湖南省岳阳市平江县2023-2024学年高二（上）期末数学试卷

湖南省岳阳市平江县2023-2024学年高二（上）期末数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线m的方程为3x-yA．30° B．45° C．60° D．120°2．圆x2A．(-1，-2)，11 B．(-1，2)C．(-1，-2)，11 D．(-1，2)3．已知数列{an}是等比数列，若a1=1，qA．4 B．5 C．6 D．74．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为MA．12a-C．-12a5．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺6．椭圆x225+A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等7．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AA．66 B．33 C．638．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，A．12 B．33 C．32二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．已知各项均为正数的等差数列{an}A．公差d的取值范围是(-∞，1C．a8+a10．下列说法中，正确的有（）A．过点P(1，2)且在x轴，B．直线y=kx-2在C．直线x-3D．过点(5，4)且倾斜角为90°11．对于非零空间向量a，b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是（）A．若a⋅b>0，则aB．若a=(2，3，3)，C．若a⋅bD．若a=(1，1，0)，b=(0，2，0)，c=(12．已知抛物线C：y2=2px(p>0)与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，且|AB|=4A．若直线l的斜率为33，则B．|MF|+2|C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(0，62)，则点D．若点G(2，2)，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列的前n项和Sn=2n14．过双曲线x24-y215．已知函数f(x)=x(x16．正四棱锥P-ABCD，底面四边形ABCD为边长为2的正方形，PA=5，其内切球为球G，平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30°，则平面α截球四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．已知a=(2，-1，-4)，b（1）若(a-b（2）若(a+3b18．已知圆C：(x-1)2+(（1）求证：直线l恒过定点；（2）当m=0时，求直线l被圆C19．已知数列{an}的首项a（1）求证：数列{1（2）若1a1+20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA（1）判断直线BC与平面PAD的位置关系，并证明；（2）求平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值．21．已知函数f(（1）当m=12时，求曲线f（2）当m≤2时，求证：f22．已知双曲线C：x2a2-y（1）求双曲线C的方程；（2）经过点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，与y轴交于P点，点P关于原点的对称点为点Q，求△QAB

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为直线m的方程为3x-y+2=0，则直线m的斜率为k=3，

设直线的倾斜角为α，故答案为：C.【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式以及直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角的值.2．【答案】D【解析】【解答】解：因为圆x2+y2+2x-4y-6=0故答案为：D.【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程，进而得出圆心坐标和半径长.3．【答案】B【解析】【解答】解：因为数列{an}是等比数列，又因为a1=1，q=2，Sn故答案为：B.【分析】利用已知条件结合等比数列的前n项和公式得出n的值.4．【答案】A【解析】【解答】解：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，

设A故答案为：A.【分析】利用已知条件结合平行六面体的结构特征和中点的性质，进而由空间向量基本定理找出与向量MB5．【答案】A【解析】【解答】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，如冬至日的日影长为a1尺，设公差为由题可知，所以a1a2d=aa3故答案为：A．

【分析】由题意知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，利用等差数列的通项公式，求出d，即可求出a1，由此能求出答案.6．【答案】D【解析】【解答】解：因为椭圆x225+y29=1，所以椭圆的长轴长为2a=2×5=10,短轴长为：2b=2×3=6，

离心率为e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=1-925=45，因为c2=a2-故答案为：D.【分析】利用已知条件结合椭圆的长轴长公式、短轴长公式、离心率公式、焦距公式，进而找出椭圆x225+7．【答案】A【解析】【解答】解：以点D1为坐标原点，D1

则A1,0,1,C0,1,1,C10,1,0,E1,12,0,F1,12,1,

所以，C1E→=1,-12,0,CF→=1,-12,0,所以，C1【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线的坐标表示判断出线线平行，进而证出线面平行，所以CF∥平面AC1E，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面A8．【答案】A【解析】【解答】解：因为O是F1F2的中点，G是△PF则由IG平行于x轴可知，PIIQ=PGGO=2,则PQIQ=3，

所以，S∆PF1F2S∆IF1F2=3,设△PF1F2内切圆半径为r，9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为各项均为正数的等差数列{an}单调递增，设公差为d，所以an>0,d>0,

又因为a5=2，则a5=a1+4d=2,所以，a1=2-4d>0，所以0<d<12，所以A错；

因为2a7=2a1故答案为：BCD.【分析】利用已知条件结合等差数列为正项和等差数列的单调性，进而得出公差的取值范围，从而判断出选项A；利用已知条件结合等差数列的通项公式判断出选项B；利用已知条件结合等差数列的通项公式和作差比较大小的方法判断出选项C；利用已知条件结合等差数列的性质，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.10．【答案】C,D【解析】【解答】解：对于A，当截距为0时，设与x轴，y轴截距相等的直线方程为y=kx,

又因为直线过点P(1，2)，所以，2=k×1,所以，k=2,

所以，过点P(1，2)且在x轴，y轴截距相等的直线方程为y=2x，

当截距不为0时，设与x轴，y轴截距相等的直线方程为xa+ya=1，又因为直线过点P(1，2)，

所以，1a+2a=1，所以a=3，所以，过点P(1，2)且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0，

