【MOOC】泛函分析-空间理论-西北大学 中国大学慕课MOOC答案

【MOOC】泛函分析—空间理论-西北大学中国大学慕课MOOC答案单元测验（一）1、【单选题】如果一个非空集合上可定义一个距离，则以下说法正确的是（）.本题答案：【可以无限多个距离】2、【单选题】在一个非空集合上()可以定义距离.本题答案：【一定】3、【单选题】N维欧氏空间中点列的按距离收敛等价于（）.本题答案：【按坐标收敛】4、【单选题】连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（）.本题答案：【一致收敛】5、【单选题】有界数列空间中点列的按距离收敛是（）.本题答案：【其余三项都不对】6、【单选题】离散距离空间中点列的按距离收敛是（）.本题答案：【其余三项都不对】7、【多选题】一个非空集合上的距离满足（）.本题答案：【非负性#对称性#三角不等式】8、【多选题】关于距离空间中点列的收敛性，以下说法正确的是（）.本题答案：【收敛列的极限是唯一的#收敛列的极限一定属于该距离空间#收敛列的子列一定收敛】9、【多选题】距离空间中的收敛点列满足（）.本题答案：【其极限是唯一的#其任一子列必收敛】10、【判断题】设R是实数集，定义d(x,y)=1+|x-y|,则d是R上的距离.本题答案：【错误】11、【判断题】任一非空集合上都可以定义距离，使之成为距离空间.本题答案：【正确】12、【判断题】设C[0,1]是[0,1]上的连续函数全体，定义则d是C[0,1]上的一个距离.本题答案：【正确】单元测验（二）1、【单选题】开集恰好由该集合的所有（）构成.本题答案：【内点】2、【单选题】闭集恰好由该集合的所有（）构成.本题答案：【接触点】3、【单选题】设E和F是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（）.本题答案：【】4、【单选题】全体有理数在（）中是稠密的.本题答案：【实数空间】5、【单选题】以下选项中，不可分的距离空间为（）.本题答案：【有界数列空间】6、【多选题】距离空间中的非空开集一定包含一个（）.本题答案：【内点#接触点#开球#闭球】7、【多选题】以下说法正确的是（）.本题答案：【开球是开集#开球的补集是闭集】8、【多选题】在距离空间中，以下说法正确的是（）.本题答案：【开球的闭包是闭集#开球的内部是开集#开球的补集是闭集】9、【多选题】关于内点与接触点，以下说法正确的是（）.本题答案：【内点一定是接触点#接触点可能是内点】10、【多选题】在距离空间中，以下说法正确的是（）.本题答案：【任意多个开集的并集是开集#任意多个闭集的交集是闭集】11、【多选题】在实数空间R中，令Q为有理数全体.以下选项中，与“Q在R中稠密”等价的是（）.本题答案：【#】12、【多选题】设E和F是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（）.本题答案：【#】13、【多选题】设E与F是距离空间中的点集.以下命题中，相互等价的是（）.本题答案：【E在F中稠密#F中每个点都是E的接触点#F中每个点都是E中某点列的极限】14、【多选题】以下选项中，一定具有可分性的距离空间是（）.本题答案：【实数空间#有理数空间#连续函数空间】15、【多选题】在可分的距离空间中，必包含（）.本题答案：【可数子集#稠密子集#有限子集】16、【多选题】设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是（）.本题答案：【Y中任何开集的原像是X中的开集#Y中任何闭集的原像是X中的闭集】17、【判断题】距离空间中的任一子集，其闭包未必是闭集.本题答案：【错误】18、【判断题】距离空间中的任一子集，其内部一定是开集.本题答案：【正确】19、【判断题】任意多个闭集的并集是闭集.本题答案：【错误】20、【判断题】任意有限个开集的交集是开集.本题答案：【正确】21、【判断题】离散距离空间上的任一子集既是开集又是闭集.本题答案：【正确】22、【判断题】非空开集一定是开球.本题答案：【错误】23、【判断题】在实数空间中，全体有理数在全体无理数中稠密.