3年高考2年模拟2025版新教材高考数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系讲义新人教A版必修第一册

PAGEPAGE10集合间的基本关系课标解读课标要求核心素养1.理解集合之间包含与相等的含义.(重点、难点)2.能识别给定集合的子集.(难点)1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解,培育数学抽象素养.2.通过子集和真子集的求解,培育数学运算素养.草原上,蓝蓝的天上白云飘,白云下面马儿跑.假如草原上的枣红马组成集合A,草原上的全部马组成集合B.问题1:集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的?答案集合A中的元素都是集合B中的元素.问题2:集合A与集合B又存在什么关系?答案集合A包含在集合B中.1.Venn图的优点及其表示(1)优点:形象直观.(2)表示:通常用平面上①封闭曲线的②内部代表集合.2.子集、真子集、集合相等的相关概念思索1:随意两个集合之间是否有包含关系?提示不确定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1},这两个集合之间就没有包含关系.特殊提示符号“∈”与“⊆”的区分:符号“∈”表示元素与集合间的关系,而“⊆”表示集合与集合之间的关系.3.空集(1)定义:不含⑧任何元素的集合叫做空集,记为⑨⌀.(2)规定:空集是任何集合的⑩子集.思索2:{0}与⌀相等吗?提示{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而⌀中不含有任何元素,故{0}≠⌀.4.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.(2)对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C;若A⫋B,B⫋C,则A⫋C.探究一集合间关系的推断例1推断下列各组中集合之间的关系:(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};(2)A={x|x=2k-1,k∈N},B={x|x=2k+1,k∈N},C={x|x=4k+1,k∈N};(3)A={x|-1<x<4},B={x|x<5}.解析(1)若x是12的约数,则x必是36的约数,反之不成立,所以A⫋B.(2)易知集合A={-1,1,3,5,…},集合B={1,3,5,7,…},集合C={1,5,9,…}.所以C⫋B⫋A.(3)易知A中的元素都是B中的元素,但存在B中的元素不属于A,如-2∈B,但-2∉A,故A⫋B.思维突破推断集合间关系的方法(1)视察法:一一列举视察.(2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征推断集合间的关系.(3)数形结合法:利用数轴或Venn图.提示:若A⊆B和A⫋B同时成立,则A⫋B更能精确表达集合A,B之间的关系.1.下列关系中,正确的个数是()①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}⊆{2,1,0};③⌀⊆{0,1,2};④⌀⫋{0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}.A.1 B.2 C.3 D.4答案C对于①,是集合与集合的关系,应为{0}⫋{0,1,2},故①错误;对于②,实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集,故②正确;对于③,空集是任何集合的子集,故③正确;对于④,{0}是含有单元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以⌀⫋{0},故④正确;对于⑤,{0,1}是含有两个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集,所以{0,1}与{(0,1)}不相等,故⑤错误;对于⑥,0与{0}是“属于与否”的关系,所以0∈{0},故⑥错误.故正确的个数为3.探究二求子集、真子集(的个数)例2(1)集合{a,b,c}的全部子集为,其中真子集有个.

(2)写出满意{3,4}⫋P⊆{0,1,2,3,4}的全部集合P.答案(1)⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};7解析(1)集合{a,b,c}的子集:⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中除{a,b,c}外,都是{a,b,c}的真子集,共7个.(2)由题意知,集合P中确定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此全部满意题意的集合P:{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}.思维突破1.求集合子集、真子集个数的3个步骤2.与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素,则(1)A的子集有2n个;(2)A的非空子集有2n-1个;(3)A的真子集有2n-1个;(4)A的非空真子集有2n-2个.2.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的全部子集.解析因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的全部子集:⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.探究三集合间关系的应用例3(易错题)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⫋A,求实数m的取值范围.易错辨析:解答本题易出现的失误为漏掉探讨B=⌀的状况.事实上,当B⫋A时,B可能为空集.解析由题意可知,①当B≠⌀时,如图所示.∴m+1≥-2②当B=⌀时,由m+1>2m-1,得m<2.综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}.易错点拨利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为静集合(详细的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特殊留意端点问题.(2)空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠⌀)的含参数的问题时,要留意探讨A=⌀和A≠⌀两种状况,前者常被忽视,造成思索问题不全面的现象.3.(1)(变条件)若本例中的条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}”,其他条件不变,求m的取值范围;(2)(变条件)若本例中的条件“B⫋A”改为“A⊆B”,其他条件不变,求m的取值范围.解析(1)由题意可知,①当B=⌀时,由m+1>2m-1,得m<2.②当B≠⌀时,如图所示.∴m+1>-综上可得,m的取值范围是{m|m<3}.(2)当A⊆B时,如图所示,此时B≠⌀.∴2m-1>m+11.已知集合A={x|x2-1=0},则有()A.1⊆A B.0⊆A C.⌀⫋A D.{0}⫋A答案C由已知得,A={1,-1},所以选项A,B,D都错误;因为⌀是任何非空集合的真子集,所以C正确.故选C.2.下列四个集合中,是空集的是()A.{0} B.{x|x>8,且x<5}C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4}答案B选项A中有元素0,选项C中有元素1,选项D中含有多数个元素,例如5,而选项B中无元素,故选B.3.集合A={-1,0,1},A的全部子集中,含有元素0的子集共有()A.2个 B.4个 C.6个 D.8个答案B依据题意,在集合A的全部子集中,含有元素0的子集有{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},共4个,故选B.4.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=.

