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数值分析方法主编

李冬果李林高磊面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材第五章非线性方程的数值解法目录/Contents5.1-1非线性方程的近似求根

5.2非线性方程组的数值解

5.3非线性方程近似求根计算机实验

5.1-2非线性方程的迭代法的加速5.1.3迭代法的加速(1)(2)(3)

,称为Aitken加速法.

Aitken加速：比收敛得略快。将视为新的初值，重复上述步骤xyy=xy=

(x)x*x0P(x0,x1)x1x2P(x1,x2)P(,)

Steffensen迭代格式几何解释：

斯蒂芬森加速可使原本不收敛的迭代改进到收敛.

几何意义：xyx*x0Newton迭代法收敛性(4)例牛顿法求方程在附近的一个根.

设取迭代初值，用牛顿法公式计算迭代3次得到的结果有6位有效数字.取这个结果反而比更偏离了所求的根.x*x0

x0

x0保证函数值稳定下降满足这项要求的算法称下山法.牛顿法的计算结果前一步的近似值作加权平均得其中称为下山因子，此迭代格式称为牛顿下山法.xkxk+1下山因子的选取从开始，逐次将减半进行试算，直到能使下降条件成立为止.

通过逐次取半进行试算，当时可求得当时求得

，不满足条件此时有

，而显然

.

由作为初始值计算时,均能使下山条件成立.计算结果：

即为的近似.（2）计算较困难.（1）每步迭代要计算及.缺点1、

弦截法

设是的近似根，利用

构造一次插值多项式，并用的根作为新的近似根.由有

牛顿公式中的导数用差商取代的结果.(5)几何意义

曲线上横坐标为的点分别记为，则弦线的斜率等于差商值,其方程为求得的实际上是弦线与轴交点的横坐标.这种算法因此而称为弦截法.弦截法与Newton法的区别

弦截法在求时要用到前面两步的结果，称为多点迭代法.

切线法在计算时只用到前一步的值,故称之为单点迭代.

例5.1.8用Newton迭代法和弦截法解方程

取作为开始值，解弦截法的收敛速度也是相当快的Newton迭代格式为：弦截法迭代格式为：——密勒（Müller）法2、

抛物线法

设已知方程的三个近似根，以这三点为节点构造二次

几何上，这种方法的基本思想是用抛物线与轴的交点作为所求根的近似位置，如图.插值多项式，

的一个零点作为新的近似根。并适当选取插值多项式其中，有两个零点：

式中

问题是该如何确定.

假定在三个近似根中，更接近所求的根，为了保证精度，选较接近的一个值作为新的近似根

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