本题答案：【正确】24、【判断题】有界数列空间是可分的距离空间.本题答案：【错误】25、【判断题】[0,1]上的全体有理系数多项式在连续函数空间C[0,1]中是稠密的.本题答案：【正确】26、【判断题】在不可数集X上定义离散距离d，则距离空间（X,d）是不可分的.本题答案：【正确】27、【判断题】定义在离散距离空间上的任何映射都是连续的.本题答案：【正确】28、【判断题】有界数列空间的任何子空间都是不可分的.本题答案：【错误】单元测验（三）1、【单选题】以下关于距离空间中”柯西列与收敛列“的表述，正确的是（）.本题答案：【收敛列一定是柯西列】2、【单选题】以下实数空间的距离子空间中，具有完备性的是（）.本题答案：【】3、【单选题】设距离空间X是距离空间E的完备化空间，在等距同构的意义下，以下说法正确的是（）.本题答案：【E是X的稠子空间】4、【单选题】在距离空间中，压缩映射一定是（）.本题答案：【连续映射】5、【多选题】在完备的距离空间中，以下说法正确的是（）.本题答案：【收敛列必为柯西列#柯西列必为收敛列#闭子集一定是完备的子空间#开子集一定不是完备的子空间】6、【多选题】在连续函数空间中，以下说法正确的是（）.本题答案：【柯西列一定是收敛列#收敛列一定是柯西列】7、【多选题】在以下选项中，具有完备性的距离空间是（）.本题答案：【实数空间#N维欧氏空间#连续函数空间#有界数列空间#离散的距离空间】8、【多选题】以下实数空间的子空间中，不完备的是（）.本题答案：【##】9、【多选题】在距离空间中，等距映射一定是（）.本题答案：【单射#连续映射】10、【多选题】设X是距离空间，T是X到X的映射.压缩映射定理成立的条件是（）.本题答案：【X是完备的#T是压缩映射】11、【判断题】完备的距离空间一定是可分的.本题答案：【错误】12、【判断题】在全体有理数Q上定义离散距离d，则（Q,d）是不完备的距离空间.本题答案：【错误】13、【判断题】在等距同构的意义下，任何距离空间都存在唯一的完备化空间.本题答案：【正确】14、【判断题】在距离空间中，闭子空间与完备子空间是等价的.本题答案：【错误】单元测验（四）1、【单选题】在实数空间中，以下选项中不是完全有界集的有（）.本题答案：【】2、【单选题】在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，不正确的是（）.本题答案：【列紧集的补集是列紧集】3、【单选题】在离散的距离空间中，以下选项中是列紧集的是（）.本题答案：【单点集】4、【单选题】在实数空间中，以下选项中是紧集的有（）.本题答案：【】5、【单选题】设T是从距离空间X到距离空间Y的连续映射，A是X中的列紧集，则以下选项中不正确的是（）.本题答案：【T(A)是紧集】6、【多选题】在实数空间中，以下选项中是列紧集的有（）.本题答案：【##】7、【多选题】在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，正确的是（）.本题答案：【单点集是列紧集#有限点集是列紧集#可列点集未必是列紧集】8、【多选题】在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，正确的是（）.本题答案：【有限个列紧集的并集是列紧集#有限个列紧集的(非空)交集是列紧集#可数个列紧集的(非空)交集是列紧集】9、【多选题】在连续函数空间C[a,b]中，当子集A满足（）时，则A是列紧集.本题答案：【一致有界#等度连续】10、【多选题】在距离空间中，以下关于“完全有界集的性质”的描述，正确的是（）.本题答案：【完全有界集是有界集#完全有界集必可分#完全有界集的子集是完全有界集#有限个完全有界集的并集是完全有界集】11、【判断题】在实数空间中，完全有界集未必是有界集.本题答案：【错误】12、【判断题】在距离空间中，列紧集的非空子集一定是列紧集.本题答案：【正确】13、【判断题】完备的距离空间一定是列紧空间本题答案：【错误】14、【判断题】在列紧的距离空间中，柯西列与收敛列是等价的.本题答案：【正确】15、【判断题】在离散的距离空间中，列紧集一定是紧集.