数学优化训练：9三角函数的简单应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3三角函数的简单应用5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.初速度为v0,发射角为θ，则炮弹水平移动的距离x与v0之间的关系式（t是飞行时间）为（）A.x=|v0t｜B。x=｜v0｜·sinθ·tC.x=|v0｜·sinθ·t—|g｜·t2D.x=｜v0｜·cosθ·t解析：由速度的分解可知炮弹水平移动的速度为v0·cosθ，如图所示：故炮弹水平移动的距离为｜v0｜·cosθ·t.答案：D2.在200米高山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（)A.米B.米C。米D.米解:如图，设塔高为h米，则200·tan30°=(200-h）tan60°，∴h=米。答案：A3.甲、乙两楼相距60米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为_____________、_____________。解析：如图，甲楼的高度AC=AB=60米,在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=.∴乙楼的高度为BD=BE-DE=（60-）（米）.答案:60米（60-）米10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1。图3—3—1中哪一个图像准确地描述了某物体沿粗糙斜面滑下时其加速度和斜面倾斜角θ之间的关系(动摩擦因数不变）？（）图3—3-1解析：由物理知识可知，当斜面倾斜角θ比较小时,物体处于静止状态,加速度为0，故排除A，B.根据受力分析，受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ。∴a=g(sinθ—μcosθ)=sin(θ-φ）(其中tanφ=μ)。故选D.答案:D2.一树干被台风折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米,树干原来的高度为__________.解析:如图,BC=20tan30°=.AB=,所以树干原来的高度为AB+BC=(米）.答案:米3.图3—3-2是一弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________________.图3-3-2解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ），则A=2，由图像可知T=2×(0。5-0。1)=，∴ω=.∴×0.1+φ=。∴φ=。∴函数的解析式为y=2sin（x+）。4。某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.（1）画出种群数量关于时间变化的图像；(2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.解：(1)种群数量关于时间变化的图像如图所示：(2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωt+φ）+k，由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月,所以振幅A==100,即ω=,k=800.又7月1日种群数量达到最高，∴.∴φ=.∴种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin（t-3）+800。5。如图3-3-3所示，某人身高a=1。77米，在黄浦江边测得对岸的东方明珠塔尖的仰角α=75。5°，测得在黄浦江中的倒影的塔尖的俯角β=75.6°,求东方明珠的塔高h。图3—3-3解：设黄浦江的宽为b米，则b·tanα=h—a，b·tanβ=h+a.消去b得h=.当α=75.5°,β=75.6°,a=1.77米时，h=490。1米.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后）1.如图3-3—4所示，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地,使其一边AD落在圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上。已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？图3—3—4解：如图,令∠AOB=θ,则AB=asinθ，OA=acosθ,则矩形ABCD的面积为S=asinθ·2·acosθ=a2·2sinθcosθ=a2·sin2θ≤a2.其中“≤”中等号成立的条件是sin2θ=1,即2θ=90°，于是θ=45°时,S为最大。∴A、D两点与O的距离都是a。2.三角函数的叠加问题：在交流电、简谐运动及各种“波”等问题的研究中,三角函数发挥了重要的作用，在这些实际问题中,经常会涉及“波”的叠加,在数学上常常可以归结为三角函数的叠加问题.设y1=3sin(2t+），y2=4sin2t表示两个不同的正弦“波”，试求它们叠加后的振幅和周期.解：它们叠加后的函数是y1+y2=3sin()+4sin2t=3cos2t+4sin2t==5sin（2t+φ）（其中tanφ=），所以，叠加后的函数的振幅为5，周期仍为π，初相为arctan,即叠加后的“波”的振幅为5，周期仍为π。3。以一年为一个周期调查某商品出厂及该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店内的销售价格是在8元的基础上也是按月份随正弦曲线波动的，并且已知5月份价格最高为10元,9月份价格最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月份赢利最大?并说明理由。解：由条件得：出厂价格函数是y1=2sin（x)+6,销售价格函数为y2=2sin（x—）+8.则利润函数为y=m(y2-y1)=.所以当x=6时,y=（2+)m最大.所以6月份赢利最大.4。如图3—3—5，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面0。5米。风车圆周上一点A从最低点O开始运动,t秒后与地面的距离是h米.图3—3-5(1）求函数h=f（t）的关系式；（2）画出函数h=f(t)的图像。解：（1）如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.设点A的坐标为(x，y），则h=y+0.5.设∠OO1A=θ，则cosθ=,y=-2cosθ+2。又θ=×t，即θ=t，所以y=。所以h(t）=.（2）h(t）=的图像如下图。5.一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位cm）与时间t（单位:s)的函数关系是S=6sin（2πt+）。（1）画出它的图像;（2)回答以下问题：①小球开始摆动（即t=0），离开平衡位置多少厘米？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？③小球来回摆动一次需要多少时间？解:（1）先求周期：T==1(s）。列表:t012πt+π2π2π+6sin（2πt+)360—603描点画图：（2)①小球开始摆动(t=0）,离开平衡位置为3cm.②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm（即振幅）。③小球来回摆动一次需要1s(即周期）。6.某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24,单位：小时）的函数，下面是水深数据：t(时）03691215182124y(米）10.013。09.97.010。013.010。17。010.0据上述数据描成的曲线如图3—3-6所示,经拟合，该曲线可近似看成正弦函数y=Asinωx+B的图像.图3—3—6（1)试根据数据表和曲线求出y=Asinωx+B的表达式;（2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4。5米是安全的,如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所用的时间）?解：（1)从拟合的曲线可知,函数y=Asinωx+B在一个周期内由最大变为最小需要9—3=6个小时,此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时,因此=12,ω=。又当t=0时，y=10，当t=3时，ymax=13，所以B=10,A=13—10=3.于是所求函数解析式为y=3sinx+10。（2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米,故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5(米).由拟合的曲线可知，一天24小时，水深y变化两个周期，故要使船舶在一天内停留港口的时间最长,则应从凌晨3点前进港,而从第二个周期中的下午15点后离港。令y=3sin+10