立体几何练习题与答案

立体几何练习题与答案【模拟】一.选择题（每小题5分，共60分）1.给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是（）A.02.下列四个命题：B.1C.2D.3①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有面可能都是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。正确的命题有________个A.1B.2C.3D.43.长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（）A.12B.24C.2D.4144.湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（）A.8cmB.12cmC.13cmD.82cm5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（）1?2?1?4?1?2?1?4?A.2?B.4?C.?D.2?6.已知直线l?平面?，直线m?平面?，有下面四个命题：①?//??l?m；②????l//m；③l//m????；④l?m??//?。其中正确的两个命题是（）A.①②B.③④C.②④D.①③7.若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）A.63cmB.6cmC.223D.3128.设正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）32A.6?cm3B.3?cm38C.3?cm34D.3?cm39.对于直线m、n和平面?、?能得出???的一个条件是（）A.m?n，m//?，n//?C.m//n，n??，m??B.m?n，????m，n??D.m//n，m??，n??10.如果直线l、m与平面?、?、?满足：l????，l//?，m??，m??，那么必有（）A.???和l?mB.?//?，和m//?D.???且???C.m//?，且l?m11.已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（）A.1：3B.1：2C.2：3D.1：312.向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）二.填空题（每小题4分，共16分）13.正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。14.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14cm3，则棱台的高为____________。15.正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。16.已知?、?是两个不同的平面，m、n是平面?及?之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n，②???，③n??，④m??。以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。三.解答题（共74分）17.（12分）正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱DA、DC、DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。18.（12分）球内有相距1cm的两个平行截面，截面的面积分别是5?cm和8?cm22，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。19.（12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。320.（12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的2，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（5?2）?，求这个旋转体的体积。21.（12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下来一个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求（1）AD应取多长？（2）容器的容积。22.（14分）如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，EF?BD?G。（1）求证：平面B1EF?平面BDD1B；（2）求点D1到平面B1EF的距离d；（3）求三棱锥B1?EFD1的体积V。【试题】一.1.B7.B二.?2.B8.D3.C9.C4.C10.A5.A11.D6.D12.B13.2a214.2cm15.3ab16.m?n，m??，n??????（或m??，n??，????m?n）三.17.证明：过A、C、D1的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、DD1的中点可得GE//AD1，GF//CD1，GE?平面EFG，GF?平面EFG∴AD1//平面AEG，CD1//平面EFG又AD1?CD1?D1∴平面EFG//平面ACD118.解：如图，设两平行截面半径分别为r1和r2，且r2?r122依题意，?r1?5?，?r2?8??r1?5，r2?8?OA1和OA2都是球的半径ROO1?OO2??22R?r1?R?r2?R?5?222222R?5R?8R?8?1?R?3222解得R?92?S球?4?R?36?(cm)32V球?43?R?36?(cm)219.解：由三视图知正三棱锥的高为2mm由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm3a?23?a?4设底面边长为a，则2∴正三棱柱的表面积数学立体几何练习题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()3A．相交B．平行C．垂直D．不能确定2．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则?AED的大小为（）A.45?B.30?C.60?D.90?3．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（）A．12B。2C3D34．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的余弦值是A．1513122B。C。D5．在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．5B．23C．55D．5）6．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为（A．34B．32C．334D．37．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=1,则AB1与C1B所成的角的大小为（）A.60oB.90oC.105oD.75o8．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是（）A．0B．2C．4D．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则?????????sin〈CM，D1N〉的值为_________.10．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是.CMB11．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为．12．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为.13．已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面?过PF且与AE平行，则AE与平面?间的距离为．14．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为________.三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.15．如图，直三棱柱ABC?A1B1C1，底面?ABC中，CA＝CB＝1，?BCA?90?，棱AA1?2，M、N分别A1B1、A1A是的中点．(1)求BM的长；(2)求cos?BA1,CB1?的值；(3)求证：A1B?C1N．y16．如图，三棱锥P—ABC中，PC?平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，xD是PB上一点，且CD?平面PAB．(1)求证：AB?平面PCB；P(2)求异面直线AP与BC所成角的大小；(3)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．C17．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．P（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，使得⊥QD？（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得⊥QD时，求二面角Q-PD-A的余弦值大小．18.如图，在底面是棱形的四棱锥P?ABCD中，?ABCAQDC?60,PA?AC?a,PB?PD??2a，点E在PD上，且PE:ED＝2:1．(1)证明PA?平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角?的大小；(3)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．19.如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG?20.