2024-2025学年高中数学3.1习题课1习题含解析北师大版选修2-1

习题课(1)限时：45分钟总分：100分一、选择题(每小题5分，共40分)1．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满意(C)A．a2>b2 B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．0<a<b D．0<b<a解析：由ax2＋by2＝1，得eq\f(x2,\f(1,a))＋eq\f(y2,\f(1,b))＝1，因为焦点在x轴上，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0，所以0<a<b.2．已知方程eq\f(x2,|m|－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(D)A．m<2 B．1<m<2C．m<－1或1<m<2 D．m<－1或1<m<eq\f(3,2)解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m|－1>0，,2－m>0，,2－m>|m|－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1或m<－1，,m<2，,m<\f(3,2)，))∴1<m<eq\f(3,2)或m<－1，选D.3．焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为eq\f(3,5)的椭圆的标准方程是(C)A.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1解析：由题意，知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，解得c＝3，a＝5.又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，故选C.4．已知椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝(D)A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．4 D．8解析：由题可得a＝2.如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，BF1.由椭圆的对称性，可知四边形AFDF1为平行四边形，∴|AF1|＝|DF|.同理可得|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.5．椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．假如线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是(A)A．－eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),4)B．－eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(\r(2),2)或eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(3,4)或eq\f(3,4)解析：由题可得c＝eq\r(a2－b2)＝3，不妨令F1(－3,0)，∵PF1的中点在y轴上，∴设P(3，y0)，由点P在椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1上，得y0＝±eq\f(\r(3),2)，∴点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3),4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),4)))，故选A.6．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(C)A．3个B．4个C．6个D．8个解析：当∠PF1F2为直角时，依据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．7．从椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(C)A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－eq\f(y0,c)，kAB＝－eq\f(b,a)，由于OP∥AB，∴－eq\f(y0,c)＝－eq\f(b,a)，y0＝eq\f(bc,a)，把P(－c，eq\f(bc,a))代入椭圆方程得eq\f(－c2,a2)＋eq\f(\f(bc,a)2,b2)＝1，∴(eq\f(c,a))2＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).选C.8．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是(D)A．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))B．(eq\f(1,2)，1)C．(eq\f(2,3)，1)D．(eq\f(1,3)，eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2)，1)解析：6个不同的点有2个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称，左右对称．不妨设P在第一象限，|PF1|>|PF2|，当|PF1|＝|F1F2|＝2c时，|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2c，即2c>2a－2c，解得e＝eq\f(c,a)>eq\f(1,2).因为e<1，所以eq\f(1,2)<e<1.当|PF2|＝|F1F2|＝2c时，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c，即2a－2c>2c，且2c＋2c>2a－2c，解得eq\f(1,3)<e<eq\f(1,2).综上可得eq\f(1,3)<e<eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<e<1，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知椭圆的焦点在y轴上，椭圆上随意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2eq\r(15)，则此椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋x2＝1.解析：由题意，2a＝8,2c＝2eq\r(15)，∴a＝4，c＝eq\r(15)，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋x2＝1.10．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq\o(PF1,\s\up10(→))⊥eq\o(PF2,\s\up10(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝3.解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PF1||PF2|＝9，,|PF1|2＋|PF2|2＝2c2，,|PF1|＋|PF2|＝2a，))解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3.11．已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|AF2|＋|BF2|＝12，则|AB|＝8.解析：由题意，知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a.又由a＝5，可得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，即|AB|＝8.12．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是(eq\f(\r(2),2)，1)．解析：设P(x，y)，由∠APO＝90°知P点在以OA为直径的圆上．圆的方程是(x－eq\f(a,2))2＋y2＝(eq\f(a,2))2，∴y2＝ax－x2.①又P点在椭圆上，故eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.②把①代入②得eq\f(x2,a2)＋eq\f(ax－x2,b2)＝1，∴(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0.故(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0.又x≠a，x≠0，∴x＝eq\f(ab2,a2－b2).又0<x<a，∴0<eq\f(ab2,a2－b2)<a，∴2b2<a2，∴a2<2c2.∴e>eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，故所求的椭圆离心率的取值范围是(eq\f(\r(2),2)，1)．三、解答题(共40分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤)13．(12分)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1，由m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(mm＋2,m＋3)>0，可知m>eq\f(m,m＋3)，所以a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(mm＋2,m＋3))，由e＝eq\f(\r(3),2)，得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝1.于是椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，则a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).所以椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为(－eq\f(\r(3),2)，0)，(eq\f(\r(3),2)，0)；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，(0，－eq\f(1,2))，(0，eq\f(1,2))．14．(13分)已知△ABC的顶点B，C的坐标分别为(－3,0)，(3,0)，AB和AC边上的中线分别为CF，BE，且交于点G，并且|GF|＋|GE|＝5.(1)求点G的轨迹方程；(2)在点G的轨迹上求点P，使△PBC的面积最大．解：(1)设G(x，y)．由题意，知点G是△ABC的重心，因此|GB|＋|GC|＝2|GE|＋2|GF|＝10.由椭圆的定义，知点G的轨迹是以B，C为焦点，以10为长轴长的椭圆(x轴上的顶点除外)．于是2a＝10，c＝3，得a＝5，b＝4.则点G的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(x≠±5)．(2)设点P(x1，y1)，x1≠±5，则eq\f(x\o\al(2,1),25)＋eq\f(y\o\al(2,1),16)＝1⇒0<yeq\o\al(2,1)≤16⇒0<|y1|≤4.结合图形可知S△PBC＝eq\f(1,2)|BC|·|y1|＝3|y1|≤3×4＝12，当且仅当y1＝±4时等号成立．当y1＝±4时，由eq\f(x\o\al(2,1),25)＋eq\f(y\o\al(2,1),16)＝1得x1＝0，即当点P的坐标为(0,4)或(0，－4)时，△PBC的面积最大．15．(15分)已知点A，B分别是椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．解：(1)由已知，可得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则eq\o(AP,\s\up10(→))＝(x＋6，y)，eq\o(FP,\s\up10(→))＝(x－4，y)．由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋6x－4＋y2＝0，))则2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－6.由于y>0，只能取x＝eq\f(3,2)，于是y＝eq\f(5\r(3),2).所以点P的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5\r(3),2