初中中考数学函数专题专题28二次函数中的三角形问题含答案及解析

试卷第=page11页，总=sectionpages33页专题28二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。要点补充：专项训练一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）试卷第=page11页，总=sectionpages33页A． B．C． D．2.定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线：经过点一组抛物线的顶点，，，…（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，，，…（为正整数）．若，当为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A．或 B．或 C．或 D．3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16 B．15 C．14 D．134．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果试卷第=page11页，总=sectionpages33页抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB=3，且点A，B，C的横坐标xA，xB，xC满足xA＜xC＜xB，那么符合上述条件的抛物线条数是（）A．7 B．8 C．14 D．165．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.26．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A． B．试卷第=page11页，总=sectionpages33页C． D．7．如图，正三角形和正三角形的边，在同一条直线上，将向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为，，．两个三角形重合部分的面积为，现有一个正方形的面积为，已知，则S关于的函数图像大致为（） B．C． D．8．以下说法正确的是（）A．三角形的外心到三角形三边的距离相等B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形C．分式方程的解为x＝2D．将抛物线y＝2x2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2x2－39．二次函数的图象与x轴有两个交点和，下列说法：①该函数图象过点；②当时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是；③若该函数的图象开口向下，则m的取值范围为；④当，且时，y的最大值为．正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④10．以下四个命题：①如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；②在实数-7.5，，4，，-π，()2中，有4个有理数，2个无理数；试卷第=page11页，总=sectionpages33页③有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为；④二次函数，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1，y2，若|x1-1|>|x2-1|，则a(y1-y2)>0．其中正确的命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．定义[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则，正确的结论是________．（填写序号）12．如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有____个．13．如图，直线l：经过点M(0，)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是__．试卷第=page11页，总=sectionpages33页14．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标______．

15．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．三、解答题16．如图，二次函数与轴交于两点，点在点左边，与轴交于点，点与点关于轴对称，为轴上一动点，试卷第=page11页，总=sectionpages33页（1）直接写出的面积=______；（2）若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）若点在线段上运动，延长交于点，过作//轴交抛物线于点，点在运动过程中，直接写出能够使面积的值为整数的点的个数______．17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F，交二次函数的图象于点E．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线对称，求点N的坐标．18．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；试卷第=page11页，总=sectionpages33页（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．19．抛物线顶点为点，与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点．（1）求和的值；（2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形中有两个内角的和等于？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点作轴的垂线，交于点，判断是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标．试卷第=page11页，总=sectionpages33页21．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在和中，若，且，则和是余等三角形．（1）如图2，等腰直角，其中，，点是上任意一点（不与点、重合），则图中______和______是余等三角形，并求证：．（2）如图3，四边形是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且，①求证：和是余等三角形．②图4，连结交于点，连结，为上一点，连结并延长交于点，若，，设，，求关于的函数关系式．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．（1）求该抛物线与直线AC的解析式；（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

23．已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（，0），C（0，4），点为二次函数第二象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆⊙M与交于点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher

（1）求这个二次函数的关系式；（2）当三角形周长最大时．求此时点点坐标及三角形的周长；（3）在（2）的条件下，点N为⊙M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围．