综上所述，过点P(1，2)且在x轴，y轴截距相等的直线方程为y=2x或x+y-3=0，所以A错；

对于B，直线y=kx-2在y轴的截距是-2，所以B错；

对于C，直线x故答案为：CD.【分析】利用已知条件结合直线的截距式方程和点代入法以及分类讨论的方法，进而得出直线方程，从而判断出选项A；利用已知条件结合直线的纵截距的定义判断出选项B；利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式以及直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角的值，从而判断出选项C；利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系，再结合代入法得出直线方程，从而判断出选项D，进而找出正确说法的选项.11．【答案】B,D【解析】【解答】解：因为a，b，c是非零空间向量，

对于A，因为a⋅b>0，所以，a→⋅b→=a→×b→×cosa→,b→>0,

又因为两向量夹角取值范围为[0,π),则a，b的夹角是锐角或零角，所以A错；

对于B，因为a=(2，3，3)，b=(-3，-1，3)，则a→·b→=2×故答案为：BD.【分析】利用已知条件结合数量积的定义和三角函数值在各象限的符号、数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示、数量积的运算法则和向量相等的判断方法、空间向量的基底判断方法和向量共面的判断方法，从而找出真命题的选项.12．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：由抛物线C：y2=2px(p>0)与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，且|AB|=4，

得到第一象限交点1，2在抛物线C：y2=2px(p>0)上，所以22=2p,解得p=2，

所以，抛物线C:y2=4x,则F1,0。

对于A，设直线l:x=my+1，与抛物线C:y2=4x联立可得y2-4my-4=0,

设Mx1,y1,Nx2,y2,所以，y1+y2=4m,y1y2=-4,

所以，MN=1+m2y1-y2=1+m2×y1+y故答案为：ABC.【分析】设出直线MN的方程，与抛物线方程联立进行求解，当m=3时，MN=16,进而判断出选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断出选项B；画出大致图象，过点M作准线的垂线，垂足为M'，交y轴于M1，结合抛物线的定义判断出选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合三角形△13．【答案】a【解析】【解答】解：因为数列的前n项和Sn=2n2+n+1，

当n=1时，a1=S1=2×12+1+1=4，

当n≥2,n∈N*故答案为：an

【分析】利用已知条件结合Sn14．【答案】2【解析】【解答】解：双曲线x24-y23=1的左顶点为-2，0，直线2x-y+1=0故答案为：2x【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程得出左顶点坐标，再结合两直线平行斜率相等，从而得出所求直线的斜率，再利用点斜式方程得出过双曲线x24-15．【答案】6【解析】【解答】解：因为函数f(x)=x(x-c)2，

则f'(x)=(x-c)2+2x-cx=x2-2cx+c2+2x2-2cx=3x2-4cx+c2，

因为函数在x=2处有极大值，所以f'(2)=4×3-8c+c2=12-8c+c2=0,

所以，c-2c-6=0,则c故答案为：6.【分析】利用已知条件结合导数求极值点的方法得出c的值，再利用分类讨论的方法和导数判断函数的单调性，从而求出极值点的方法，进而找出满足要求的c的值.16．【答案】π【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，

则A0,0,0,D2,0,0,B0,2,0,C2,2,0,

因为PA=PD=PB=PC=5,AO=12AC=2,

所以，PO=PA2-AO2=3,所以，P1,1,3,O1,1,0,

则内切球的球心G在PO上，设G1,1,h，内切球的半径为R，

S∆PAD=S∆PCD=S∆PBC=S∆PAB=12×2×52-1故答案为：π3

【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，求出点的坐标，再利用等体积法求出内切球的半径，即可得到球心坐标，设平面α的法向量为n→=0,-1,a，再利用空间向量法表示出二面角的余弦值，即可求出参数α17．【答案】（1）解：∵a=(2，-1，-4)，∴a-b∵(a∴3解得k=（2）解：∵a=(2，-1，-4)，∴(a+3b∵(a∴(a即(-1)×1+(3k解得k=-23【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出实数k的值；

（2）利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出实数k的值.18．【答案】（1）证明：依题意直线l：(2m+1)x整理得l：(2x由2x+y所以l恒过定点(3，1（2）解：当m=0时，直线l：x圆C：(x-1)2+((1，2)到直线l：x+所以直线l被圆C截得的弦长为2【解析】【分析】（1）将直线方程变形建立关于x，y的方程组，从而证出直线恒过定点，并求出定点坐标；

（2）利用m的值得出直线的方程，再结合圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，从而由弦长公式得出直线l被圆C截得的弦长.19．【答案】（1）证明：由an+1=则1an+1-1=1∴数列{1an-1}是以（2）解：由(1)可得，1a∴1则1=2×1由1a1+即n-∵y=n-13n为单调增函数，∴即满足条件的最大整数n=99【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，进而证出数列{1an-1}为等比数列；

（2）由（1）结合等比数列的通项公式得出数列1a20．【答案】（1）解：直线BC//平面PAD延长AB、DC，交于点M，因为PA=AD=2所以AM=DM，所以BM=又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以直线BC（2）解：分别以AD、AP为y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则A(0，0，0)，B(3AB=(3，1，0)，AP设平面PAB的法向量为m=(x，y，令x=1，则y=-3，z=0，所以平面设平面PBC的法向量为n=(a，b，令a=1，则b=0，c=34计算cos<m，所以平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值为219【解析】【分析】（1）延长AB、DC，交于点M，再利用边与角的关系得出AM=DM，进而得出BM=CM，所以BC//AD，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线BC//平面PAD；

（2）分别以AD、AP为y、z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示得出平面PAB的法向量和平面PBC