高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第3课时随机事件与概率课件

第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第3课时随机事件与概率考点一随机事件与样本空间1．样本空间与样本点(1)样本点：随机试验E的每个可能的________称为样本点，常用ω表示．(2)样本空间：__________的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．基本结果全体样本点2．随机事件、必然事件与不可能事件(1)随机事件：________________称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件∅(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．样本空间Ω的子集3．两个事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含A发生，则B一定发生______并事件(和事件)A与B至少一个发生_____________A⊆BA∪B或A＋B事件的关系或运算含义符号表示图形表示交事件(积事件)A与B同时发生___________互斥(互不相容)A与B不能同时发生___________互为对立A与B有且仅有一个发生___________，___________A∩B或ABA∩B＝∅A∩B＝∅，A∪B＝Ω提醒：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．[典例1]

(1)(2024·湖北襄阳模拟预测)已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个√(2)(多选)从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是(

)A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件(3)从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为___________________________________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．√√Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}5(1)C

(2)BC

(3)Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

5

[(1)因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其Venn图如图：对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；对于②：任取x∉A，则x∈B是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∉B，则x∉A是必然事件，故④正确．所以①③④正确，正确的命题有3个．故选C.(2)不妨记两个黑球为A1，A2，两个红球为B1，B2，从中取出2个球，则所有样本点如下：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，恰有一个黑球包括：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是黑球包括A1A2，两个事件没有共同的样本点，故互斥，B正确；至少一个黑球包括：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是红球包括B1B2，两个事件没有共同的样本点，且两者包括的样本点的并集为全部样本点，故对立，C正确．同理可知A、D都不正确，故选BC.(3)任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.]点拨

1．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件．(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．2．事件的关系运算策略(1)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件．跟进训练1

(1)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则(

)A．A∪B表示向上的点数是1或3或5B．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或3D．A∩B表示向上的点数是1或5(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是(

)A．至少有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶√√(1)A

(2)B

[(1)设A＝{1，3}，B＝{1，5}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.故选A.(2)“至多有一次中靶”的对立事件是“两次都中靶”．]考点二随机事件的频率与概率1．频率与概率(1)事件的概率：对随机事件发生__________的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．(2)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会____，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．可以用频率fn(A)估计概率P(A)．可能性大小缩小稳定于2．概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)__0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝__，P(∅)＝__；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．≥10P(A)＋P(B)1－P(B)[常用结论]如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[典例2]

(1)(2019·全国Ⅱ卷)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．0.98(2)(2023·福建厦门高三模拟预测)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．(3)一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．0.250.96

点拨

频率与概率的关系频率本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同概率本身是一个在[0，1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变跟进训练2

(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

利润6525－5－75频数40202020

利润70300－70频数28173421考点三古典概率1．古典概型具有以下特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有______；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性____．有限个相等

√√

√

√

2．(2024·天津和平高三模拟)一个盒子中装有4个编号依次为1，2，3，4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y.(1)写出试验的样本空间；(2)设事件A＝“两次取出球的编号之和小于4”，事件B＝“编号