专题28二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。要点补充：专项训练一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA． B．C． D．【答案】A【分析】设三角形运动速度为1，根据勾股定理可求出等腰直角三角形的斜边长为，分0≤t≤时，＜t≤时，＜t≤2时，2＜t≤2+时，2+＜t≤2+时五种情况，可知等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，分别求出函数关系式，即可得出答案．【详解】∵等腰直角三角形的直角边长为1，∴等腰直角三角形的斜边长为=，当0≤t≤时，s＝×1×1+2×2﹣＝﹣t2；当＜t≤时，s＝22-+2×(-t)2=t2﹣2t+；当＜t≤2时，s＝×1×1＝；当2＜t≤2+时，s＝22-2×(t-2)2=t2﹣4t+；当2+＜t≤2+时，s＝22+-2×（﹣t+2）2=﹣（﹣t+2）2，∴等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，且变小、变大时的图象为抛物线，不变时的图象为直线，∴A符合要求，故选：A．【点睛】考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher2.定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线：经过点一组抛物线的顶点，，，…（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，，，…（为正整数）．若，当为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．或 B．或 C．或 D．【答案】B【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物线与x轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得d的值【详解】解：直线l：经过点M（0，）则b=，∴直线l：由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半∵0＜d＜1∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）∵当x=1时，＜1；当x=2时，＜1；当x=3时，＞1；∴美丽抛物线的顶点只有①若为顶点，由，则，②若为顶点，由，则综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．故选B．【点睛】此题主要考查抛物线与x轴的交点，抛物线的对称性．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16 B．15 C．14 D．13【答案】C【详解】根据在OB上的两个交点之间的距离为，根据勾股定理可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，∴一共有7条抛物线．同理可得开口向上的抛物线也有7条．∴满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．4．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB=3，且点A，B，C的横坐标xA，xB，xC满足xA＜xC＜xB，那么符合上述条件的抛物线条数是（）A．7 B．8 C．14 D．16【答案】C【分析】根据在OB上的两个交点之间的距离为3，可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解．【详解】解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，所以，一共有7条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有7条，所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了网格结构的知识与二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，作出更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher图形更形象直观．5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2【答案】A【分析】设AA′=x，先证△AA'E∽△ADC，利用相似的性质用含x代数式表示出A′E，再根据阴影部分为平行四边形利用面积建立二次函数解析式，通过最值即可得出答案．【详解】解：如图所示，设AA′=x，则DA′=2-x，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=2，∵EA′∥CD，∴△AA'E∽△ADC，∴，即，∴A′E=x，∵EA′∥CD，CA′∥CA，∴阴影部分为平行四边形，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴阴影部分的面积：S=EA′·DA′=，即当，阴影部分的面积最大为，∴当平移的距离AA′=1时，两个三角形重叠部分的面积最大.故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质、平移的性质、相似的判定及性质、二次函数的最值.根据相似的性质得出比例线段，并利用面积建立二次函数是解题的关键.6．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y==；②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，y==；③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选B．考点：动点问题的函数图象；动点型；分类讨论．7．如图，正三角形和正三角形的边，在同一条直线上，将向右平移，直到点与更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher点重合为止，设点平移的距离为，，．两个三角形重合部分的面积为，现有一个正方形的面积为，已知，则S关于的函数图像大致为（） B．C． D．【答案】A【分析】分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．【详解】解：∵，∴，①当0≤x≤2时，则两个三角形重合部分为边长x的正三角形，则：，故，为二次函数，图象开口向上，当x=2时，S=2；②当2＜x＜4时，两个三角形重合部分为边长为2的正三角形，故S=2；③当4≤x≤6时，同理可得：，图象开口向上，当x=4时，S=2；当x=6时，S=0；故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分类求出函数表达式，是解决本题的关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher8．以下说法正确的是（）A．三角形的外心到三角形三边的距离相等B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形C．分式方程的解为x＝2D．将抛物线y＝2x2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2x2－3【答案】B【分析】利用三角形的外心的性质、中点四边形、解分式方程以及抛物线的平移规律分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A说法错误，不符合题意；B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，故选项B说法正确，符合题意；C、去分母得，解这个整式方程得，x＝2经检验，x＝2是原方程的增根，∴原方程无解，故选项C说法错误，不符合题意；D、将抛物线y=2x2-2向右平移1个单位后得到的抛物线是y=2（x-1）2-2，故选项D说法错误，不符合题意；；故选：B．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，三角形的外心的性质、中点四边形、解分式方程及抛物线的平移等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．