数值分析方法 课件 4-8 数值微分

数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

李冬果李林高磊首都医科大学生物医学工程学院智能医学工程学学系第四章

数值积分基础目录/Contents4.1数值积分的基本思想

4.2机械求积公式

4.3二、三节点的高斯求积公式

4.4机械求积公式的误差估计

4.5牛顿-科茨公式

4.6复合求积公式及其误差估计

4.7积分区间逐次分半求积方法

4.8数值微分

4.8数值微分1.差商求导公式

存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，记作：

上面三式分别被称为一阶导数的向前差商公式，向后差商公式和中心差商公式，中心差商公式也被称作中点公式.

借助Taylor展开式，取步长h为参数，将一阶展开：

则有：即于是有：

公式(4.8.2)计算导数时截断误差的与公式(4.8.1)的结论相同

将两式相减得

类似于一阶导数的中心差商公式，可以得到二阶导数的中心差商计算公式:2.插值型求导公式

基于插值方法的数值微分做法是，由已知建立拉格朗日插值多项式或Newton插值多项式，即或则有余项：

则有余项：

对余项公式两端求导得：

略去误差项有类似的有几种常用的求导公式(1)两点公式当n=1时，数据表如下表：则有插值公式

这正是一阶导数的向前差商公式和向后差商公式。下面考虑两点公式的截断误差，为了计算余项导数，先计算

此时截断误差分别为：

(2)三点公式当n=2时，数据表如下表：则有插值公式

则在插值点处的导数为：一阶导数的中心差商公式考虑三点公式的截断误差，计算

则截断误差分别为：

例已知函数由如下数据表给出，求各点处的导数值。

x-4-3-2-101234y0.05880.10.20.510.50.20.10.0588解：在Python中可以通过定义一个函数fun_diff_3points以实现三点插值型求导公式：例4.9.4角膜是眼球前部的透明组织，具有保护眼睛和屈光作用。角膜的屈光力约占全部眼球屈光力的70%，作为类似于旋转抛物面的角膜，其屈光力与角膜前后表面曲率密切相关。已知角膜前表面沿水平方向曲线弧的数据点坐标，求角膜前表面水平方向顶点的曲率和以顶点为中心3mm范围内的平均曲率。x(mm)y(mm)x(mm)y(mm)x(mm)y(mm)-1.9980.4144-0.6540.61330.6900.5761-1.9140.4342-0.5700.61780.7740.5659-1.8300.4529-0.4860.62140.8580.5547-1.7460.4706-0.4020.62400.9420.5426-1.6620.4873-0.3180.62581.0260.5295-1.5780.5030-0.2340.62671.1100.5155-1.4940.5177-0.1500.62671.1940.5005-1.4100.5315-0.0660.62571.2780.4844-1.3260.54430.0180.62391.3620.4674-1.2420.55620.1020.62121.4460.4494-1.1580.56720.1860.61751.5300.4304-1.0740.57710.2700.61291.6140.4104-0.9900.58620.3540.60741.6980.3894-0.9060.59440.4380.60101.7820.3673-0.8220.60160.5220.59361.8660.3442-0.7380.60790.6060.58531.9500.3201解：

xydy_dxd2y_dx2kfp1_yfp2_yK_fit-1.9980.4140.242-0.1700.1560.237-0.1320.122-1.9140.4340.229-0.1560.1440.226-0.1320.122-1.830.4530.217-0.1420.1320.215-0.1320.123……1.7820.367-0.269-0.1420.128-0.262-0.1320.1191.8660.344-0.281-0.1420.126-0.273-0.1320.1181.9500.320-0.293-0.1420.125-0.284-0.1320.117数值微分与拟合曲线计算对比图原始数据与拟合数据对比图一阶数值导数与拟合曲线导数对比图二阶数值导数与拟合曲线二阶导数对比图基于数值导数计算的曲率与