浙江省杭州市富阳区2023-2024学年高二上学期数学期末试卷

浙江省杭州市富阳区2023-2024学年高二上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．设集合A={x|−2<x<4}，B={2，3，A．{2} B．{2，3} C．{3，2．已知z=2−i，则z(zA．6−2i B．4−2i C．6+2i D．4+2i3．已知直线l1：2x+ay+b=0和l2：A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知cos(α−β)=35，sinβ=−5A．−6365 B．−3365 C．5．已知双曲线x2a2A．3 B．3 C．2 D．26．现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．A事件“第一次取出的球的数字是3”，B事件“第二次取出的球的数字是2”，C事件“两次取出的球的数字之和是7”，D事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）A．A与C相互独立 B．A与D相互独立C．B与D相互独立 D．C与D相互独立7．已知函数f(x)和f(x+2)都是定义在R上的偶函数，当A．2 B．2 C．322 8．已知实数x，y满足x|x|+y|y|3=1A．[4−6，4) B．[4−6，2)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分.9．已知把函数y=sin2x的图象上所有点向右平移π6A．f(x)=sin(2x−πC．f(x)=cos(2x−5π10．已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，A．|OP1C．OA⋅OP311．在平面直角坐标系中，三点A(−1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点A．点P的轨迹方程为(x−3)2+y2=8C．∠PAB最大时，PA=26 D．P到直线AC距离最小值为12．正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1A．当λ=1时，△ABB．当μ=1时，三棱锥P−AC．当λ=12时，有且仅有一个点PD．当μ=12时，有且仅有一个点P，使A三、填空题：本大题共4小题，每题5分，双空题第一空2分，第二空3分，共20分.13．在△ABC中，已知a=23，c=2，C=30∘，则14．表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为.15．已知A，B是椭圆x29+y24=1的左右顶点，点M，N分别在矩形ABCD的边BC，16．如图，在三棱锥S−ABC中，若底面ABC是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AM⊥MN，则直线MN与面ABC所成角的正切值为；三棱锥S−ABC的外接球的体积为四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3模式初露端倪，其中，语、数、英三门为必考科目，剩下三门为选考科目（物理、化学、生物、政治、历史、地理）.选考科目采用赋分”，即原始分不直接使用，而是按照学生在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后的得分，假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%，35%，35%，13%和2%划定A、B、C、D、E五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分.该省某高中高二（11）班（共40人）进行了一次模拟考试选考科目全考，单科全班排名，（已知这次模拟考试中历史成绩满分100分）的频率分布直方图和地理成绩的成绩单如下所示，李雷同学这次考试中历史82分，地理70多分.（1）采用赋分制后，求李雷同学历史成绩的最终得分；（2）采用赋分制后，若李雷同学地理成绩最终得分为80分，那么他地理成绩原始分的所有可能值是多少？（3）若韩梅同学必选历史，从地理、政治、物理、化学、生物五科中等可能地任选两科，则她选考科目中包含地理的概率是多少？18．在①c(cosAcosB+12)=a已知在ΔABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，▲.（1）求C；（2）AB=4，求ΔABC面积的最大值。19．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠（1）求证：A1C//平面（2）求A1（3）求直线A1C与直线20．如图，已知长方形ABCD中，AB=22，AD=2，M为DC的中点.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E−AM−D的余弦值为5521．如图，直线l与圆E：x2+(y+1)2=1相切于点P，与抛物线C：x（1）若T是抛物线C的焦点，求直线l的方程；（2）若|TE|2=|PA|⋅|PB|22．设a，b∈R，已知函数f(x)=x2+2x−a，g(x)=4x+（1）若1<x1<2（2）若a=6，证明：g(x)<9（3）若a>6，证明：f(x

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由题设有A∩B={2，故答案为：B.

【分析】由交集的定义，即可得出答案。2．【答案】C【解析】【解答】解：∵z=2−i，∴z(故选：C．【分析】把z=2−i代入z(3．【答案】B【解析】【解答】当a=2时，l1：2x+2y+b=0，l2：当l1//l2时，2×3=3×a且2(b+1)≠3b，所以所以“a=2”是“l1故答案为：B.

