山东专用2025版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第三讲第1课时三角函数公式的基本应用学案含解析

PAGE12-第三讲两角和与差的三角函数二倍角公式第一课时三角函数公式的基本应用ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式学问点二二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝__2sinαcosα__；(2)cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；(3)tan2α＝__eq\f(2tanα,1－tan2α)__(α≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)且α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．学问点三半角公式(不要求记忆)(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝tan(eq\f(π,4)－α)；eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝tan(eq\f(π,4)＋α)cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，1±sin2α＝(sinα±cosα)2.4．协助角(“二合一”)公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中cosφ＝__eq\f(a,\r(a2＋b2))__，sinφ＝__eq\f(b,\r(a2＋b2))__.eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)下列命题不正确的是(CD)A．存在实数α，β使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立B．在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定C．y＝3sinx＋4cosx的最大值是7D．公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对随意角α，β都成立[解析]依据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知C、D是错误的，A、B是正确的．题组二走进教材2．(必修4P131T5改编)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝eq\f(1,2).故选A．另解：原式＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝eq\f(1,2).故选A．3．(必修4P135T5改编)cos2eq\f(π,8)－sin2eq\f(π,8)＝(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(2),2)[解析]cos2eq\f(π,8)－sin2eq\f(π,8)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).4．(必修4P146AA．－1 B．0C．1 D．2[解析]原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.故选D．题组三考题再现5．(2024·课标Ⅲ，4)若sinα＝eq\f(1,3)，则cos2α＝(B)A．eq\f(8,9) B．eq\f(7,9)C．－eq\f(7,9) D．－eq\f(8,9)[解析]本题考查三角恒等变换．因为sinα＝eq\f(1,3)，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(eq\f(1,3))2＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).故选B．6．(2024·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，eq\f(π,2))，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2\r(5),5)[解析]由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈(0，eq\f(π,2))，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)，所以2sinαeq\r(1－sin2α)＝1－sin2α，解得sinα＝eq\f(\r(5),5)，故选B．7．(2024·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(3π,2))－3cosx的最小值为__－4__.[解析]f(x)＝sin(2x＋eq\f(3π,2))－3cosx＝－cos2x－3cosx＝1－2cos2x－3cosx＝－2(cosx＋eq\f(3,4))2＋eq\f(17,8)，因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－4.KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一三角函数公式的干脆应用——自主练透例1(1)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sin(α＋eq\f(π,4))＝(C)A．－eq\f(\r(2),10) B．eq\f(\r(2),10)C．－eq\f(7\r(2),10) D．eq\f(7\r(2),10)(2)已知sinα＝eq\f(3,5)，a∈(eq\f(π,2)，π)，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)的值为(A)A．－eq\f(2,11) B．eq\f(2,11)C．eq\f(11,2) D．－eq\f(11,2)(3)(2024·届甘肃兰州一中高三上期中)若cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(3,5)，则sin2α＝(D)A．eq\f(7,25) B．eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5) D．－eq\f(7,25)(4)(2024·吉林百校联盟9月联考)已知tanB＝2tanA，且cosAsinB＝eq\f(4,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－B－\f(3π,2)))＝(D)A．－eq\f(4,5) B．eq\f(4,5)C．－eq\f(2,5) D．eq\f(2,5)[解析](1)因为cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(3,5)，所以sin(α＋eq\f(π,4))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝(－eq\f(3,5))×eq\f(\r(2),2)＋(－eq\f(4,5))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).(2)cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)，tanβ＝－eq\f(1,2)，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαsinβ)＝－eq\f(2,11).(3)由三角函数的诱导公式得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝sin2α，所以sin2α＝cos(eq\f(π,2)－2α)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\f(π,4)－α))，由二倍角公式可得sin2α＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\f(π,4)－α))＝2cos2(eq\f(π,4)－α)－1＝2×(eq\f(3,5))2－1＝eq\f(18,25)－eq\f(25,25)＝－eq\f(7,25).故选D．(4)由tanB＝2tanA，可得cosAsinB＝2sinAcosB.又cosAsinB＝eq\f(4,5)，∴sinAcosB＝eq\f(2,5)，则cos(A－B－eq\f(3π,2))＝－sin(A－B)＝－sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(2,5).