数学优化训练：导数在实际生活中的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.4导数在实际生活中的应用5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1。设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（)A。B.C.D。2答案：C解析：设底面边长为x,则表面积S=x2+V(x>0），S′=(x3-4V）,令S′=0，得唯一极值点x=。2。在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径,其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底长为…()A。B.rC.rD。r答案：D解析：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S.∵h=，∴S=·=(r+x）·.∴令S′===.令S′=0，得x=，h=r,当x∈（0，）时,S′〉0；当〈x<r时，S′〈0.∴当x=时，S取极大值，当梯形的上底长为r时，它的面积最大.3。有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为___________。解析:设矩形长为x，则宽为8—x，矩形面积S=x（8—x）（x>0)，令S′=8—2x=0，得x=4。此时S最大=42=16m2答案：1610分钟训练（强化类训练，可用于课中)1.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起,就能焊成铁盒。当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A.6B.8C.10答案：B解析:设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vcm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0〈x<24),V′=12（24—x）(8-x）.令V′=0,则在（0,24）内有x=8，故当x=8时，V有最大值。2.函数y=的值域为______________。解析：f′（x）=。令f′(x）=0,得x=，又定义域为[-1,1］，且f（±1)=0,f()=.答案：[0,]3。某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为______________.解析:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如下图所示，设场地宽为x米，则长为米,因此新墙总长度L=2x+（x>0）,则L′=2—。令L′=0，得x=±16.∵x〉0，∴x=16。当x=16时，L极小值=Lmin=64,∴堆料场的长为=32米.答案:32米,16米4.如图所示,水渠横断面为等腰梯形。(1)若渠中流水的横断面积为S,水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？（2）若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角Φ多大时,水流的横断面积为最大?解：（1）依题意,侧边BC=h·（sinΦ）-1，设下底AB=x，则上底CD=x+2hcotΦ.又S=（2x+2hcotΦ)h=（x+hcotΦ）h,∴下底x=-hcotΦ.∴横断面被水浸湿周长l=+(—hcotΦ)=(0〈Φ<）。∴l′Φ=.令l′Φ=0，解得cosΦ=,∴Φ=.根据实际问题的意义，当Φ=时,水渠横断面被水浸湿的周长最小。（2)设水渠高为h,水流横断面积为S，则S=(a+a+2acosΦ）·h=（2a+2acosΦ）·asinΦ=a2（1+cosΦ）·sinΦ(0〈Φ〈）.∴S′=a2［—sin2Φ+（1+cosΦ)cosΦ］=a2（2cosΦ—1)(cosΦ+1）.令S′=0,得cosΦ=或cosΦ=-1(舍),故在(0，）内,当Φ=时，水流横断面积最大，最大值为S=a2(1+cos）sin=a2.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1。函数f（x）=x3-3x（|x｜<1)()A.有最大值,但无最小值B。有最大值，也有最小值C。无最大值，也无最小值D。无最大值,但有最小值答案:C2.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（)A.10B.15C.25D.50答案:C解析：如下图，设∠NOB=θ，则矩形面积S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ。故Smax=25.3.已知函数f(x）=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小值,则a的取值范围是______________.解析:f′（x)=3x2+6ax+3(a+2)，则f′（x)=0有两个不等的实根,从而Δ=36a2—36(a+2)>0，解之得a〈—1或a〉2。答案:(-∞，—1）∪(2,+∞)4.函数y=sin2x-x，x∈［，]的最大值是______________,最小值是______________.答案：-5.将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形，问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积。解：设弯成圆的一段长为x,另一段长为100—x,设正方形与圆的面积之和为S,则S=π（）2+()2(0＜x＜100),所以S′=（100—x）.令S′=0，得x=.由于在（0，100)内函数只有一个导数为0的点，故当x=时S最小，此时S=。所以截成圆的一段铁丝长为时，可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为。6。如图，一艘渔船停泊在距岸9km的A处,今需派人送信给距渔船334km处的海岸渔站C，若送信人步行速度为每小时5km，船速为每小时4km,问在何处上岸,可以使抵站的时间最省？〔参考导数公式［］′=·f′(x)〕解：设上岸点为D,BD=x，BC==15，AD=,所用时间t（x)=，∴t′(x）=·=0.解得x=12.∴15-x=15-12=3km。∴上岸点在距渔站3km处。7.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，其容积最大？解：设被切去的全等四边形的一边长为x,如题图,则正六棱柱的底面边长为1-2x，高为x，∴正六棱柱的体积V=6×（1-2x)2×x(0<x〈)，化简得V=(4x3-4x2+x）.又V′=(12x2—8x+1）,由V′=0,得x=或x=.∵当x∈（0，）时,V′〉0，V是增函数;当x∈（，)时,V′<0，V是减函数，∴当x=时，V有最大值，此时正六棱柱的底面边长为.8。某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1)当每辆车的月租定为3600元时,能租出多少辆车？（2)每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大月收益为多少？解:（1)当每辆车的月租金