【分析】先求出l14．【答案】C【解析】【解答】解：∵α∈(0,π2∴α−β∈(0,π)∴sin(α−β)则sin==4故选：C．【分析】由α和β的范围求出α−β的范围，由cos(α−β)及sinβ的值，分别利用同角三角函数间的基本关系求出sin(α−β)及cos5．【答案】D【解析】【解答】双曲线x2a2设圆心在直线y=ba则该圆与直线y=−bax所以|bm|=|abm+abm|a2+故答案为：D

【分析】不妨设圆心在双曲线一条渐近线y=bax6．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，可得P(A)=16，P(B)=16，所以P(AC)=136=P(A)P(C)P(BD)=136≠P(B)P(D)所以A与C相互独立.故答案为：A.【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断即可．7．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，得f(−x)=f(所以f(4+x)因为x∈[0，2]时，f故选：D．【分析】由已知得f(−x)8．【答案】A【解析】【解答】解：因为实数x，y满足x|当x>0，y>0时，方程为x2当x>0，y<0时，方程为x2当x<0，y>0时，方程为−x当x<0，y<0时，方程为−x在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线都是y=±3令z=3x+y−4，即直线为当z最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切，联立方程组x2+y当直线与椭圆相切时，则有△=[23又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，故z=−4+6当z最小时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值，此时y=−3x+z+4=−3综上，z的取值范围为−4<z⩽−4+6所以|z|的取值范围为[4−6,故选：A．【分析】先利用绝对值的定义去掉绝对值，得到x，y满足的方程，作出其对应的图象，利用图象的边界状态进行求解，即可得到答案．9．【答案】A,C【解析】【解答】解：根据题意，得f(x)=sin因为sin(2x−所以f(x)=cos故答案为：AC.【分析】根据题意，结合三角函数的平移变换，以及诱导公式求解即可.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于A，∵A(1,0)，P1(cosα,sin∴OP1∴|OP1|对于B，∵A(1,0)，P1(cosα,sin∴AP1∴||AP2|=对于C，∵A(1,0)，P1(cosα,sin∴OA=(∴OA⋅O∴OA⋅O对于D，∵OA⋅O∴OA⋅O故选：AC．【分析】由向量模长、数量积的坐标运算，结合同角三角函数关系和两角和差公式依次判断各个选项即可．11．【答案】A,B,D【解析】【解答】设P(x，y)，由PA=2PB得：化简可得：(x−3)2+y2=8∵直线AB过圆(x−3)2+y2=8的圆心，∴点P到直线AB的距离的最大值为圆(x−3)∵|AB|=2，∴△PAB面积最大为12×2×22∴|PA|=(3+1)当∠PAB最大时，则PA为圆(x−3)2∴|PA|=(3+1)直线AC的方程为7x−y+7=0，则圆心(3，0)到直线AC的距离为∴点P到直线AC距离最小值为142故答案为：ABD.

【分析】根据题意设出点的坐标，结合已知条件整理化简即可的点的轨迹方程，从而判断出选项A正确；由结合三角形的面积公式，由两点间的距离公式代入数值计算出结果，由此判断出选项B正确；结合直线与圆的位置关系，即可判断出当∠PAB最大时，则PA为圆(x−3)212．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A，当λ=1时，BP→=λBC→+μ故点P在线段CC1上，此时△AB当点P为CC1的中点时，△AB当点P在点C1处时，△AB1故周长不为定值，故A错误；对于B，当μ=1时，BP→=λBC→+故点P在线段B1因为B1C1所以直线B1C1又△A1所以三棱锥P−A对于C，当λ=17时，BP=17BC+μBB1，取BC，B1C1中点分别为Q，H，建立如下图所示的空间直角坐标系，

A1(32,0,1)，B(0,12,0)，对于D，当μ=12时，取CC1的中点D1因为BP→=λBC→+则点P在线的DD当点P在点D1处时，取AC的中点E，连结A1E因为BE⊥平面ACC1A1，又AD在正方形ACC1A又BEA1E=E，BE，A故AD1⊥平面A1BE，又A在正方体形ABB1A又AD1AB1=A，AD1，因为过定点A与定直线A1故有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面故答案为：BD.【分析】判断当λ=1时，点P在线段CC1上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断A；当μ=1时，点P在线段B1C1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断B；当λ=17时，取BC，B1C1中点分别为Q，H，不妨建系解决，求出A1P,BP，即可判断C；当μ=12时，取CC1的中点D1，B13．【答案】2或4【解析】【解答】解：在△ABC中，由正弦定理，可得asinA=csinC，即23sinA=2sin3当B=90°时，b2当B=30°时，b=c=2.所以故答案为：2或4.【分析】根据正弦定理求出角A，再求出角B，然后求出b的值即可.14．【答案】4【解析】【解答】解：由题意可知，4πR2＝16π，所以R＝2，即球的半径R＝2．设圆柱的底面圆半径为r，则(2r)2+(2r)2=2R，即8∴V圆柱＝πr2·2r＝2π·22＝42π．故答案为：42【分析】根据球的表面积求出球的半径，结合截面图得到圆柱的半径与球的半径的关系式，求出圆柱的底面半径，再求出圆柱的体积.15．【答案】2【解析】【解答】由题意，P在第一象限，则AM、BN的斜率都存在，设P(x0，y0)，直线AM直线BN：y=k2(x−3)∴|BM|∴|BM∵P(x0，y0)在椭圆x即y0而k1∴|BM故答案为：23

