浙江省绍兴市越城区绍兴会稽联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题（含答案）

浙江省绍兴市越城区绍兴会稽联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知数列{an}的首项a1=4A．-11 B．-8 C．16 D．192．曲线y=x2+3xA．5 B．4 C．-1 D．-23．如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c.点A．12a−C．23a+4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里 B．48里 C．96里 D．192里5．原点到直线l：A．25 B．225 C．46．倾斜角为α的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，其中点A位于第一象限，若A．450 B．600 C．7．若双曲线C1：x2aA．(0，233] B．(1，8．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30∘.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取A．1.4N B．1.5N C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设曲线f(x)=sinx在点P处的切线为l，则直线l的斜率可能的值为（）A．13 B．12 C．1 10．已知椭圆C：x23+y2A．△PFB．|PFC．椭圆的离心率为3D．直线PA与PB的斜率的乘积为−11．已知数列{an}满足aA．有可能是常数数列B．有可能是等差数列C．有可能是等比数列D．有可能既不是等差数列，也不是等比数列12．已知正三棱柱ABC−A1B1CA．AB．平面AB1D与平面C．平面A1BD⊥D．AC与平面AB1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数y=xlnx的导数为.14．已知数列{an}满足an15．设P，Q为曲线C：x216．在空间直角坐标系中，点M(0，0，1)为平面ABC外一点，其中A(1，1，0)，B(0，四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知函数f(x)=−x（1）分别求出f(x)和g(x)的导数；（2）若曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线与曲线y=g(x)在x=t(t∈R)处的切线平行，求18．已知经过原点的直线l与圆C：(x−1)（1）若|AB|=13，求l（2）已知存在x轴上的点M(m，0)，使直线MA､MB的斜率之和恒为0，求19．记Sn为等比数列{an}的前（1）求数列{a（2）记bn=anlog420．如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E，（1）求证：PA⊥EF；（2）求平面DFG与平面EFG的夹角的余弦值.21．已知点F1(−2，0)（1）求动点M的轨迹方程；（2）记动点M的轨迹为C，若A，B是C上的不同两点，O是坐标原点，求22．已知椭圆C1：x2a2+y2b2（1）求椭圆C1（2）设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足QA⊥QB

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为an+1=an−3(n∈N*)，所以an+1故答案为：B.【分析】根据已知条件得出数列{a2．【答案】C【解析】【解答】解：令f(x)=x2+3x，则f'(x)=2x−3x故答案为：C.【分析】根据导数的几何意义计算即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：因为OM=2MA，所以点N为BC中点，故MN=故答案为：D.【分析】根据空间向量基本定理计算即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知，此人每天走的步数构成等比数列，且公比为12由题意，结合等比数列的求和公式可得a1[1−(12)6故答案为：B.【分析】由题可得此人每天走的步数构成等比数列，根据等比数列的求和公式求出首项，即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：设原点到直线l的距离为d，则d=|当λ<0时，有最大值，此时−2λ因为(−λ)+(−1λ)≥2(−λ)⋅(−1λ)故答案为：D.【分析】利用点到直线的距离公式表示原点到直线的距离，再化简利用基本不等式求函数最大值即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：易知焦点F(1，0)，设因为|AB|=|AF|+|BF|=8，所以x1+x由题可知直线的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x−1)，联立直线与抛物线方程y2=4xy=k(x−1)，消去y由韦达定理可得：x1+x解得k=±1，因为|FA|＞|FB|，且点A位于第一象限，所以k=1，故α的值为45故答案为：A.【分析】设A(x7．【答案】B【解析】【解答】解：易知双曲线渐近线为bx±ay=0，因为双曲线的渐近线与圆(x−2所以圆心到渐近线的距离大于半径，即2ba2+b2≤1，所以故答案为：B.【分析】先求得双曲线的渐近线，再利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，最后根据双曲线的离心率公式即可求得离心率的取值范围．8．【答案】A【解析】【解答】解：设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，8T⋅cos30°=mg所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．故答案为：A.【分析】设每根绳子上的拉力大小为T，根据平衡条件列式求解即可．