+b+正而的函数常用换元法求值域，即先

令t=、cx+d,求出x,并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于

t的二次函数，最后用配方法求值域.

注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的

R的是将函数变为二次函数类.即将函数解析式变为已经熟悉的简单

函数类型求值域.

⑸反表示法：根据函数解析式反解出x,根据x的取值范围转化为关于

y的不等式求解.

⑹中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量（如X?）,

用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不

等式求解.

【拓展延伸】

1.判别式法求函数值域

o-I-bxc

求形如y=dx2+ex+f（a，d中至少有一个不为零）的值域，常把函数转

化成关于x的二次方程F（x,y）=0,通过方程有实根，判别式ANO,求

出y的取值范围.

2.分离常数法求函数值域

axb

形如（a。。，a”bc）的函数常用分离常数法求值域・转化过程

ad

为,丫=晟ax+行b=aC+或府,其结论是1y],y%aj]

【拓展训练】

求下列函数的值域：

X2—4x+3

⑴丫=2乂2_乂一].

【解析】方法一(分离常教法):

X2~4X+3(X-1)(X~3)X-3

因为V=2x2-x-l=(x-l)(2x+l)=诙=

l(2x+1)-2i7(n

2x+l'―而而回且.司,

711

又而而现所以"3

x—31—32(2、

当x=l时，)4=77T7=一3，所以函数的值域为-8,--

(21](1,>

U1一§,2)吨,+*

方法二(反表示法)：同方法一得y=7(XHI),

2-v—31(2、

则丫工一3且x=)一,则N%,所以函数的值域为-8,—o

JZv1，\、)

2X2+4X~7

(2)丫=x2+2x+3•

【解析】(判别式法)已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x—7,

即(y—2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,

当厅2时，将上式视为关于x的一元二次方程.

因为xGR,所以420,

即[2仅一2)]2—4仅一2)(3y+7)20,

整理得2y2+5)/—18《0,

9

解得一54蜉2(根据二次函数y=2x2+5x-18的图像在x轴下方可解).

当y=2时，3x2+7/0,不符合题意，应舍去.

所以函数的值域为号，2).

题组训练

1.下列函数中，值域为(0,+8)的是()

1.1

A.y=~,(xG(0,+8))B.y=l一侦

1.

29

C.y=~A5—1D.y=x+l

1

【解析】选A.y=],(xE(0,+°°)),值域是(0,+°°),

1

y=l一耳,值域是(一8,1),

1

y=7—1,值域是(一1,+g),

/X

y=x2+1,值域是[1,+°°).

2.(2021•昆山高一检测)函数y=、3—2x—x2的定义域是,值

域是.

【解析】要使得函数y=\'3—2x—乂2有意义，

则3-2X-X2>0,解得一3殳4L

故函数的定义域为[—3,1].

因为3—2x-x2=—(X+1)2+4<4,

故0w{3—2x—*2<2,故函数的值域为[0,2].

答案：[-3,1][0,2]

.......♦学情诊断,课堂测评勾

L(多选)下列四组函数，表示同一个函数的是()

A.f(x)=启+1,g(x)=x+l

B.Hx)=3,g(x)=4

c.f(x)=yjx2—4,g(x)=y]x+2・由一2

x+1,X>—1,

D.f(x)=\x+l\，g(x)=<

—X—1,X<—1

【解析】选BD.A中两函数对应关系不同；B中两函数定义域、对应关

系相同；(：中两函数定义域不同；D中两函数定义域、对应关系相同，

因此是同一个函数.

2.(2021•六安高一检测)已知/(x)的定义域为[—2,2],且函数g(x)=

7^+4X+5'则内)的定义域沏)

A.(-1,1]B.(-1,5)

C.(-1,3]D.[-1,3]

-ZSX-1SZ

【解析】选C.要使g(x)有意义，则2"c，

[―X+4X+5>0

则一l<x<3,即定义域为(一1,3].

3.下列函数中，值域为[1,+8)的是()

A,y=yl^iB.丫=吉

C.y=ylx2+lD.

【解析】选C.A.y=)x—1的值域为[0,+8)；

1

B.7的值域为(一8,0)U(0,+°°);

XJL

C.y=yjx2+l的值域为[1,+°°);

1

D.y=丁二^的值域为(0,+°°).

4.已知集合A={x|O女42},8={y|0<y<4},则下列对应关系，能够构成

以A为定义域，B为值域的函数的是（填写满足条件的所有函

数的序号）.

①y=2x；②y=x?；③y=|4一2x|；④y=x+5；

⑤y=（x—2）2.