故选D．名师点拨☞(1)运用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)运用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．考点二三角函数公式的逆用与变形用——多维探究角度1公式的逆用例2(1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC＝__eq\f(\r(2),2)__.(2)coseq\f(π,9)coseq\f(2π,9)coseq\f(3π,9)coseq\f(4π,9)＝__eq\f(1,16)__.(3)(2024·四省八校双教研联盟联考)f(x)＝eq\f(sin2x,1－2sin2\f(x,2)－\f(π,4))·(1＋eq\r(3)tanx)的最小正周期为__T＝2π__.[解析](1)tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(tanAtanB－1,1－tanAtanB)＝－1，∴tanC＝1，又C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4)，∴cosC＝eq\f(\r(2),2).(2)解法一：coseq\f(π,9)coseq\f(2π,9)coseq\f(3π,9)coseq\f(4π,9)＝eq\f(1,2)coseq\f(π,9)coseq\f(2π,9)coseq\f(4π,9)＝eq\f(1,2)·eq\f(8sin\f(π,9)cos\f(π,9)cos\f(2π,9)cos\f(4π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,2)·eq\f(4sin\f(2π,9)cos\f(2π,9)cos\f(4π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,2)·eq\f(2sin\f(4π,9)cos\f(4π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,2)·eq\f(sin\f(8π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,2)·eq\f(sinπ－\f(π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,2)·eq\f(sin\f(π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,16).解法二：由sin2α＝2sinαcosα，得cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，∴原式＝eq\f(sin\f(2π,9),2sin\f(π,9))·eq\f(sin\f(4π,9),2sin\f(2π,9))·eq\f(1,2)·eq\f(sin\f(8π,9),2sin\f(4π,9))＝eq\f(1,16).(3)f(x)＝eq\f(sin2x,1－2sin2\f(x,2)－\f(π,4))·(1＋eq\r(3)tanx)＝eq\f(sin2x,cosx－\f(π,2))×(1＋eq\r(3)×eq\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosx,sinx)×eq\f(cosx＋\r(3)sinx,cosx)＝2(cosx＋eq\r(3)sinx)＝4sin(x＋eq\f(π,6))，则最小正周期T＝2π.角度2公式的变形应用例3(1)(2024·天津耀华中学模拟)已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，则eqlog\s\do8(eq\r(5))(eq\f(tanα,tanβ))2＝(B)A．5 B．4C．3 D．2(2)(2024·陕西吴起高级中学模拟)已知sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2(α＋eq\f(π,4))＝(A)A．eq\f(1,6) B．－eq\f(1,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析](1)∵sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,2)，sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,3)，∴sinαcosβ＝eq\f(5,12)，cosαsinβ＝eq\f(1,12)，∴eq\f(tanα,tanβ)＝5，∴eqlog\s\do8(eq\r(5))(eq\f(tanα,tanβ))2＝eqlog\s\do8(eq\r(5))52＝4，故选B．(2)∵sin2α＝eq\f(2,3)，∴cos2(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋cos2α＋\f(π,4),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1－\f(2,3),2)＝eq\f(1,6)，故选A．名师点拨☞(1)留意三角函数公式逆用和变形用的2个问题①公式逆用时肯定要留意公式成立的条件和角之间的关系．②留意特别角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，肯定要考虑引入特别角，把“值变角”构造适合公式的形式．(2)熟记三角函数公式的2类变式①和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)．②倍角公式变形：降幂公式cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，配方变形：1±sinα＝(sineq\f(α,2)±coseq\f(α,2))2,1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).〔变式训练1〕(1)(多选题)(角度1)(2024·河北武邑中学调研)下列式子的运算结果为eq\r(3)的是(ABC)A．tan25°＋tan35°＋eq\r(3)tan25°tan35°B．2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)C．eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)D．eq\f(tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))(2)(角度2)(2024·课标Ⅱ，15)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝__－eq\f(1,2)__.[解析](1)对于A，tan25°＋tan35°＋eq\r(3)tan25°tan35°＝tan(25°＋35°)(1－tan25°tan35°)＋eq\r(3)tan25°tan35°＝eq\r(3)－eq\r(3)tan25°tan35°＋eq\r(3)tan25°tan35°＝eq\r(3).对于B,2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)＝2(sin35°cos25°＋cos35°sin25°)＝2sin60°＝eq\r(3).对于C，eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan60°＝eq\r(3).对于D，eq\f(tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))＝eq\f(1,2)×taneq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).综上，式子的运算结果为eq\r(3)的是ABC．故选A、B、C．(2)本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式．由sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，两式平方相加，得2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，整理得sin(α＋β)＝－eq\f(1,2).利用平方关系：sin2α＋cos2α＝1，进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧，应娴熟驾驭．考点三角的变换与名的变换——师生共研例4(1)(2024·课标全国Ⅱ，15)已知tan(α－eq\f(5π,4))＝eq\f(1,5)，则tanα＝__eq\f(3,2)__.