高二-人教A版-数学-选择性必修第一册-第三章《双曲线及其标准方程》课件

3.2.1双曲线及其标准方程高二—人教A版—数学—选择性必修第一册—第三章

1.类比椭圆了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法．3.会利用双曲线的定义和标准方程解决相关问题.学习目标一、温故而知新——双曲线的定义1.回顾椭圆的概念把平面内与两个定点F1，F2的距离的___等于_____________

的点的轨迹叫做椭圆.2.问题的提出平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？和常数(大于|F1F2|)下面我们先用信息技术探究一下：

在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.播放(1)随着P点的运动，观察两圆交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？播放(2)两圆一定相交吗？当满足什么条件时，两圆相交？如果|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.|MF1|+|MF2|=|AB|,椭圆改变条件：在|AB|<|F1F2|的条件下，让P在线段AB外运动播放(1)随着P点的运动，观察两圆交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？播放(2)同样地，两圆一定相交吗？当什么条件下才能相交？||MF1|-|MF2||=|AB|，双曲线如果|F1F2|>|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是双曲线；如果|F1F2|<|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.3.双曲线定义一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的____________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做________.这两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______.请回答以下问题：(1)已知|F1F2|=6,M点到F1,F2两点的距离之差的绝对值为5,则M点的轨迹是什么?(2)把绝对值改为6呢？(3)把绝对值改为10呢？(4)把绝对值改为0呢？差的绝对值双曲线焦点焦距双曲线两条射线不存在F1F2的中垂线F1F2F1F23.双曲线定义一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的____________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做________.这两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______.感悟:(1)若||MF1|-|MF2||<|F1F2|,M点轨迹为双曲线.(2)若||MF1|-|MF2||=|F1F2|,M点轨迹为两条射线.(3)若||MF1|-|MF2||>|F1F2|,M点轨迹不存在.(4)若||MF1|-|MF2||=0,M点轨迹为F1F2中垂线.差的绝对值双曲线焦点焦距问：双曲线定义中去掉“绝对值”字眼可以吗？不可以！因为双曲线有两支，当|MF1|-|MF2|>0,就是右支，当|MF1|-|MF2|<0,就是左支类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？二、双曲线的标准方程提示观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.设M(x，y)是双曲线上一点，则||MF1|－|MF2||＝2a(a为大于0的常数,a<c)，即|MF1|－|MF2|=±2a

由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，

代入上式，焦点在x轴上的双曲线标准方程为：类比焦点在y轴上的椭圆方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？如图，双曲线的焦距为2c，焦点分别是F1(0，-c)，F2(0,c)，a，b的意义同上，得双曲线方程为：（只需把x和y的位置换过来就可以了）(a>0，b>0)双曲线的定义图形方程焦点

a.b.c的关系焦点位置的判定||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|）F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)c2=a2+b2看x2,y2项系数的正负,正在哪,焦就在哪小结1：三、双曲线标准方程的求法例1

已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为由2c=10，2a=6，得c=5,a=3，因此b2=52-32=16.所以，所求的双曲线的标准方程为：特别地：当双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法.四、运用双曲线及其标准方程解决相关问题例2

已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。分析：先根据题意判断轨迹的形状。由声速及A,B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处远,所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上。四、运用双曲线及其标准方程解决相关问题例2

已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴。设炮弹爆炸点为P，其坐标为（x,y),则|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340,又|AB|=800,∴2c=800，c=400,b2=c2-a2=44400∵|PA|-|PB|=680>0,∴点P的轨迹是双曲线的右支，∴炮弹爆炸点P的轨迹方程为小结3：利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).

所以点M的轨迹是除去A、B两点的双曲线与3.1例3比较，你有何发现呢：不难发现：两条直线的斜率之积如果是一个常数m，2.用待定系数法求椭圆或双曲线的标准方程时，要先定焦再定量。3.注意根据题目的实际情况取舍双曲线的部分点或线。作业完成配套的目标检测题谢谢收看，同学们再见！3.2.1双曲线及其标准方程

答疑课程高二—人教A版—数学—选择性必修第一册—第三章1.计算难点1推导标准方程时

如何化简得到②式移项，两边平方化简整理两边平方，整理得2.计算难点2

把①式的变形a2=36-b2代入②式，整理得：b4-7b2-144=0把b2看成整体，解关于b2的一元二次方程即可。你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗？根据焦点在x