9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因为f(x)=sinx，所以f'(x)=cos故答案为：ABC.【分析】先求函数f(x)=sinx的导函数，根据函数f'(x)的值域，即可得出直线10．【答案】A,B【解析】【解答】解：由椭圆C：x23+y2A、△PF1FB、易知点F1(0，−1)、F2(0，则|PF1|=x2+(y+1)2=C、椭圆的离心率为e=cD、易知点A(−3，0)、B(故答案为：AB.【分析】根据椭圆的定义即可判断A；利用椭圆的范围可求出|PF1|的最大值，即可判断B；以椭圆的离心率公式即可判断C；利用斜率公式结合椭圆方程可求出直线PA11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为数列{an}满足an+12若对任意的n∈N∗，有an+1=−an且若对任意的n∈N∗，有an+1−an=1取数列{an}各项为：1、−1、0、1、−1、0、⋯此时，数列{a若数列{an}为常数列，不妨设an=c由an+12−an+1=a故数列{a故答案为：BCD.【分析】将已知等式变形为(a12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：记线段AB的中点为O，连接CO，在正三棱柱ABC−A1B1C因为△ABC是边长为1的等边三角形，则CO⊥AB，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(−12，0，0)、B(12，0，A、A1B=(1，0，−1)B、设平面AB1DAB1=(1，0取x1=1，则z1=−1，易知平面A1B1所以cosm→，u→=mC、设平面A1BD的法向量为n=(x2，y取x2=1，则z2=1，y2=0，可得n=(1，0D、AC=(12，32，0)，则故答案为：ACD.【分析】记线段AB的中点为O，连接CO，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可.13．【答案】lnx+1【解析】【解答】解：令fx=xlnx，则故答案为：lnx+1【分析】根据基本初等函数的导数公式直接求导即可.14．【答案】2024【解析】【解答】解：因为数列{an}满足a则1a故答案为：20242025【分析】由题意可得1an=15．【答案】10【解析】【解答】解：曲线C：x2+(y−3)2+x2+(y+3)2=10的几何意义为点(x，y)到点(0故答案为：10.【分析】由椭圆定义可知，P，16．【答案】2【解析】【解答】解：易知AB=(−1，1，1)则n⊥AB，所以n⋅因为AM=(−1，−1，1)，故点M故答案为：26【分析】根据AB与平面ABC的法向量垂直即可求出y0的值，再利用空间向量法求点M到平面ABC17．【答案】（1）解：由导数公式得f'由复合函数求导法则得g（2）解：由f'(x)=−3x2+1k=f从而切线方程为y−1=−2(x−1)，即y=−2x+3.由g'(x)=−2e−2x+1，可得曲线y=g(x)在由题意可得−2e从而t=1此时切点坐标为(12，1)，曲线y=g(x)在即y=−2x+2，故符合题意【解析】【分析】（1）利用初等函数的求导公式及复合函数求导法则求导即可；（2）由（1）的结论，先分别求出f(x)和g(x)在点(1，18．【答案】（1）解：由圆C：(x−1)因为AB∣=13，所以点C到AB的距离为2因为直线l经过原点，且由题意易知斜率不可能为0，可设其方程为l：由点到直线的距离公式可得：|k|k解得k=±（2）解：设A(x1，y1)，整理可得(1+k所以x1由题意得kAM+k因为k≠0，所以x1(x解得m=−3.【解析】【分析】（1）根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列式求解即可；（2）设A(x1，y119．【答案】（1）解：当n=1时，a2当n⩾2时，an+1−a所以等比数列{an}的公比是4，所以a2=4故数列{a从而a（2）解：由（1）知，an=4则Tn4T两式相减得，−3==4故T【解析】【分析】（1）当n≥2时，作差变形得an+1=4an，求得公比为4，再利用（2）根据（1）可得bn20．【答案】（1）证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则F(0，所以PA⋅因此PA⊥EF.（2）解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则D(0，则DF=(0，0，1)m令y1=1，得m=(−2EF=(0，−1，0)则n⋅令z2=1，得n=(1所以cos=−2所以平面DFG与平面EFG的夹角的余弦值为|cos【解析】【分析】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积为0进行证明即可；（2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，求出平面DFG和平面EFG的法向量，利用空间向量求面面角的余弦值即可.21．【答案】（1）解：因为|MF1|−|MF2所以，c=2所以动点M的轨迹方程为：x（2）解：①当直线AB斜率不存在时，设直线AB方程为：x=m此时A(m，所以OA⋅②当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+t，代入双曲线C方程可得：(1−k可知其有两个不等的正实数根x∴解得：k2所以OA=(=(由k2OA⋅综上所述，OA⋅【解析】【分析】（1）根据双曲线定义求轨迹方程即可；（2）分直线AB斜率不存在和直线AB斜率存在两种情况讨论，当斜率不存在时求出OA⋅OB=1；当斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+t，推出OA22．【答案】（1）解：设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a>b且F(1，0)，所以因为|PF|=3|QF|，所以a+c=3(a−c)，因此a=2c=2，则b=a所以椭圆C1的方程为（2）解：若QA､QB分别与两坐标轴垂直，则这两条直线中有一条与椭圆相切，不合题意.所以，直线QA､QB的斜率存在且不为零，不妨设直线QA：则直线QB：联立y=k(x−