【分析】由已知可知AM、BN的斜率都存在，设P(x0，y0)，直线AM：y=k116．【答案】22；【解析】【解答】解：由三棱锥S−ABC中，若底面ABC是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3知，三棱锥S−ABC是正三棱锥，则点S在底面ABC中的投影为底面的中心O，E为AC因此SO⊥AC,AC⊥BE,SO∩BE=O，所以AC⊥∴SB⊥AC，又M、N分别为棱SC、BC的中点，则MN∥SB，因此MN⊥AC，异面直线MN与AC所成角为π2∵AM⊥MN,MN∴MN⊥平面SAC，又MN∥SB，则SB⊥平面SAC，

又根据题意可知，在Rt△SOB中，OB=2，OS=1，

∴直线MN与面ABC所成角的正切值为OSOB=12因此三棱锥S−ABC可以看成正方体的一部分且S,A,则球的体积为43故答案为：22；9π【分析】根据题意得出三棱锥是正三棱锥，易证出AC⊥平面SBE，再根据MN∥SB，可得MN⊥AC，从而得出异面直线MN与AC所成角；判断出三棱锥是正方体的一部分，从而得出球的直径，即可得出球的体积.17．【答案】（1）解：80分以上的占(0.005+0.（2）解：采用赋分制后，李雷同学地理成绩的最终得分为80分，故成绩在50%到3540×50%=20，40×35%=14，故成绩在14名和20名之间，即地理70多分，故可能的原始分数为76，77，78.（3）解：记地理、政治、物理、化学、生物分别为A，共有(A，满足条件的有4种，故P=2【解析】【分析】(1)计算80分以上的占15%，属于A(2)计算成绩应该在14名和20名之间，即76到83之间，得到分数；(3)列举基本事件，结合古典概型的概率公式，求解即可.18．【答案】（1）解：（1）方案一：选条件①.

∵c(cosAcosB+12)=asinBsinC，

∴sinC(cosAcosB+12)=sinAsinBsinC，

∵sinC≠0，∴cosAcosB−sinAsinB=−12，即cos(A+B)=−12，

∵A+B=π−C，∴cos(A+B)=−cosC=−12，即cosC=12，

∵0<C<π，∴C=π3.

方案二：选条件②.

∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，

∴(a−b)（2）解：由C=π3及余弦定理可知，又a2+b2−ab≥2ab−ab=ab所以△ABC的面积S=1所以△ABC面积的最大值为43【解析】【分析】（1）选择①，利用正弦定理和余弦的和角公式的逆用求得cosC=12，进而求出C；选择②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；选择③，先用正弦定理，再用余弦的差角公式，得到tan（2）根据条件，结合余弦定理和基本不等式求出最大值即可.19．【答案】（1）证明：连AC，BD交于O，连则O为AC的中点，又M是AA1的中点，所以又A1C⊄平面MBD，OM⊂平面MBD，所以A1（2）解：因为A1所以|===11−2×1×3×（3）解：设直线A1C与直线DM所成角为θ，则因为DM=AM=1因为A1C=所以cos==|所以直线A1C与直线DM所成角的余弦值为【解析】【分析】（1）连AC,BD交于O，连OM，利用中位线证明（2）将A1C用AB、AD、AA（3）转化为向量A1C与20．【答案】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=22，AD=2∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，∵AD⊂平面ADM，

∴AD⊥BM.（2）解：建立如图所示的直角坐标系设DE=λDB，则平面AMD的一个法向量ME=设平面AME的一个法向量m=(x，y，所以m=(0，1所以E为BD的中点.【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明即可；

(2)建立适当的空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.21．【答案】（1）解：因为T(0，t)(t>0)是抛物线C：x2=4y的焦