(2)已知α、β∈(0，eq\f(π,2))，且cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，则sinβ＝__eq\f(\r(3),2)__.(3)(2024·课标全国Ⅱ，15)设α为锐角，若cos(α＋eq\f(π,6))＝－eq\f(1,3)，则sin(2α＋eq\f(π,12))的值为(B)A．eq\f(7,25) B．eq\f(7\r(2)－8,18)C．－eq\f(17\r(2),50) D．eq\f(\r(2),5)[解析](1)本题主要考查两角差的正切公式．解法一：tanα＝tan[(α－eq\f(5π,4))＋eq\f(5π,4)]＝eq\f(tanα－\f(5π,4)＋tan\f(5π,4),1－tanα－\f(5π,4)tan\f(5π,4))＝eq\f(3,2).解法二：tan(α－eq\f(5π,4))＝eq\f(tanα－tan\f(5π,4),1＋tanαtan\f(5π,4))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,5)，解得tanα＝eq\f(3,2).(2)因为已知α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(0，eq\f(π,2))，且cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，则sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(5\r(3),14)×eq\f(1,7)－(－eq\f(11,14))×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(\r(3),2).(3)∵α为锐角，∴0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，设β＝α＋eq\f(π,6)，由cos(α＋eq\f(π,6))＝－eq\f(1,3)，得sinβ＝eq\f(2\r(2),3)，sin2β＝2sinβcosβ＝－eq\f(4\r(2),9)，cos2β＝2cos2β－1＝－eq\f(7,9)，∴sin(2α＋eq\f(π,12))＝sin(2α＋eq\f(π,3)－eq\f(π,4))＝sin(2β－eq\f(π,4))＝sin2βcoseq\f(π,4)－cos2βsineq\f(π,4)＝(－eq\f(4\r(2),9))×eq\f(\r(2),2)－(－eq\f(7,9))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2)－8,18).故选B．名师点拨☞(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特别角与特别角、已知角与未知角)，熟识角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(eq\f(π,4)＋α)＋(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(π,2)，eq\f(α,2)＝2×eq\f(α,4)等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，经常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．〔变式训练2〕(1)已知tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(3,4)，则cos2(eq\f(π,4)－α)＝(B)A．eq\f(7,25) B．eq\f(9,25)C．eq\f(16,25) D．eq\f(24,25)(2)(2024·山西康杰中学月考)若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝__eq\f(4,3)__.[解析](1)由tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(3,4)，解得tanα＝－eq\f(1,7)，所以cos2(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(1＋cos\f(π,2)－2α,2)＝eq\f(1＋sin2α,2)＝eq\f(1,2)＋sinαcosα，又sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(7,50)，故eq\f(1,2)＋sinαcosα＝eq\f(9,25).(2)∵eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝3，∴tanα＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－eq\f(tanα－β＋tanα,1－tanα－β·tanα)＝eq\f(4,3).MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升协助角公式的应用应用1求值例5(2024·届安徽江淮十校联考)已知cos(x－eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),3)，则cosx＋cos(x－eq\f(π,3))＝(C)A．－eq\f(2\r(3),3) B．±eq\f(2\r(3),3)C．－1 D．±1[解析]∵cos(x－eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),3)，∴cosx＋cos(x－eq\f(π,3))＝cosx＋cosxcoseq\f(π,3)＋sinxsineq\f(π,3)＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx)＝eq\r(3)cos(x－eq\f(π,6))＝eq\r(3)×(－eq\f(\r(3),3))＝－1.应用2求最值例6(2024·全国Ⅱ)函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为__eq\r(5)__.(2)函数f(x)＝2eq\r(3)sinx·cosx－2sin2x的值域为[－3,1].[分析](1)干脆利用协助角公式化为Asin(ωx＋φ)；(2)高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用协助角公式化为Asin(ωx＋φ)．[解析](1)f(x)＝eq\r(5)(cosx·eq\f(2\r(5),5)＋sinx·eq\f(\r(5),5))＝eq\r(5)sin(x＋φ)(其中cosφ＝eq\f(\r(5),5)，sinφ＝eq\f(2\r(5),5))，明显f(x)的最大值为eq\r(5).(2)f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x－1＝2(eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x)－1＝2sin(2x＋eq\f(π,6))－1.明显f(x)max＝1，f(x)min＝－3.故f(x)的值域为[－3,1]．应用3求单调区间例7函数f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx(x∈[0，π])的单调递减区间为(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))[解析]函数f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z.∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，可得单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，故选B．名师点拨☞用协助角公式变形三角函数式时：(1)遇两角和或差的三角函数，要先绽开再重组；(2)遇高次时，要先降幂；(3)熟记以下常用结论：①sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±eq\f(π,4))；②eq\r(3)sinα±cosα＝2sin(α±eq\f(π,6))；③sinα±eq\r(3)cosα＝2sin(α±eq\f(π,3))．〔变式训练3〕(1)(2024·湖南浏阳一中期中)已知sin(eq\f(π,6)＋α)＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，则cos(eq\f(π,6)－α)＝(C)A．－eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)(2)(2024·全国Ⅲ)函数f(x)＝eq\f(1,5)sin(x＋eq\f(π,3))＋cos(x－eq\f(π,6))的最