本题答案：【正确】16、【判断题】在完备的距离空间中，完全有界集未必是列紧集.本题答案：【错误】17、【判断题】设A是距离空间X中的紧集，f是X到R的连续函数.则f是有界的，并可取到上、下确界.本题答案：【正确】18、【判断题】在有界数列空间中，列紧集是完全有界集.反之不成立.本题答案：【错误】19、【判断题】在距离空间中，列紧的闭集就是紧集.本题答案：【正确】20、【判断题】在连续函数空间中，列紧集的闭包是紧集.本题答案：【正确】21、【判断题】距离空间之间的连续映射，把紧集映成列紧集.本题答案：【正确】单元测验（五）1、【单选题】以下关于线性空间中相关概念的叙述，不正确的是（）.本题答案：【子集一定是子空间】2、【单选题】以下空间中，属于有限维赋范空间的是（）.本题答案：【】3、【单选题】设A是线性空间X中，如果A中任何（）向量的线性组合都是线性无关的，则称A是线性无关的.本题答案：【有限个】4、【多选题】以下抽象空间中，既是距离空间，又是线性空间的是（）.本题答案：【##】5、【多选题】设M是线性空间X的子集，当M满足（）时，称M为X的Hamel基.本题答案：【M中任何有限个向量的线性组合都线性无关#X中任一向量都可以表示成M中有限个向量的线性组合】6、【多选题】设A、B是线性空间X的子空间，当它们满足（）时，X为A与B的直和.本题答案：【#】7、【多选题】设X是线性空间，X中的范数满足（）.本题答案：【非负性#正齐次性#三角不等式】8、【多选题】设X是赋范空间，d是由范数诱导的距离，则d满足（）.本题答案：【对称性#三角不等式#相似性#平移不变性】9、【多选题】以下命题中，正确的是（）.本题答案：【赋范空间一定是线性空间#赋范空间一定是距离空间#距离空间未必是赋范空间#距离空间未必是线性空间】10、【判断题】设A是线性空间X的子集，则A的线性包是包含A的最小闭子空间.本题答案：【错误】11、【判断题】每个非零的线性空间都存在一个Hamel基.本题答案：【正确】12、【判断题】赋范子空间一定是距离子空间.本题答案：【正确】13、【判断题】赋范子空间一定是线性子空间.本题答案：【正确】14、【判断题】在赋范空间中，向量列的依范数收敛等价于向量列按范数诱导的距离收敛.本题答案：【正确】15、【判断题】距离空间未必是赋范空间.本题答案：【正确】单元测验（六）1、【多选题】在通常的范数意义下，以下赋范空间是Banach空间的是（）.本题答案：【##】2、【多选题】记P[0,1]为[0,1]的实系数多项式全体,按照范数成为赋范空间.则以下结论正确的是（）.本题答案：【P[0,1]是C[0,1]的子空间#赋范空间P[0,1]不是Banach空间】3、【多选题】设X是Banach空间，则以下命题中正确的是（）.本题答案：【X中任一绝对收敛的级数必收敛#X的闭子空间是Banach空间#X的完备化空间是它自己】4、【多选题】以下关于线性空间中凸集的描述，正确的是（）.本题答案：【有限个凸集的交集仍是凸集#任意多个凸集的交集是凸集】5、【多选题】在赋范空间中，（）是凸集.本题答案：【单位开球#单位闭球#子空间】6、【多选题】以下关于赋范空间的Hamel基以及Schauder基的描述，正确的是（）.本题答案：【任何非零的赋范空间都具有Hamel基#不可分的赋范空间一定不具有Schauder基】7、【多选题】以下赋范空间中，具有Schauder基的无限维空间是（）.本题答案：【#】8、【多选题】Banach空间指的是（）.本题答案：【完备的赋范空间#一个赋范空间，其诱导的距离空间是完备的.】9、【多选题】设X是具有Schauder基的赋范空间，则（）.本题答案：【X是可分的#X是无限维的】10、【判断题】Banach空间一定是完备的距离空间，反之不成立.本题答案：【正确】11、【判断题】设E是赋范空间X的子空间.E是Banach空间的充分必要条件是E是X的闭子空间.本题答案：【错误】12、【判断题】设E是赋范空间X的子空间。若E是Banach空间，则E是闭子空间。反之不成立。本题答案：【正确】13、【判断题】每一个赋范空间都可以完备化，在等距同构意义下，其完备化空间是唯一的.