浙江省温州市2023-2024学年高二上学期数学期末教学质量统一监测试卷（A卷）

浙江省温州市2023-2024学年高二上学期数学期末教学质量统一监测试卷（A卷）姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线方程x+y+1=0，则倾斜角为（）A．45° B．60° C．120° D．135°2．在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则AB+A．AD B．GA C．AG D．MG3．已知函数f（x）满足f(x)=f'(A．3 B．32 C．−3 4．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，A．2 B．4 C．8 D．165．已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（）A．13 B．12 C．236．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作{an}A．35 B．70 C．145 D．1707．已知F为椭圆x24+y23=1的左焦点，过点F的直线l交椭圆于AA．±2 B．±3 C．±2 8．若函数f(x)=ax+bx在(0A．a=ln1.1，b=10 C．a=e0.2，b=0.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（）A．x24−y22=1C．x24+y22=110．已知函数f(x)=xA．fB．f（x）有两个极值点C．f（x）在区间(−3，D．f(−11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且A．若{an}B．若{an}C．若{an}D．若{an}12．已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=4，AC=BC=2，AC⊥BC，点E，F，T分别为棱A1AA．A1B∥B．M∈平面EFTC．点A到平面EFT距离的最大值为14D．平面B1EF与平面ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知3S314．已知圆C1：x2+y2−8x+7=0和圆C215．两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M和N分别是对角线AC和BF上的动点，则MN的最小值为．16．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，l：y=3x是C的一条渐近线，P是四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的菱形，∠ABC=23π，PD⊥平面ABCD，PD=1，M（1）求证：平面MAC⊥平面PDB；（2）求CP与平面MAC所成角的正弦值．18．已知圆C截y轴所得弦长为2，被x轴分成的两段圆弧的弧长比为3：1，且圆心C到直线x−2y=0的距离为55，求圆C19．已知数列{an}满足a（1）求证：数列{1（2）设数列{an}前n项和为Sn，且S2n20．已知函数f(x)=ln（1）讨论f（x）的单调性；（2）求证：当a>0时，f(x)+4<421．已知点A(−5，2)在双曲线C（1）求C的方程；（2）如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为S1与S2，求22．设函数f(x)=(x−2)e（1）若曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−3x+b=0，求a，（2）若当x>0时，恒有f(x)>−x−2，求实数a的取值范围；（3）设n∈N*时，求证：

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为直线方程x+y+1=0，则直线的斜率k为-1，

设直线的倾斜角为α，0≤α<π，

因为k=故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合直线的方程得出直线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角.2．【答案】C【解析】【解答】解：在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则12CD→=CG故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和中点的性质，再结合三角形法则，从而化简向量AB→3．【答案】A【解析】【解答】解：因为函数f（x）满足f(x)=f'(π3)sinx−cosx，则故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，从而由代入法和解方程的方法，进而得出f'4．【答案】C【解析】【解答】解：已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn=m⋅2n−1，

则a1=S1=2m−1，a2=S故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合等比数列的前n项和公式，再利用an5．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，画出轴截面∆ABC，其中四边形DEFG为内接矩形，如下图所示，

设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，圆锥的高为H，底面半径为R，

则hH=R-rR，所以h=HR-rR，所以，圆柱的侧面积为S侧=2πrh=2πr·HR-rR

【分析】利用已知条件结合相似三角形对应边成比例和圆柱的侧面积公式，进而得出圆柱的侧面积关于圆柱底面的半径的二次函数，再结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出圆柱的侧面积最大时的圆柱的底面半径与圆锥底面半径的关系式，进而得出当圆柱的侧面积最大时的圆柱与圆锥的高之比.6．【答案】D【解析】【解答】解：由已知可得，a1=1，a当n≥2，n∈N*时，用累加法求和如下：

a1=1，

a2=a1+4，

a3=a2+7，

an=an-1+3n-2，

等号两边同时相加可得：a1+a2+a3++an=1+a1+4+a2+7++an-1+3n-2，

整理可得：an=1+4+7++3n-2=n3n-2+12=3n2-n2。

对于A，令3n2-n2=35可得3【分析】利用已知条件得出数列前几项，进而得出递推公式an=1，n=1an-17．【答案】B【解析】【解答】解：利用已知条件，

易知a=2，b=3，c=1，点F(-1，0)，

不妨设Ax1，y1，Bx2，y2，y1>0，y2<0，直线的斜率为k，倾斜角为α，

易知AF=y1sinα，BF=y2sinα，且直线的方程为：y=k(x+1)，

联立直线与椭圆的方程，即y=k(x+1)故答案为：B.