答案4解析∵B⊆A,∴元素3,4必为A中元素,∴m=4.5.已知集合A={x|x-7≥2},B={x|x≥5},试推断集合A,B的关系.解析∵A={x|x-7≥2}={x|x≥9},B={x|x≥5},∴A⫋B.数学抽象——利用分类探讨思想解决集合间的关系已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且B⫋A,求实数m的全部取值组成的集合.素养探究:涉及“B⊆A”或“B⫋A”的问题,确定要分B=⌀和B≠⌀两种状况探讨,不要忽视空集的状况,过程中体现数学运算核心素养.解析由x2-4x+3=0,得x=1或x=3,∴集合A={1,3}.①当B=⌀时,m=0,满意B⫋A.②当B≠⌀时,m≠0,则B={x|mx-3=0}=3m∵B⫋A,∴3m=1或3综上可知,所求实数m的全部取值组成的集合为{0,1,3}.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16}.(1)若A为非空集合,求实数a的取值范围;(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.解析(1)若A≠⌀,则有2a+1≤3a-5,解得a≥6,所以实数a的取值范围是{a|a≥6}.(2)当A⊆B时有如下三种状况:①A=⌀,即3a-5<2a+1,解得a<6;②A≠⌀,且A⊆{x|x<-1},则有3a③A≠⌀,且A⊆{x|x>16},则有2a+1>16综上,a的取值范围是aa1.集合{1,2}的子集有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案A集合{1,2}的子集有⌀,{1},{2},{1,2},共4个.2.下列表述正确的有()①空集没有子集;②任何集合都有至少两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若⌀⫋A,则A≠⌀.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案B⌀⊆⌀,故①错;⌀只有一个子集,即它本身,所以②错;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以③错;④正确,故选B.3.集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,则实数m=()A.2 B.-1 C.2或-1 D.4答案C∵A=B,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,∴m=2或m=-1.4.(多选)给出下列关系式,其中正确的为()A.2∈Q B.{1,2}={(1,2)}C.2∈{1,2} D.⌀⊆{1,2}答案CD2为无理数,故A不正确;{1,2}是以1,2为元素的集合,{(1,2)}是以点(1,2)为元素的集合,故两个集合不相等,所以B不正确;由元素与集合的关系知,C正确;空集是任何集合的子集,故D正确.故选CD.5.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(xA.A⫋B B.B⫋A C.A=B D.A⊆B答案B∵B=(x,y)6.(2024上海光明中学高一期中)已知M={x|x≤15},a=3,则下列关系正确的是()A.a⫋M B.a∉M C.{a}∈M D.{a}⫋M答案D∵3<15,∴a∈M,∴{a}⫋M.故选D.7.集合{(1,2),(-3,4)}的全部非空真子集是.

答案{(1,2)},{(-3,4)}解析{(1,2),(-3,4)}的全部真子集有⌀,{(1,2)},{(-3,4)},非空真子集是{(1,2)},{(-3,4)}.8.设a,b∈R,集合A={1,a},B={x|x(x-a)(x-b)=0},若A=B,则a=,b=.

答案0;1解析解方程x(x-a)(x-b)=0,得x=0或x=a或x=b,若A=B,则a=0,b=1.9.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A⫋B,求a的取值范围;(2)若B⊆A,求a的取值范围.解析(1)若A⫋B,由图可知,a>2.故实数a的取值范围为{a|a>2}.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}.10.集合1,a,ba={0,a2A.0 B.1 C.-1 D.±1答案C∵1,a,b∴ba∴a2=1,∴a=±1.又a≠1,∴a=-1,∴a2019+b2018=-1+0=-1.11.若集合M=xx=k2+14,k∈ZA.M=N B.N⊆MC.M⫋N D.以上均不对答案C因为M=xx=xxN=x=xx又2k+1(k∈Z)为奇数,k+2(k∈Z)为整数,所以M⫋N.12.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为.

答案M=P解析因为xy>0,所以x,y同号,又x+y<0,所以x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点,又因为集合P也表示第三象限内的点,所以M=P.13.已知集合A={x∈R|x2+x=0},则集合A=.若集合B满意{0}⫋B⊆A,则集合B=.

答案{-1,0};{-1,0}解析∵解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,∴集合A={x∈R|x2+x=0}={-1,0}.∵集合B满意{0}⫋B⊆A,∴集合B={-1,0}.14.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⫋A,求实数a的取值范围.解析当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3.当B≠⌀时,依据题意作出如图所示的数