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；SA(3)的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？AB理科立体几何训练题（B）答案一、选择题二、9.填空题ECD13GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．C(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；(2)求点D到平面PBG的距离；(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求PFFC的值．345223410．°12．13．1493543三、解答题15解析：以C为原点建立空间直角坐标系O?xyz.(1)依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．?(1?0)?(0?1)?(1?0)222?3.y(2)依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.?BA1?(1,?1,2),CB1?(0,1,2),BA1?CB1?3?6?5?cos?BA1,CB1???3010.(3)证明：依题意得C1（0，0，2），N(?A1B?C1N??12?12?0?0,?A1B?C1N1111,,2),?A1B?(?1,1,?2),C1N?(,,0)2222.16．解析：(1)∵PC⊥平面ABC,AB?平面ABC，∴PC?AB.∵CD?平面PAB，AB?平面PAB，∴CD?AB．又PC?CD?C，∴AB?平面PCB．(2由(I)AB?平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０,2,０），Ｂ（0,0,0），C（０,0），P（０,2）．????????=(2,－，=(．BCAP?????则AP?BC=．????????????????2AP?BCcos?AP,BC?==AP?BC22?Pz=212．∴异面直线AP与BC所成的角为?3．????????（3）设平面PAB的法向量为m=(x，y，z)．AB=(0,AP=(－2,2)，xy????????y?0,?AB?m?0,??0,则????即解得?令z=-1,得m=(?x??????2z?0.?AP?m?0.2，0，-1)．?由PC?平面ABC易知：平面PAC?平面ABC，取AC的中点E，连接BE，则BE为?平面PAC的一个法向量，BE?(为n=(1，1，0)．cos?m,n??m?nmn223,22,0)?22(1,1,0)，故平面PAC的法向量也可取=23?2?3.∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为33．17．解析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．∵PA=AB=1，BC=a，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）．（2）设点Q（1，x，0），则????????DQ?(1,x?a,0),QP?(?1,?x,1)．由DQ?QP?0，得x2-ax+1=0．显然当该方程有非负实数解时，BC边上才存在点Q，使得⊥QD，故只须⊿=a2-4≥0．因a>0，故a的取值范围为a≥2．（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．∵D、N、P三点共线，??????????????MD??MP(0,1,0)??(0,?1,1)(0,1??,?)∴MN?．??1??1??1???????????????又PD?(0,2,?1)，且MN?PD?0，????????故(0,1??,?)1???(0,2,?1)?2?3?1???0???23．?????于是MN?(0,1?1?22,)?(0,1,2)．2553???????????????????????12故NQ?NM?MQ??MN?AB?(1,?,?)．55????????12∵PD?NQ?0?2?(?)?(?1)?(?)?0，55∴PD?NQ．（：）∴∠MNQ为所求二面角的平面角．?????????NM?NQ∵cos?MNQ??，6|NM|?|NQ|????????注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.18解析：（1）传统方法易得证明（略）（2）传统方法或向量法均易解得??30?；（3）解以A为坐标原点，直线AD,AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为A(0,0,0),B(32a,?12a,0),C(231332a)a,12a,0)D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a,32a,12a,0)所以AE?(0,23a,13a)，AC?(，B《立体几何初步》练习题一、选择题1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（）A、垂直B、平行C、相交不垂直D、不确定2.在正方体ABCD?A1B1C1D1中,与A1C垂直的是（）A.BDB.CDC.BCD.CC13、线m,n和平面?、?，能得出???的一个条件是()A.m?n,m//?,n//?B.m⊥n,?∩?=m,n??C.m//n,n??,m??D.m//n,m??,n??4、平面?与平面?平行的条件可以是（）A.?内有无穷多条直线与?平行；B.直线a//?,a//?C.直线a??,直线b??,且a//?,b//?D.?内的任何直线都与?平行5、设m、n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m??，n//?，则m?n②若?//?，?//?，m??，则m??③若m//?，n//?，则m//n④若???，???，则?//?其中正确命题的序号是()A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④6.点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O,若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心7.若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若?//?,l??,n??，则l//nB．若???,l??，则l??C.若l??,l//?，则???D．若l?n,m?n，则l//m8.已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（）①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.A.3B.2C.1D.09．（xx浙江卷）设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,A．若m∥α,n∥α,则m∥nB．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β）（10．（xx广东卷）设l为直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是A．若l//?,l//?,则?//?C．若l??,l//?,则?//?B．若l??,l??,则?//?D．若???,l//?,则l??（）二、填空题11、在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B—B1EF的体积为12．对于空间四边形ABCD，给出下列四个命题：①若AB=AC，BD=CD则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC则BC⊥AD；其中真命题序号是．13.已知直线b//平面?，平面?//平面?，则直线b与?的位置关系P为.14.如图，△ABC是直角三角形，?ACB=90?，PA?平面ABC，此图形A中有个直角三角形三、解答题15.如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求证：AB⊥BCPAF16.如图，ABCD和ABEF都是正方形，M?AC，且，N?FBAM?FN。求证：MN//平面BCE。17.如图，P为?ABC所在平面外一点，PA?平面ABC，FECP?ABC?90?，AE?PB于E，AF?PC于F求证：（1）BC?平面PAB；（2）平面AEF?平面PBC；（3）PC?EF．AECB18、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO?底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC?平面BDE.19、如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，点P为DD1的中点。求证：（1）直线BD1∥平面PAC；（2）平面PAC?平面BDD1；（3）直线PB1?平面PAC.20．如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中AC=3，AB=5，CB?4,AA1?4,点D是AB的中点.（Ⅰ）求证：AC?BC1（Ⅱ）求证：AC1//平面CDB1；（Ⅲ）求三棱锥A1—B1CD的体积.CC1D1B1A1PDBA21．如图，在几何体ABCDE中，AB=AD=2，AB丄AD,AE丄平面ABD,M为线段BD的中点，（I）求证:平面BCD丄平面CDE；（II）若N为线段DE的中点,求证:平面AMN//平面BEC．22．（xx年北京卷）如图,在四棱锥P?ABCD中AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面ABCD,PA?AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA?底面