二次函数的图象与x轴有两个交点和，下列说法：①该函数图象过点；②当时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是；③若该函数的图象开口向下，则m的取值范围为；④当，且时，y的最大值为．正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①当x=1时，y=（m+1）x2-2mx+m-2=-1，正确；②当m=0时，y=x²-2，与x轴的交点为，则，与y轴的交点y值为：y=-2，∴，故②正确；③该函数图象开口向下，且与x轴有两个交点，故m+1＜0，△=（-2m）2-4（m+1）（m-2）＞0，解得：-2＜m＜-1，故③正确；④函数的对称轴为，当m>0时，，故函数在x=-2时，取得最大值，当x=-2时，y=(m+1)x²-2mx+m-2=9m+2，故④正确．故选D．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10．以下四个命题：①如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；②在实数-7.5，，4，，-π，()2中，有4个有理数，2个无理数；③有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为；④二次函数，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1，y2，若|x1-1|>|x2-1|，则a(y1-y2)>0．其中正确的命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据三角形的三个内角的度数比是3：4：5，分别求出这三个角，即可判断．②根据有理数和无理数的定义即可判断．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher③设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，根据题意可推出R:r=2:1，即可求出，得出结论，从而求出R=，即可判断．④该二次函数的对称轴为直线x=1，分情况讨论当a<0时和a>0时，y1和y2的大小，即可判断a(y1-y2)是否大于0．【详解】①如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，则这个三角形的三个角分别为、、，所以这个三角形不是直角三角形，故原命题是假命题；②在实数-7.5，，4，，-π，=2中，-7.5，，4，=2为有理数共4个，，-π为无理数共2个，故原命题是真命题；③设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，根据题意得，则R:r=2:1．由得．因为，即，则R=(负值舍去)，即它的母线长是，故原命题是真命题；④二次函数图象的对称轴是直线x=1，若a<0时，如图：∵|x1-1|>|x2-1|，∴y1<y2，∴y1-y2<0，∴a(y1-y2)>0．当a>0时，同理可证a(y1-y2)>0，故原命题是真命题．综上所述，正确的命题的个数为3个．故选C．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查了命题与定理．掌握三角形内角和定理，有理数和无理数的定义，弧长的计算，勾股定理以及二次函数图象的性质是解答本题的关键．二、填空题11．定义[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则，正确的结论是________．（填写序号）【答案】①②④【分析】根据函数特征数确定二次函数解析式为，当m≠0时，把=1代入函数，求得可判断①，当m＞0时，,求出作差可判断②；当m＜0时，，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，对称轴为可判断③；当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，根据两交点关于对称轴对称构造方程，解得，可判断④．【详解】解：由题意得：二次函数解析式为当m≠0时，=1，∴点(1，0)一定在函数的图象上；故①正确；当m＞0时，,因式分解得解得函数图象截x轴所得的线段长度=1+故②正确；当m＜0时，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher对称轴为函数在时，可能x在对称轴左侧，y随x的增大而增大；故③不正确；④当m＞0，抛物线顶点的纵坐标为，由②知抛物线与x轴的两个交点坐标为解得，∴两交点的距离为∵抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，列方程得解得，∵m＞0，则，经检验符合题意，是原方程的根，故④正确；∴正确的结论是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查抛物线的特征数，利用特征数研究抛物线的性质过定点，交点间弦长，增减性，等腰直角三角形性质等知识，掌握以上知识，灵活应用数形结合的思想是解题关键．12．如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有____个．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】4【分析】此题应分四种情况考虑：①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y=x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标．③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH，由此求得点A的坐标；④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH，由此求得点A的坐标；【详解】解：①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；由于∠AOH=30°，设A坐标为（a，b），在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°==，设直线OA的方程为y=kx，把A的坐标代入得k==，∴直线OA的解析式：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得，；∴A（，）；②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得，；∴P（，3），即可得A（3，）；③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得，；∴P（，3），∴OP=2，QP=2，∴OH=OP=2，AH=QP=2，∴A（2，2）；④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；此时直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得，；∴P（，），∴QP=，OP=，∴OH=QP=，AH=OP=，∴A（，）．综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（，），（3，），（，2），（，）．故答案为：4．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法；由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用．13．如图，直线l：经过点M(0，)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是__．【答案】或【分析】先求出A1、A2、B1、B2…的坐标，若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，求出d的值；同理：若B2为直角顶点，求出d的值；若B3为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．【详解】解：直线l：，当x＝1时，y＝，即：B1（1，），当x＝2时，y＝，即：B2（2，），∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，即：1﹣d＝，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得：d＝；同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，即：2﹣（2﹣d）＝，解得：d＝；若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；所以d的值是或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨．14．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标______．