本题答案：【正确】14、【判断题】赋范空间的真子空间一定不是闭子空间，可能是开子空间.本题答案：【错误】15、【判断题】赋范空间的子空间一定不是开子空间.本题答案：【错误】16、【判断题】具有Schauder基的赋范空间一定是可分的.本题答案：【正确】17、【判断题】平方可和的数列空间具有Schauder基.本题答案：【正确】18、【判断题】赋范空间的一个重要特征就是：单位球是零元的凸邻域.本题答案：【正确】单元测验（七）1、【多选题】线性空间上的范数的“等价”满足（）.本题答案：【自反性#对称性#传递性】2、【多选题】设与为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间与具有相同的（）.本题答案：【收敛列#柯西列#完备性#列紧性】3、【多选题】设X与Y是赋范空间，若映射T:XY满足（），则称T是拓扑同构映射.本题答案：【T是双射#T是线性映射#T是连续的#是连续的】4、【多选题】以下关于有限维赋范空间的描述正确的是（）.本题答案：【有限维赋范空间必完备.#有限维赋范空间必可分.#有限维赋范空间的任一子空间都是闭子空间.】5、【多选题】设X是赋范空间，则以下命题中与“X是有限维”等价的是（）.本题答案：【X中的单位球面是紧集#X中的单位闭球是紧集#X中的有界集是列紧集#X中的有界闭集是紧集#X中的单位开球是列紧集】6、【多选题】设X是无限维赋范空间，则以下命题正确的是（）.本题答案：【X中的单位开球不是列紧集#X中的有界闭集不是紧集】7、【判断题】N维实向量空间上所定义的任何两个范数都等价.本题答案：【正确】8、【判断题】设与为线性空间X上的两个等价范数，则与都是Banach空间.本题答案：【错误】9、【判断题】线性空间上的任何两个范数都等价.本题答案：【错误】10、【判断题】设与为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间与具有相同的可分性.本题答案：【正确】11、【判断题】任何两个有限维赋范空间都是拓扑同构的.本题答案：【错误】12、【判断题】赋范空间的子空间必为闭子空间.本题答案：【错误】单元测验（八）1、【单选题】线性空间，按范数成为赋范空间.则该赋范空间是内积空间的充要条件是（）.本题答案：【】2、【单选题】以下线性空间，不可以定义内积的是（）.本题答案：【其它三项都不对】3、【多选题】实内积空间上的内积满足（）.本题答案：【对称性#非负性#对第一变元的线性性质#对第二变元的线性性质】4、【多选题】复内积空间上的内积满足（）.本题答案：【非负性#对第一变元的线性性质】5、【多选题】以下线性空间中，可以定义内积的是（）.本题答案：【###】6、【多选题】内积空间一定是（）.本题答案：【线性空间#赋范空间#距离空间】7、【多选题】由内积导出的范数满足（）.本题答案：【三角不等式#平行四边形法则#正齐次性#非负性】8、【判断题】在线性空间C[0,1]中可以定义内积，使之称为一个内积空间.本题答案：【正确】9、【判断题】对任一赋范空间，其范数未必满足平行四边形法则。本题答案：【正确】10、【判断题】赋范空间是内积空间的充分必要条件是，其范数满足平行四边形法则。本题答案：【正确】11、【判断题】Banach空间必为Hilbert空间，但反之不成立.本题答案：【错误】12、【判断题】任何线性空间都一定可以定义内积。本题答案：【正确】单元测验（九）1、【单选题】设x,y是内积空间H中的两个向量，则以下选项中与其它三个不等价的是（）.本题答案：【】2、【单选题】设M是内积空间H的子集，则以下选项中错误的是（）.本题答案：【】3、【单选题】设E是内积空间H的子空间，则以下选项中与其它三项不等价的是（）.本题答案：【】4、【单选题】设是内积空间H的一个标准正交系，则以下命题中与其它三项不等价的是（）.本题答案：【S是完备的.】5、【多选题】设H是数域K上的内积空间,x,yH.则以下命题中与“”等价的是（）.本题答案：【对任意的有#对任意的有#对任意的有】6、【多选题】设M是内积空间H中的子集，若,则（）.