计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式

计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式演示文稿第一页，共四十七页。内容函数逼近的基本概念切比雪夫多项式最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式在函数逼近中的应用利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子第二页，共四十七页。函数逼近的基本概念第三页，共四十七页。§1函数逼近的基本概念第3章函数逼近与曲线拟合一、函数逼近与函数空间实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。BA第四页，共四十七页。第十九页，共四十七页。第十五页，共四十七页。第3章函数逼近与曲线拟合第十七页，共四十七页。第三十八页，共四十七页。f[x0,x1,x2]第三十九页，共四十七页。接近-1和1的地方越密。f[xi,xi+1,xi+2]第十四页，共四十七页。第十五页，共四十七页。第十五页，共四十七页。过这些0点作平行于y轴的直线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆弧的等距的点的集合。三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用第三十四页，共四十七页。定理1具有重要的理论意义；Bernstan多项式收敛到f(x)较慢，不常用。第五页，共四十七页。xyy=L(x)一致逼近的几何意义Home第六页，共四十七页。三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用第三十四页，共四十七页。f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]第三十三页，共四十七页。课堂练习：推出T4(x)第十一页，共四十七页。对某函数f(x)ϵC[a,b]，若存在P*(x)ϵHn，使得||f-P*||∞<=||f-P||∞,P(x)ϵHn，则称P*(x)一致地最佳逼近f(x).利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子第十五页，共四十七页。n次多项式这说明，在区间[0,1]上使用多项式L4(x)逼近ex的绝对值误差非常小，避免了龙格现象。而上式成立的充分必要条件是x0,x1,…xn是切比雪夫多项式的0点。第十五页，共四十七页。第四十四页，共四十七页。最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤切比雪夫多项式第七页，共四十七页。由三角表达式定义的多项式切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。切比雪夫(Chebyshev)多项式切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳一致逼近性质的插值多项式。切比雪夫多项式的(简单)定义：称为切比雪夫多项式。(2.10)…第八页，共四十七页。课堂练习：推出T4(x)切比雪夫多项式的前几项：切比雪夫多项式的表达式第九页，共四十七页。切比雪夫多项式的性质（1）基本递推关系第十页，共四十七页。（2）正交性第十一页，共四十七页。当m≠n:当m=n≠0当m=n=0根据积化和差公式：第十二页，共四十七页。利用数学归纳法证明：（3）奇偶性第十三页，共四十七页。第十四页，共四十七页。（4）切比雪夫多项式的零点………第十五页，共四十七页。接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆弧的等距的点的集合。图为T11(x)的零点，一共有11个…第十六页，共四十七页。（5）切比雪夫多项式的极值点……第十七页，共四十七页。T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3个0值点，4个极值点1-11-1第十八页，共四十七页。总结：Tn(x)具有很好的性质。Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有界[-1,1]；T1(x),T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数，T2(x),T4(x),…只含x的偶次项，是偶函数。xyHome第十九页，共四十七页。最佳一致逼近多项式第二十页，共四十七页。§3最佳一致逼近多项式一、基本概念及其理论目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳n次多项式不超过n次的实系数多项式的全体HnC[a,b]第二十一页，共四十七页。偏差的定义确定的Pn(x)对所有的Pn(x)ϵHn第二十二页，共四十七页。第二十三页，共四十七页。最佳一致逼近多项式的存在性定理p(x)的系数{an}…………Home第二十四页，共四十七页。切比雪夫多项式在函数逼近中的应用第二十五页，共四十七页。三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用希望构造最高次幂xn系数为1的多项式：…第二十六页，共四十七页。三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用证明比较复杂，省略。这个定理的结论非常重要第二十七页，共四十七页。怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近？偏差估计…第二十八页，共四十七页。最佳一致逼近0的多项式而上式成立的充分必要条件是x0,x1,…xn是切比雪夫多项式的0点。………第二十九页，共四十七页。证明：…已知|Tn(x)|<=1第三十页，共四十七页。第三十一页，共四十七页。对任意区间[a,b]，不能直接使用定理7。例如：为将[0,1][-1,1]，可以令：则针对g(t)使用定理7第三十二页，共四十七页。最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤Home第三十三页，共四十七页。利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子第三十四页，共四十七页。解：利用定理7，构造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(x)=ex在[0,1]上的4次最佳一致逼近

多项式L4(x),并且估计误差。第三十五页，共四十七页。01234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.02477第三十六页，共四十七页。Lagrange插值多项式为经过比较复杂的计算，得：第三十七页，共四十七页。误差估计：注意到变换x=½(t+1)这说明，在区间[0,1]上使用多项式L4(x)逼近ex

的绝对值误差非常小，避免了龙格现象。T5(t)最高次幂系数为24第三十八页，共四十七页。01234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.02477现在试图用Newton插值多项式逼近第三十九页，共四十七页。xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4]第四十页，共四十七页。xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]0.97552.65260.79392.2122.42620.51.64871.91661.07170.20611.22891.42840.83060.31340.02451.02481.12390.64040.24720.0696第四十一页，共四十七页。第四十二页，共四十七页。这个结果和使用拉格朗日插值法所得到的结果稍有误差，由具体计算的小数点后位数引起。第四十三页，共四十七页。例5.求f(x)=1/(1+x2)

在[-5,5]上的10次最佳

一致逼近多项式L10(x),并且估计误差。解：在[-1,1]上的切比雪夫多项式T11(x)的0点

为做变换x=5t,当tϵ[-1,1]的时候，xϵ[-5,5]第四十四页，共四十七页。xyy=L10(x)-55第四十五页，共四十七页。总结最佳逼近：设有函数类A，若存在函数类BⅭA。对函数f(x)ϵA，若存在函数φ*(x)ϵB，使得在某种范数下||f-φ*||<=||f-φ||,φϵB成立。HnC[a,b]特别地，取A=C[a,b]，B=