【分析】利用已知条件求出点F的坐标，设出点A，B的坐标，直线的斜率和倾斜角，再结合图象得出AF=y1sinα8．【答案】D【解析】【解答】解：f(x)=ax+bx，a>0且a≠1，b>0且b≠1，f'(x)=axlna+bxlnb，

令g(x)=f'(x)，则g'(x)=ax(lna)2+bx(lnb)2>0恒成立，

故f'(x)=axlna+bxlnb在(0，+∞)上单调递增，

要想f(x)=ax+bx在(0，+∞)上单调递增，只需f'(0)=lna+lnb≥0，即只需ab≥1.

A、ab=10ln1.1，令h(x)=x-1-lnx，x>1，则h'(x)=1-1x=x-1x>0在(1，+∞)上恒成立，

故h(x)=x-1-lnx在(1，+∞)上单调递增，故h(1.1)>h(1)=0，即0.1>ln1.1>0，

故ab=10ln1.1<10×0.1=1，A错误；

B、由于In11<10，故ab=0.1ln11=ln1110<1，B错误；

C、ab=0.8e0.2，令q(x)=(1-x)ex，x∈(0，1)，则q'(x)=-ex+(1-x)ex=-xex<0恒成立，

故q(x)=(1-x)ex在(0，1)上单调递减，故q(0.2)<q(0)=1，即0.8e0.2<1，C错误；故答案为：D.

【分析】二次求导得到f'(x)=axlna+bxlnb在(0，+∞)上单调递增，要想f(x)=ax+bx在(0，+∞)上单调递增，只需ab≥1，A选项，构造h(x)=x-1-lnx，x>1，求导得到单调性，即可判断：B选项，ab=0.1ln11=ln1110<1，即可判断；C选项，令q(x)=(1-x)ex，x∈(0，1)，求导得到其单调性，求出0.8e0.29．【答案】C,D【解析】【解答】解：对于A，双曲线x24−y因为c2=a2+b2，c>0，所以c=a2+b因为c2=a2-b2，c>0，所以c=a2-b2=2，所以，椭圆x2因为c2=a2+b2，c>0，所以c=a2+b因为c2=a2+b2，c>0，所以c=a2+b2=6，所以，双曲线y2因为c2=a2-b2，c>0，所以c=a2-b因为c2=a2-b2，c>0，所以c=a2-对于D，抛物线y2+4x=0的离心率为e=1，抛物线x2+2y=0的离心率为e=1，

所以，抛物线y2

【分析】利用已知条件结合椭圆、双曲线、抛物线离心率求解方法和椭圆中a，b，c三者的关系式、双曲线中a，b，c三者的关系式，再由比较法找出两个圆锥曲线的离心率相等的选项.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，由已知可得，f'(x)=3x2+6x，

对于B，令f'(x)=0可得x=0或x=-2，

令f'(x)>0可得x<-2或x>0，所以函数f(x)在-∞，-2上单调递增，

在0，+∞上单调递增；

令f'(x)<0可得-2<x<0，所以函数f(x)在-2，0上单调递减；

所以，函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=0时处取得极小值，所以B对；

对于C，由B可知，函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=0处取得极小值，

因为f(-3)=-27+27=0，f(-2)=-8+12=4，f(0)=0，f(3)=27+27=54，

显然f(3)>f(-2)，所以函数f(x)在区间(−3，3)上没有最大值，所以C错；

对于D，因为f(-52)=-

【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，进而得出导函数，再结合代入法得出导函数的值，从而判断出选项A；

利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值点个数，从而判断出选项B；

利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数在给定区间的最值，从而判断出选项C；

利用函数的解析式和代入法进而得出f(−511．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为数列{an}的前n项和为Sn，且a1<0，a1+a2>0，所以a2>-a1>0，

对于A，若数列{an}为等差数列，则公差d=a2-a1>0，则数列{an}为递增数列，

所以数列{Sn}为递增数列，所以A对；

对于B，若数列{an}为等比数列，则公比q=故答案为：ACD.【分析】根据题意可得a212．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：以点C为原点建立空间直角坐标系，

设CF=t0<t<4，则AE=4-t，BT=22t，AB=22，故BTBA=t4，所以BT=t4BA，

则E2，0，4-t，F0，0，t，A2，0，0，B0，2，0，

故BT→=t4BA→=t42，-2，0=12t，-12t，0，所以T12t，2-12t，0。

对于A，A12，0，4，则A1B→=-2，2，-4，ET→=12t-2，2-12t，t-4=1-14t·-2，2，4=1-14tA1B→，

所以ET→∥A1B→，则ET∥A1B，又因为ET⊂平面EFT，A1B不包含于平面EFT，

所以A1B∥平面EFT，所以A对；

对于B，M0，1，0，则故答案为：ABC.