【解析】判断能否构成以A为定义域，B为值域的函数，就是看是否

符合函数的定义.对于①y=2x,当定义域为A={x|04x42}时，显然其

值域为B={y|04y“},故①满足条件；显然②③⑤同样也满足条件;

对于④y=x+5,若其定义域为A={x|0<x<2},则其值域为{y|54y47},

因此④不满足条件.故填①②③⑤.

答案：①②③⑤

第3课时函数的表示方法

-。基础认知-自主学习一

1.函数的表示方法有哪些？

导思

2.任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？

函数的表示方法

解析法用代数式（或解析式）表示两个变量之间的对应关系

图像法用函数的图像表示两个变量之间的对应关系

列表法用列表的形式来表示两个变量之间的对应关系

本质：①解析法就是用等式来表示两个变量之间关系的方法，这个等

式常叫做函数的解析表达式，简称解析式.

②列表法所列表反映了两个变量具有的函数关系，其判断依据仍是函

数的定义.

③函数的图像不但可以是一条直线或一条曲线，也可以是一些点、一

些线段、一些射线等.要作出更精确的图像，常常需要描出更多的点.

思考

函数的三种表示方法各有什么优、缺点?

提示：

优点缺点

①简明、全面地概括了变量间的关

解析系；

不够形象、直观

法②可以通过解析式求出任意一个自

变量所对应的函数值

列表不通过计算就可以直接看出与自变

一般只能表示部分自变量的函数值

法量的值相对应的函数值

直观、形象地表示出函数的变化情

图像只能近似地求出自变量所对应的函

况，有利于通过图形研究函数的某些

法数值，有时误差较大

性质

基础小测

1.辨析记忆（对的打〃V〃，错的打〃x〃）.

⑴任何一个函数都可以用国像法表示.（X）

提示：有的函数是不能画出图像的，

1,XEQ

如f（x）=j

l-l,XGCRQ.

⑵任何一个函数都可以用解析法表示.（x）

提示：并不是所有的函数都可以用解析式表示.

⑶函数的图像一定是一条连续不断的曲线.（X）

1

提示：有些函数的图像不是一条连续不断的曲线，如/（x）=j的图像就

/\

不是连续的曲线.

2.（2021•天津高一检测）某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中

因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符

合这一过程的是（

CD

【解析】选D.中间停留了一段时间，中间有一段图像与时间轴平行,

排除AC,后来是加速行驶，因此图像越陡峭，排除B,只有D符合.

m%

3.（教材例题改编）如果=—,则当且X"时，/（x）=（）

W1X

11

【解析】选B.设,所以x=；,

AL

1

“if1

所以/（t）=-=二^，

1-f

1

所以Ax)=--.

人JL

为能力形成-合作探究④

类型一列表法表示函数（逻辑推理、数学运算）

题组训练

1.观察下表:

X-3-2-1123

fM41-1-335

g(x)1423-2-4

则施(2))-/(T)=()

A.2B.3C.4D,5

【解析】选A.g(2)=-2,/(-2)=1,/(-1)=-1,

所以/(g(2))_/(_i)=/(_2)_/(_i)=i_(_i)=2.

因为g(/(x))=2,所以/(x)=2,所以x=l.

答案：11

解题策略

列表法表示的函数的求值问题的解法

解决此类问题关键在于弄清表格中每一个自变量x与y的对应关系,

对于/(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求自变量x时,

则由外向内逐层求解.

类型二图像的画法及应用(直观想象)

【典例】作出下列函数的图像并求出其值域.

(l)y=-x,xE{0,1,-2,3}.

2

(2)y=-，xe[2,+oo).

/\

(3)y=x2+2x,xG[—2,2).

【思路导引】描点法作函数图像=数形结合求出函数值域.

(2)列表

X2345•••

212

1

y325•••

2

当x£[2,+8)时，图像是反比例函数y=：的一部分，观察图像可知

X

其值域为(0,1].

O12345x

(3)列表

X-2-1012

y0-1038

画图像，图像是抛物线y=x2+2x在一2Sx<2之间的部分.

由图可得函数的值域为［-1,8).

解题策略

描点法作函数图像的二个关注点

(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.

⑵图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像.

⑶要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要

分清这些关键点是实心点还是空心圈.

跟踪训练

画出下列函数的图像：

(l)y=x+l(x<0).(2)y=x2—2x(x>l或x<—1).

［解析】(1)y=x+1(x00)表示一条射线，图像如图⑴.

(2)y=x2—2x=(x—I)2—l(x>l或x<—1)是抛物线y=x2_2x去掉一10x41

之间的部分后剩余的曲线.如图(2).

⑴⑵

【拓展延伸】

常见函数图像变换

1.平移变换

⑴形如y=f(x+a),把函数y=f(x)的图像沿x轴方向向左(a>0)或向右

(a<0)平移|a|个单位，就得到y=f(x