2025年1月广东高中学业水平考试数学模拟卷试题（含答案详解）

第第页2025年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷一、选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A=x|0<x<4，B=2,3,4,5,6，则A．2,3 B．3,4C．2,3,4 D．1,2,3,4,5,62.3.已知角α的终边上一点P（3t，4t）（t≠0），则sinα＝（）A． B． C． D．不确定4.命题“"x≤0,”的否定为（ ）A．$£≠0B．$x>0,0C．"x£=0D．"x>≠05.已知幂函数的图象经过点，则（

）A． B． C． D．6.不等式x2A．(−∞,−1)∪(4,+C．（－1，4） D．(−7.将函数y=2sin2x+π6A．y=2sin2x+π4C．y=2sin2x−π48.若，，，则（

）A． B． C． D．9.已知中，，，，则等于（）．A．或 B． C． D．或10.向量a=(3,1),b=(2,3),c=(k,2)，若A．1 B．−1 C．4 D．−211.数据8,6,5,2,7,9,12,4,12的第40百分位数是()A.5B.6C.7.5D.812.一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）13.514.已知函数，则.15.函数f=的最小正周期为2,则ω=.16.若x>53，则3x+43x−5的最小值为17.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔,先从笔筒中随机取出一支笔,使用后放回笔筒,第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为.

18.某工厂为了对产品质量进行严格把关，从500件产品中随机抽出50件进行检验，对这500件产品进行编号001，002，…，500，从下列随机数表的第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，则抽到第四件产品的编号为.

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4782三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）19.的内角，，的对边分别为，，.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.20.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值，并求出此时x的值．21.第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，（1）求在被抽取的学生中，成绩在区间之间的学生数量；（2）求候选者面试成绩的中位数.22.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，．（1）证明：（2）若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．2025年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷一、选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A=x|0<x<4，B=2,3,4,5,6，则A．2,3 B．3,4C．2,3,4 D．1,2,3,4,5,6【答案】A【解析】由题意可得：A∩B=2,32.答案：C3.已知角α的终边上一点P（3t，4t）（t≠0），则sinα＝（）A． B． C． D．不确定【解答】解：角α的终边上一点P（3t，4t）（t≠0），则．故选：C．4.命题“"x≤0,”的否定为（ ）A．$£≠0B．$x>0,0C．"x£=0D．"x>≠0答案：A5.已知幂函数的图象经过点，则（

）A． B． C． D．答案：D【详解】依题意可得,所以,又的图象经过点,所以,解得,所以.故选：D.6.不等式x2A．(−∞,−1)∪(4,+∞) 【答案】C【详解】因为不等式x2−3x−4<0解得:−1<x<4所以解集为:(−1,4).，故选:C.7.将函数y=2sin2x+πA．y=2sin2x+π4C．y=2sin2x−π4【答案】D【详解】函数y=2sin2x+π由题意y=2sin2x+得y=2sin28.若，，，则（

）A． B． C． D．选：C.【详解】因为，，，又，所以.9.已知中，，，，则等于（）．A．或 B． C． D．或【答案】A【解析】【分析】应用正弦定理，得到，再由边角关系，即可判断B的值.【详解】解：∵，，，∴由得，，∴B＝或.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题.10.向量a=(3,1),b=(2,3),c=(k,2)A．1 B．−1 C．4 D．−2【答案】B【详解】由题意得a−b=(1，-2)，因为(a−b)//11.数据8,6,5,2,7,9,12,4,12的第40百分位数是()A.5B.6C.7.5D.8答案：B.12.一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）13.5答案：±3.14.已知函数，则.【答案】.15.函数f=的最小正周期为2,则ω=.答案：±π16.若x>53，则3x+43x−5的最小值为【答案】9.【详解】x>53，所以3x−5>0，则3x+17.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔,先从笔筒中随机取出一支笔,使用后放回笔筒,第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为.

【答案】49【解析】P=218.某工厂为了对产品质量进行严格把关，从500件产品中随机抽出50件进行检验，对这500件产品进行编号001，002，…，500，从下列随机数表的第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，则抽到第四件产品的编号为.

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4782答案：447.【解题思路】根据随机数表，数字要求500以内（含500），且不重复选取，写出前4个可得答案.【解答过程】从第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，依次可得：366，010，118，447,…故抽到第四件产品的编号为447.三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）19.的内角，，的对边分别为，，.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．【详解】解：（1）因为，，.由正弦定理，可得，所以；（2）由余弦定理，，，（舍），所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．20.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值，并求出此时x的值．【答案】(1)S=−2x−7200x(2)当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m【解析】（1）由题设，得S=x−8900x−2………….=−2x−7200x+916，……………x∈8,450（2）因为8<x<450，所以2x+7200x≥22x×当且仅当2x=7200x，即x故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m221.第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，（1）求在被抽取的学生中，成绩在区间之间的学生数量；（2）求候选者面试成绩的中位数.解：（1）成绩在区间的频率为，故人数有；（2）设候选者面试成绩的中位数为x，则，解得.22.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，．（1）证明：（2）若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．【小问1详解】如图1，连接BD，因为四边形ABCD是平行四边形，且，，，所以，，AB⫽CD所以，所以，所以，所以，又因为，，BD，PD平面PB