【分析】建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线定理，进而证出线线垂直，从而证出线面平行，进而判断出选项A；利用已知条件结合四点共面的判断方法和平面向量基本定理判断出点与平面的位置关系，进而判断出选项B；利用已知条件结合平面的法向量求解方法和数量积求点到平面距离的公式，从而将点A到平面EFT距离转化为二次函数，再结合二次函数的图象求最值的方法得出点A到平面EFT距离的最大值，从而判断出选项C；利用已知条件结合线面垂直的定义得出平面的法向量，再结合平面的法向量求解方法和数量积求二面角的平面角的方法，进而将二面角的平面角的余弦值转化为二次函数，再结合同角三角函数基本关系式，将二面角的平面角的正弦值转化为二次函数，再由二次函数的图象求最值的方法得出平面B1EF与平面13．【答案】-1【解析】【解答】解：因为3S3=S2+2S故答案为：-1.

【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式和求和公式求得公差d.14．【答案】6【解析】【解答】解：已知圆C1：x2+y2−8x+7=0和圆C2：x2+y2+6y+m=0外离，

又因为圆C1：x2+y2−8x+7=0的圆心为C1(4，0)，半径r1=3，

圆C2：x2+故答案为：6.

【分析】利用已知条件结合两圆的一般方程得出圆心坐标和半径的长，再结合两圆的位置关系判断方法，进而得出实数m的取值范围，进而找出整数m的一个取值.15．【答案】3【解析】【解答】解：因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，根据面面垂直的性质定理可知CB⊥平面ABEF，

所以BC⊥BE，所以BC，AB，BE两两垂直，如图建立空间直角坐标系(如图)，

设A1，0，0，C0，0，1，F1，1，0，E0，1，0，

因为CM=a.BN=b，a，b∈0，2，所以Ma2，0，1-a

【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，设点的坐标得到线段MN的长度表达式，再利用配方法结合二次函数求最值的方法，进而得出MN的最小值.16．【答案】3【解析】【解答】解：连接PF2，（如图）

设Qx，3x，易知y=3x是双曲线C的一条渐近线，所以ba=3，则b=3a，

而e=ba2+1=3+1=2=ca，所以c=2a，

则双曲线的标准方程为x2a2−y23a2=1，由图易得y2>y1，则y2-y1=274a2-184a2

【分析】利用已知条件作出图形，再结合双曲线的渐近线方程得出a，b的关系式，再由双曲线的离心率公式与a，b的关系式，进而得出双曲线的离心率，从而得出a，c的关系式，进而设出双曲线的标准方程，再利用双曲线标准方程设出焦点坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再由数量积的坐标表示得出点Q坐标，再根据两点求斜率公式和点斜式公式设出直线方程，再联立直线与双曲线方程和韦达定理以及三角形的面积公式和焦点三角形的面积公式，进而得出tan∠17．【答案】（1）解：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD，BD⊂平面PDB，∴AC⊥平面又∵AC⊂平面AMC，∴平面AMC⊥平面PDB.（2）解：设点D到平面AMC的距离为d，过点P作PH⊥平面AMC交平面AMC于点H，连接CH，则∠PCH即为所求线面角，连接BD交AC于点O，连接OM，

∵PD∥OM，∴PD∥平面AMC，∴PH=d∵PD⊥平面ABCD，∴OM⊥OD，又∵平面AMC⊥平面PDB，平面AMC∩平面PDB=OM，∴OD⊥平面AMC，∴PH=d=OD=1PC=2，∴sin∠PCH=【解析】【分析】（1）利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合菱形的结构特征证出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，最后由线面垂直证出面面垂直；

（2）利用作辅助线的方法和线面角求解方法得出所求线面角，再结合线线平行证出线面平行，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合面面垂直证出线面垂直，进而得出PH和PC的长，再由正弦函数的定义得出直线CP与平面MAC所成角的正弦值.18．【答案】解：设圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|a|，有题设知，圆截x轴所得劣弧的圆心角为90°，故r=2又圆截y轴所得的弦长为2，所以r2=a2+1，从而得2b2-a2=1，点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=|a−2b|解得a=1b=1或a=−1故r2=a2+1=2，故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)3+(y+1)2=2.【解析】【分析】利用点到直线的距离公式、弧长公式得出圆的半径与圆心纵坐标的关系式，再结合弦长公式得出圆心横坐标与纵坐标的一个方程，再由点到直线的距离公式得出圆心横坐标和纵坐标的另一个过程，解方程组得出圆心坐标，再根据勾股定理得出圆的半径长，从而得出圆C的标准方程.19．【答案】（1）解：∵a∴1∴数列{1（2）解：（2）由(1)可知1an=2+(n−1)=n+1，得an=1n+1，要使得S2n−Sn>k怛成立，只需要k<(S2n−S【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义，进而证出数列{1an}为等差数列；

（2）由等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，要使得S2n−20．【答案】（1）解：因为f'所以当a≤0时，f'(x当a>0时，f'(x)在(0，1a)上大于（2）解：由（1）知当a>0时，f(x)max令g(a)=4a+lna−3所以g(a)【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性；

（2）由（1）知当a>0时，f(x)max=f(1a)=ln21．【答案】（1）解：由点A(−5，2