直线和圆的方程 直线的一般式方程 教学设计

第二章直线和圆的方程2.2.3直线的一般式方程【教学内容】直线的一般式方程．【教学目标】1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系，培养和提高数学抽象素养；2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化，培养和提高直观想象、逻辑推理素养；3.能运用直线的一般式方程解决有关问题，培养数学运算、逻辑推理素养．.【教学重难点】教学重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般式方程；教学难点：直线的一般式方程的系数，对直线特点的影响．【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）一、复习引入1．由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.(1)斜率是1，经过点；(2)在轴和轴上的截距分别是；(3)经过两点;(4)在轴上的截距是，倾斜角是.【答案】同学们，根据前面我们学习的直线方程形式，分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式，可得到四种情况下的直线方程分别为：(1)；(2)；(3)；(4).事实上,它们的方程都可以化简为.二、新知探究从这个特例我们发现，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，都是关于的二元一次方程．直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题．1．平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？任意一条直线,在其上任取一点，(1)当直线的斜率为时(此时直线的倾斜角)，其方程为，这是关于的二元一次方程；(2)当直线的斜率不存在时(此时直线的倾斜角)，其方程为，上述方程可以认为是关于的二元一次方程，因为此时方程中的系数为0.方程和都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示.2．任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？对于任意一个二元一次方程(不同时为)，如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.(1)当时,方程可变形为，它表示斜率为，在轴上截距为的直线；(2)当时,，方程可变形为，它表示过点，且垂直于轴的直线.由上可知，关于的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于的二元一次方程(其中不同时为)叫做直线的一般式方程,简称一般式(generalform).3.在方程中，为何值时,方程表示的直线：①平行于轴?②平行于轴?③与轴重合?④与轴重合?①由直线平行于x轴的几何特征可知，直线的斜率为0，且在y轴截距不为0，因此没有x项，即x前的系数，则；可将方程改写为，其中在y轴截距，则,因此，，，直线方程为.②由直线平行于y轴的几何特征可知，直线的斜率不存在，且在x轴截距不为0，因此没有y项，即y前的系数，则；可将方程改写为，其中在x轴截距，则,因此，，，直线方程为.③由直线与x轴重合的几何特征可知，直线的斜率为0，且在y轴截距为0因此没有x项，即x前的系数，则；可将方程改写为，其中在y轴截距，则,因此，，，直线方程为.④由直线与y轴重合的几何特征可知，直线的斜率不存在，且在x轴截距为0因此没有y项，即y前的系数，则；可将方程改写为，其中在x轴截距，则,因此，，.4.归纳小结：三、典型例题例1.已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.分析：解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程是，化为一般式，得.归纳小结：直线一般式方程的结构特征：①方程是关于的二元一次方程；②方程中等号的左侧自左向右一般按常数的先后顺序排列；③的系数一般不为分数和负数；④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．例2.把直线l一般式方程化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.分析：解：把直线l的一般式方程化为斜截式.因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3.在直线l的方程中，令，得，即直线l在x轴上的截距是.由上面可得直线l与x轴､y轴的交点分别为，，过A，B两点作直线，就得直线l四、巩固提升已知直线l的方程是．当时，直线l的斜率是多少？当时呢？系数A，B，C取什么值时，方程表示经过原点的直线？分析:(1)当时，直接由直线方程求出斜率；当时，直线l的斜率不存在；(2)由直线过原点可得，再由不同时为0即可得解.解：(1)当时，直线l的斜率是；当时，直线l的斜率不存在；(2)因为直线过原点，所以，所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线.五、归纳总结1.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系2.直线的一般式方程的系数，对直线特点的影响．例：当，，时，直线方程为，直线平行于x轴.例：当，时，直线与两坐标轴都相交.六、答疑课程重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般式方程；难点：直线的一般式方程的系数，对直线特点的影响．例：①当，，时，直线方程为，直线平行于x轴.②当，，时，直线方程为，直线平行于y轴.③当，，时，直线方程为，直线与x轴重合.④当，，时，直线方程为，直线与y轴重合.典型题目：求直线（A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：(1)与两条坐标轴都相交；(2)只与x轴相交；(3)只与y轴相交.分析:根据直线与坐标轴相交的性质可得.解:（1）直线（A，B不同时为0）与x轴相交时，方程组有唯一解，所以，同理直线（A，B不同时为0）与y轴相交时，方程组有唯一解，所以，所以当，时，直线与两条坐标轴都相交；（2）已知直线只与x轴相交，所以直线与y轴平行或重合，所以当，时，直线只与x轴相交；（3）已知直线只与y轴相交，所以直线与x轴平行或重合，所以当，时，直线只与y轴相交.易错题：求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．错解：设截距为,则直线为，将代入