高等数学(微积分)教学大纲

《高等数学（微积分）》教学大纲课程代码:执行日期:许可部门：上海商学院教务处适用专业：公共必修课有效期限：2009.9—2012.7上海商学院基础学院高等数学（微积分）教学大纲课程名称：高等数学（微积分） 课程编码：英文名称：AdvancedMathematics（Calculus）学时：144 学分：8开课学期：第一学年第一、第二学期适用专业：财经类本科课程类别：公共必修课先修课程：完成高中阶段的数学课程建议教材：21世纪高等学校经济数学教材《微积分》杨爱珍主编复旦大学出版社一、课程目的、任务数学向社会科学渗透及社会的数字化是当今科技发展的一般趋势。它是一门研究客观世界数量关系和空间形式的科学，也是一种思维模式和文化素养。数学教育在培养高素质经济管理人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。《高等数学》是高等学校经管类专业本科生必修的重要基础理论课程。通过课程的教学，应使学生获得一元函数微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程及其经济应用方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为学习各类后继课程和今后从事科研活动、阅读或撰写科技论文奠定必要的数学基础。在教学过程中要注意培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，综合运用所学知识分析解决问题的能力和较强的自主学习能力，逐步培养学生的探索精神和创新能力。二、课程教学基本要求本课程按不同教学内容分为两个层次。文中用粗体字排印的内容，应使学生深入领会和掌握，并能熟练运用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算的要求用“掌握”一词表述。非黑体字排印的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中，概念、理论的要求用“了解”一词表述，方法、运算的要求用“会”或“了解”一词表述。（一）函数、极限、连续 （18学时）1．理解函数的概念，了解函数的基本性态（奇偶性、周期性、单调性、有界性）。2．理解复合函数的概念，了解反函数的概念，理解初等函数的概念。3．会建立简单经济问题的函数关系式，掌握常见的经济函数（需求函数、成本函数、收益函数、利润函数、库存函数）。4．了解数列极限和函数极限的概念（对极限的分析定义不作要求），了解函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性）。5．了解无穷大、无穷小的概念及性质，了解无穷小的阶及比较法，会用等价无穷小求极限。6．掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求简单复合函数的极限。7．了解极限存在的两个准则（夹逼准则、单调有界准则），了解两个重要极限并会用于求相关的极限。8．理解函数连续的概念，了解函数间断点的概念，会判断间断点的类型（第一类、第二类）。9．了解初等函数的连续性结论，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值最小值定理、零点定理、介值定理）。（二）一元函数微分学 （28学时）1．理解导数的概念及几何意义和经济意义（含边际与弹性的概念），了解函数可导性与连续性之间的关系。2．掌握基本初等函数求导公式，掌握导数四则运算法则和复合函数求导法则，了解反函数求导法则，掌握隐函数求导法及取对数求导法。3．了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。了解常见函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0阶导数的一般表达式。4．理解微分的概念，了解微分概念中包含的局部线性化思想，了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性，会求函数的微分。5．了解罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理，会用洛必达法则求不定式的极限。6．了解泰勒定理以及用多项式逼近函数的思想（对泰勒定理的证明及利用泰勒定理证明相关问题不作要求）。7．理解函数极值的概念，掌握利用导数判断函数单调性和求极值的方法。会求解经济管理中的最大值最小值应用问题。8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求曲线的拐点，会描绘简单函数的图形（包括水平渐近线和铅直渐近线）。（三）一元函数积分学 （26学时）1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法，会求简单有理函数的不定积分。3．理解定积分的概念及几何意义，了解定积分的基本性质和积分中值定理。4．理解积分上限函数的概念及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法。6．掌握实际问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会建立简单的几何问题和经济问题的定积分表达式。7．了解两类反常积分及其收敛性的概念，了解Γ函数的概念。（四）多元函数微积分学 （30学时）1．理解空间直角坐标系的有关概念，会求空间中两点的距离。2．掌握平面的方程和直线的方程及其求法。3．了解曲面方程及空间曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形。4．理解二元函数的概念及几何意义，了解多元函数的概念。5．了解二元函数极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。