数学优化训练：点到直线的距离

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2.4点到直线的距离5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.点（1，-1）到直线x—y+1=0的距离是(）A.B.C。D.解析：本题考查点到直线的距离公式。由点到直线的距离公式可得.答案：C2.点P(x,y）在直线x+y—4=0上,O为坐标原点，则O点到P点的最小值为（）A。B.C。D.2解析：OP的最小值即为O到直线x+y—4=0的距离d=.答案：B3。直线2x—y—1=0与直线6x-3y+10=0的距离是______________。解析：方法一:在2x-y-1=0上取x=0,则y=—1,即（0,-1)为直线上一点.由点到直线的距离公式得到d=。方法二：直线2x—y—1=0可化为：6x-3y—3=0,则d=。答案：10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1.过点（1，3）且与原点的距离为1的直线共有()A。3条B。2条C。1条D.0条解析：①直线的斜率存在为k,设直线方程为y—3=k（x-1），由d==1,得k=；②直线的斜率不存在，直线为x=1，所以符合条件的直线共有两条.答案：B2.已知x、y满足3x+4y-10=0，则x2+y2的最小值为(）A.2B。4C解析：x2+y2视为原点到直线上的点P（x，y)的距离的平方，所以x2+y2最小值为原点到直线3x+4y—10=0的距离的平方。因为d==2，所以最小值为4.答案:B3。与两平行直线：l1：3x-y+9=0，l2：3x—y-3=0等距离的直线方程为_____________。解析：到两平行直线的距离相等，说明该直线也与这两条直线平行，所以可设直线方程为3x—y+C=0.由两平行线间距离d=，可得｜9-C｜=｜C+3|，解得C=3。∴所求直线方程为3x-y+3=0。答案:3x—y+3=04.已知直线l过点(0,1)，且点（1,-3)到l的距离为，求直线l的方程，并求出坐标原点到l的距离。解：显然当l的斜率不存在时不合题意。故设直线l的方程为y-1=k（x-0）,即kx—y+1=0。由题意，d=,整理得7k2-16k—23=0，解得k=—1或k=。∴直线方程为x+y—1=0或23x-7y+7=0。坐标原点到直线的距离d1=,d2=.5.求下列直线方程:（1）与直线l：3x—4y-20=0平行且距离为3的直线；(2)已知直线l1：2x+y—6=0和点A（1，—1），过点A作直线l与已知直线l1相交于B点，且d（A，B)=5，求直线l的方程。解：（1)设所求直线方程为3x—4y+C=0(C∈R）,由题设=3，解得C=—35或C=—5。故所求直线方程为3x-4y—35=0或3x—4y—5=0。(2）①当斜率不存在时，过点A(1，-1）与y轴平行的直线为x=1，解方程组求得B点坐标为(1,4)，此时d（A，B)=5,符合要求,此时所求直线方程为x-1=0。②当斜率存在时，设直线l方程为y+1=k(x-1),解方程组(k≠-2，否则与已知直线平行)由已知（-1）2+（+1）2=52,解得k=,∴y+1=(x—1），即3x+4y+1=0。综上，可知直线l的方程为x-1=0或3x+4y+1=0。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1。直线x-y—2=0与直线x—y+1=0的距离是（)A.B.C.D。解析:在直线上取点,比如（1，—1）,再应用点到直线的距离公式，则有d=.答案:D2.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，那么它们之间的距离是(）A。4B.C.D。解析：先由两直线平行求出m的值，再在其中一直线上任取一点计算点到直线的距离，或者直接利用平行线间的距离公式.方法一:因为两直线平行,所以3m=12,即m=4，在3x+2y—3=0上可任取一点（0,），则(0,)到直线6x+4y+1=0的距离d=。方法二:因为两直线平行,所以3m=12,即m=4，6x+my+1=0可化为3x+2y+=0,由两平行直线的距离公式得d=.答案：D3。到两条直线3x-4y+5=0和5x—12y+13=0距离相等的点P(x，y)的坐标，必满足方程（)A.x—4y+4=0B.7x+4y=0C。x-4y+4=0或4x-8y+9=0D。7x+4y=0或32x+56y+65=0解析：设所求点为P(x，y），则.答案：D4。已知点P(a,b)是第二象限的点，那么它到直线x-y=0的距离是()A.（a—b）B。b—aC。（b—a）D.解析:∵P(a,b）是第二象限点，∴a＜0，b＞0。∴a-b＜0。点P到直线x-y=0的距离d=(b-a）。答案：C5.已知点（a,2)(a>0)到直线l：x—y+3=0的距离为1，则a等于()A.B。C.D.解析:考查点到直线的距离公式及运算能力.由点到直线的距离公式,得=1，∴｜a+1｜=。∴a=±—1.又a＞0,∴a=—1。答案：C6。（经典回放)已知定点A(0，1），点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是___________.解析：可设B(x,-x），所以d(A,B)=,所以d(A，B）min==.这时x=，B点的坐标为（，)。答案：(,)7。经过点A(5，10）且和原点距离是10的直线的方程是__________.解:(1）k存在时，设直线方程为y—10=k（x—5),∴10=。∴k=或k=0.∴y-10=（x—5)或y=10。（2)k不存在时,x=5不符合题意.综上所述，4x+3y-50=0或y=10为所求。答案：4x+3y-50=0或y=108.两直线l1：x+y—2=0与l2:7x—y+4=0相交成四个角，则这些角的平分线所在的直线的方程为______________。解析：设P（x，y)是角平分线上任一点，则由|｜=||,可得角平分线的方程。答案：6x+2y—3=0或x—3y+7=09。已知两直线l1：7x+8y+9=0和l2:7x+8y—3=0,直线l与l1、l2的距离分别为d1、d2,且d1∶d2=1∶2，求直线l的方程.解：设直线l的方程是7x+8y+C=0,由题意得=1∶2,解得C=21或C=5，所以直线方程为7x+8y+21=0或7x+8y+5=0.10.两条互相平行的直线分别过A（6,2)、B（—3，—1）两点，并且各自绕着A、B点旋转(但始终保持平行关系).如果两条平行线间的距离为d。(1）求d的变化范围；(2）求当d取得最大值时的两条直线的方程。解法一:(1)设两条直线分别为y=kx+b1和y=kx+b2，则而d=,∴d2+d2k2=81k2-54k+9，即(81-d2）k2-54k+9—d2=0.由于k∈R，所以Δ=542-4(81—d2)（9—d2）≥0。整理得4d2（d2-90)≤0，∴0＜d≤.(2）当d=时,k==-3,∴两条直线的方程分别为3x+y-20=0和3x+y+10=0。解法二:（1）根据图形可知，当两平行线均与线段AB垂直时，距离d=｜AB|=最大；当两平行线重合，即都过A、B点时，距离d=0最小.但平行线不能重合，∴0＜d≤。(2)同方法一。11.求经过点M(2，2)且与两点A(2，3)、B(6,-9)等距离的直线l的方程。解法一：直线l斜率不存在时，显然不合题意,当直线的斜率存在时，可设为y—2=k（x—2),即kx-y+2-2k=0.由题意得，解得k=或-3，代入kx