【答案】或或【分析】利用勾股定理求得的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断，再分在轴和轴两种情况讨论，舍出的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【详解】解：过点作轴于点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher

在中，，，，在中，，，，，，为直角三角形．①利用的三边，，又，故当是原点时，；②当是直角边时，若与是对应边，设的坐标是，则，，即，解得：，则的坐标是，三角形不是直角三角形，则不成立；③当是直角边，若与是对应边时，设的坐标是，则，则，即，解得：，故是时，则一定成立；④当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．则，当与是对应边时，，即，解得：，此时，两个三角形不相似；⑤当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher则，当与是对应边时，，即，解得：，符合条件．总之，符合条件的点的坐标为：或或．故答案为：或或．【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点以及勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．15．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．【答案】4【分析】设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PM=，根据三角形面积公式可得面积关于OQ的二次函数，配方后即可求解．【详解】解：设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图，∵∴更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∵∴函数图象开口向下，有最大值，为4，故当OP=4时，花坛的面积最大．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，利用面积法求出二次函数关系式是解答此题的关键．三、解答题16．如图，二次函数与轴交于两点，点在点左边，与轴交于点，点与点关于轴对称，为轴上一动点，（1）直接写出的面积=______；（2）若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）若点在线段上运动，延长交于点，过作//轴交抛物线于点，点在运动过程中，直接写出能够使面积的值为整数的点的个数______．【答案】（1）3；（2）(0，1)，(0，-6)；（3）6【分析】（1）先求出A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，即可求解；（2）分两种情况：①若，②若，分别列出比例式，进而即可求解；（3）设M(a，3-a)，则N(a，)，根据待定系数法得，直线MD的解析式为：y=x+更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，从而得P(0，)，进而得，进而即可得到答案．【详解】解：（1）∵二次函数与轴交于两点，与轴交于点，∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∴的面积=，故答案是：3；（2）∵OC=OB=3，∠COB=90°，∴∠ABC=45°，BC=，∵点与点关于轴对称，∴D(-3，0)，同理：∠DCO=45°，CD=，①若，设P(0，a)，则CP=3-a，∴，即：，解得：a=1，∴P(0，1)，②若，，即：，解得：a=-6，∴P(0，-6)，综上所述：P的坐标为：(0，1)，(0，-6)；（3）∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为：y=-x+3，∴设M(a，3-a)，则N(a，)，设直线MD的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线MD的解析式为：y=x+，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴P(0，)，∴=，∵要使面积的值为整数，∴的值为或或，∵0≤≤3，∴0≤a≤3，∴当=时，解得：a=1或2，符合题意；当=时，解得：a=或，符合题意；当=时，解得：a=或，符合题意；∴能够使面积的值为整数的点的个数有6个，故答案是：6．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F，交二次函数的图象于点E．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线对称，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系数法即可求解；（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F为顶点的三角形与相似时，或，设F(m，-m+3)，则E(m，)，根据比例式列出方程，即可求解；（3）先推出四边形NCFE是平行四边形，再推出FE=FC，列出关于m的方程，求出m的值，从而得CN=EF=，进而即可得到答案．【详解】解：（1）∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴B(3，0)，C(0，3)，∵二次函数的图象过B、C两点，∴，解得：，∴二次函数解析式为：；（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y轴，∴OB=OC，∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴以C、E、F为顶点的三角形与相似时，或，设F(m，-m+3)，则E(m，)，∴EF=-(-m+3)=，CF=，∴或，∴或（舍去）或或（舍去），∴EF==或；（3）∵l∥y轴，点N是y轴上的点，∴∠EFC=∠NCG，∵点N、F关于直线对称，∴∠CNE=∠EFC，∴∠CNE=∠NCG，∴NE∥FC，∴四边形NCFE是平行四边形，∵点N、F关于直线对称，∴∠NCE=∠FCE，∵l∥y轴，∴∠NCE=∠FEC，∴∠FCE=∠FEC，∴FE=FC，∴=，解得：或（舍去），∴CN=EF=，∴ON=+3=，∴N(0，)．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，相似三角形的判定，掌握函数图像上点的坐标特征，用点的横坐标表示出相关线段的长，是解题的关键．18．