6．理解二元函数偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。掌握求偏导数和全微分的方法。7．掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数（对抽象复合函数的二阶偏导数，只作简单要求）。8．会求由一个方程确定的隐函数的一阶偏导数。9．理解二元函数极值与条件极值概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解简单的最大值最小值问题。10．理解二重积分的概念及几何意义，了解二重积分的性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），会计算无界区域上简单的反常二重积分。11．会运用多元函数的微积分知识，解决简单的经济问题。（五）无穷级数 （22学时）1．理解无穷级数及其收敛、发散与收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。2．了解正项级数的比较审敛法及其极限形式，掌握几何级数与SKIPIF1<0级数的敛散性结论，掌握正项级数的比值审敛法。3．了解交错级数的莱布尼茨定理，了解绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛与收敛的关系。4．会求简单幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域，了解幂级数在收敛域内的基本性质，会求简单幂级数的和函数。5．会用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的麦克劳林展开式将简单函数展开成幂级数。6．了解无穷级数在经济中的简单应用。（六）微分方程与差分方程 （20学时）1．了解微分方程的基本概念。2．掌握可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程的解法。3．会用降阶法求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等类型的高阶微分方程。4．会通过建立微分方程模型，解决简单的经济问题。三、课程教学内容（分章节）（一）函数与极限函数，极限的概念与性质，极限的运算，函数的连续性。重点：函数、极限、无穷小的概念，极限的四则运算，函数的连续性难点：极限与连续（二）导数与微分导数的概念，导数的基本公式与运算法则，高阶导数，函数的微分。重点：导数和微分的概念，导数的几何意义，初等函数的导数求法难点：导数的概念与复合函数求导（三）中值定理与导数的应用微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别法，函数的极值及其求法，曲线的凹向与拐点，曲线的渐近线，函数图形的描绘，函数的最值，导数在经济分析中的应用。重点：洛必达法则，函数增减性的判别法，函数极值、最大值、最小值的求法。判断函数的凹凸并求拐点。函数图形的描绘。导数在经济中的应用（边际与弹性）难点：经济应用问题的求解（四）不定积分不定积分的概念与性质，不定积分的换元积分法，不定积分的分部积分法，有理函数的积分。重点：原函数、不定积分的概念，不定积分的性质和基本公式，换元积分法和分部积分法难点：不定积分的计算（五）定积分及其应用定积分的概念与性质，定积分基本定理，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，反常积分，定积分的几何应用，定积分在经济上的应用。重点：定积分的概念，积分上限的函数加及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部积分法，定积分的应用：平面图形的面积、旋转体的体积计算难点：定积分的计算（六）多元函数微积分空间解析几何简介，多元函数的基本概念，偏导数，全微分，多元复合函数及隐函数的求导法则，二元函数的极值和最值，二重积分。重点：多元函数的概念，偏导数、全微分、二重积分的计算难点：复合函数求偏导、二重积分的计算（七）无穷级数无穷级数的概念与性质，正项级数及其敛散性判别法，任意项级数及其敛散性判别法，幂级数，函数的幂级数展开式。重点：无穷级数收敛和发散的概念，正项级数的比较审敛法，幂级数的收敛半径，幂级数的展开难点：常数项级数的敛散性判别（八）微分方程与差分方程微分方程的基本概念，一阶微分方程，可降阶的二阶微分方程，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数线性微分方程。重点：微分方程的概念，一阶可分离变量、一阶线性微分方程难点：解微分方程四、课程的实验内容与要求（另附实验教学大纲）无五、课程各教学环节的要求每次课堂讲授后要布置一定量的习题（90%计算题、10%证明题）让学生练习，作业原则上批改一半以上，对于作业中存在的普遍性问题教师应在课堂上作详细讲解。每章至少应安排一次习题课，以便学生对知识点的掌握和理解，并能巩固重点，排解难点。本课程为考试课程，原则上期中、期末各一次。考试采用闭卷形式，评分采用百分制。命题题型：选择题、填空题、简答题、计算题和证明题等。总评成绩由期中、期末试卷的成绩和平时成绩构成：平时成绩占总评成绩的10％，平时成绩由课堂表现（包括迟到、早退和旷课）、作业情况和平时测验的成绩几部分构成。期中试卷成绩占总评成绩的30％，期末试卷成绩占总评成绩的60％。六、课程学时分配序号主要内容学时分配作业题量备注1函数与极限16+2602导数与微分14+2603中值定理与导数的应用10+2304不定积分12+2605定积分及其应用10+2606多元函数微积分26+4407无穷级数18+4408微分方程与差分方程16+430总计122+22380七、课程的主要参考书[1]《微积分》，赵树嫄，中国人民大学出版社，2005[2]《微积分（经管类）》，吴赣昌，中国人民大学出版社，2007