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）M（，0）；（3）存在，点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）【分析】（1）利用待定系数法直接得出结论；（2）先判断出|BM﹣CM|最小时，BM＝CM，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出∠ACB＝∠BHN＝90°，分两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）针对于y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则0＝﹣x+2，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴x＝4，∴B（4，0），∵点C在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+2，∵点B（4，0）在抛物线上，∴﹣8+4b+2＝0，∴b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵|BM﹣CM|最小，∴|BM﹣CM|＝0，∴BM＝CM，∴BM2＝CM2，设M（，m），∵B（4，0），C（0，2），∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2，∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2，∴m＝0，∴M（，0）；（3）存在，理由：由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，令y＝0，则0＝﹣x2+x+2，∴x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（4，0），C（0，2），∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴CB2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵NH⊥x轴，∴∠BHN＝90°＝∠ACB，设N（n，﹣n2+n+2），∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|，∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△BHN∽△ACB，∴，∴＝，∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍），∴N（﹣5，﹣18）或（3，2），②△BHN∽△BCA，∴，∴＝，∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2，∴N（0，2）或（﹣2，﹣3），即满足条件的点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质、相似三角形的性质，运用数形结合与分类讨论的方法是解题的关键．19．抛物线顶点为点，与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求和的值；（2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形中有两个内角的和等于？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1），；（2）P（1，2）或（1，-6）【分析】（1）根据顶点点，利用待定系数法得出a、b的值；（2）根据三角形的内角和定理分∠DPB=135°，∠DBP=135°，∠BDP=135°三种情况讨论即可；【详解】解：（1）∵抛物线顶点为点，∴，解得：；（2）由（1）得抛物线的解析式为：，当y=0时，；∴，∴A（-1，0）和B（3，0），∵，∴∵以、、为顶点的三角形中有两个内角的和等于∴以P，D，B为顶点的三角形必有一个135°的钝角，①当∠DPB=135°时，则∠MPB=45°，∵∠PMB=90°，∴△MPB为等腰直角三角形，∠MBP=45°，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴MP=BM=3-1=2，∴P（1，2）；②当∠DBP=135°时，∵∠MBP=45°，∴∠DBP+∠MBP2=90°，∵∠MP2B+∠MBP2=90°，∴∠MP2B=∠DBP∴△PDB∽△BDP2，∴∴∴∴∴∴P2（1，-6）；③当∠BDP=135°时，则∠MDB=45°，∵∠DMB=90°，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴△DMB为等腰直角三角形，∴DM=BM，而DM=4，BM=2∴此种情况不存在∴P（1，2）或（1，-6）【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是会利用特殊角45°构造特殊形状的三角形．20．如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点作轴的垂线，交于点，判断是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或；（3）面积的最大值是8，点的坐标是．【分析】（1）运用待定系数法直接求解即可；（2）分两种情况讨论：①时，列方程求解即可；②，过点作轴，垂足为，证明即可得解；（3）根据对称性求出点C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，设点，，求出PN的长，运用面积法得到n的二次函数关系式，配方求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线经过点，，∴把点，代入解析式得：解得，所以，二次函数的解析式为：（2）设∵△BPQ是直角三角形，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴分两种情况讨论：①当时，则有轴，如图①∴点P的纵坐标为2∴解得：，（舍）或，∴．②当时，过点作轴，垂足为，如图②，则∠PBM+∠BPM=90︒，PM=m，BM=∵∠PBQ=90︒∴∠PBM+∠OBA=90︒更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∠OBA=∠BPM∴，∴即，解得：（舍）或∴，综上所述，当以为顶点的三角形是直角三角形时，点的坐标为或（3）设的延长线交与点∵，点与点关于轴对称，∴设直线的表达式为：，把A，代入得：解得，∴直线的表达式为：设点，则，∴更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∵，有最大值，且，∴当时，的面积最大，最大面积是8．此时，．综上所述，面积的最大值是8，点的坐标是．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，利用面积公式得出二次函数是解（3）的关键．21．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在和中，若，且，则和是余等三角形．（1）如图2，等腰直角，其中，，点是上任意一点（不与点、重合），则图中______和______是余等三角形，并求证：．（2）如图3，四边形是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且，①求证：和是余等三角形．②图4，连结交于点，连结，为上一点，连结并延长交于点，若，，设，，求关于的函数关系式．【答案】（1）和是余等三角形，见解析；（2）①见解析，②【分析】【详解】（1）∵为等腰直角三角形，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，，，∴和是余等三角形，作交于点，设，，则，∴，∴，∴；（2）①连结并延长交于点，连结、，在中，，根据已知，可得：，所以，又∵，，∴，∴，由，可得，同理可得，，∴和是余等三角形．②连结，，作于点，于点，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher由①得，而，∴，即，∵，∴为等腰直角三角形，易得，∵，∴，∴，，∴在和中，，∴()，设，，则，，在中，，化简得，在中，，化简得，∴，∴可以表示为：∴．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定，勾股定理，二次函数，新定义等知识点，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识点解答．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．（1）求该抛物线与直线AC的解析式；（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△