本题答案：【###】7、【多选题】设M,N是内积空间H的两个子集，则以下命题正确的是（）.本题答案：【#若则#若则#若则】8、【多选题】设E是Hilbert空间H的子空间，则以下结论中正确的是（）.本题答案：【###】9、【多选题】设是内积空间H的一个标准正交系，则以下命题正确的是（）.本题答案：【##】10、【多选题】设是Hilbert空间H的一个标准正交基，则以下命题中正确的是（）.本题答案：【S是完全的.#S是完备的.#x关于S的Fourier级数收敛于x.#】11、【判断题】设M是内积空间H的子集，则M的正交补是H的闭子空间.本题答案：【正确】12、【判断题】设M,N是内积空间H的两个非空开集，若则本题答案：【正确】13、【判断题】设E是内积空间H的子空间，则x在E中的最佳逼近点即为x在E中的投影.本题答案：【正确】14、【判断题】设M是内积空间H的紧凸集，则x在M中的最佳逼近点是存在的，但不唯一.本题答案：【错误】15、【判断题】设M是Hilbert空间H的非空子集，则当且仅当本题答案：【正确】16、【判断题】内积空间的任何一个正交系都是线性无关集.本题答案：【正确】17、【判断题】设是内积空间H的一个标准正交系，则x的Fourier级数必收敛于x.本题答案：【错误】18、【判断题】内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.本题答案：【正确】单元测验（十）1、【单选题】在内积同构的意义下，可分Hilbert空间只有（）个.本题答案：【2】2、【单选题】N维实内积空间与（）是内积同构的.本题答案：【】3、【单选题】内积空间中的任何一个线性无关集，通过Schmidt正交化，可得到一个（）.本题答案：【标准正交系】4、【多选题】可分的Hilbert空间H所具有的性质是（）.本题答案：【H一定存在标准正交基#H的标准正交基是至多可数的#H必为非零Hilbert空间】5、【多选题】内积同构映射必为（）.本题答案：【等距映射#双射#线性映射#拓扑同构映射】6、【多选题】无穷维可分的Hilbert空间与（）是内积同构的.本题答案：【#】7、【判断题】任何Hilbert空间都具有标准正交基.本题答案：【错误】8、【判断题】任何有限维内积空间必是可分的Hilbert空间.本题答案：【正确】9、【判断题】一切无限维Hilbert空间都与内积同构.本题答案：【错误】10、【判断题】标准正交系必为线性无关集，反之不成立.本题答案：【正确】《泛函分析-空间理论》期末考试客观题1、【单选题】连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（）.本题答案：【一致收敛】2、【单选题】开集恰好由该集合的所有（）构成.本题答案：【内点】3、【单选题】闭集恰好由该集合的所有（）构成.本题答案：【接触点】4、【单选题】以下关于距离空间中”柯西列与收敛列“的表述，正确的是（）.本题答案：【收敛列一定是柯西列】5、【单选题】设距离空间X是距离空间E的完备化空间，在等距同构的意义下，以下说法正确的是（）.本题答案：【E是X的稠子空间】6、【单选题】在实数空间中，以下选项中是紧集的为（）.本题答案：【】7、【单选题】以下关于线性空间中相关概念的叙述，不正确的是（）.本题答案：【子集一定是子空间】8、【单选题】离散距离空间中的任一子集是（）的集合.本题答案：【既开又闭】9、【单选题】在实数空间中,()在无理数集中稠密.本题答案：【有理数集】10、【单选题】在不可数集X上定义离散距离d,则距离空间(X,d)是().本题答案：【不可分的】11、【单选题】定义在()上的任何映射都是连续的.本题答案：【离散距离空间】12、【单选题】在距离空间中,以下说法正确的是().本题答案：【完备子空间一定是闭子空间】13、【单选题】在()上,完全有界集与有界集是等价的.本题答案：【实数空间】14、【单选题】列紧的距离空间必（）.本题答案：【完备】15、【单选题】每个非零的赋范空间必存在一个（）.本题答案：【Hamel基】16、【单选题】赋范空间的真子空间一定不是（）.本题答案：【开子空间】17、【单选题】任何两个同维数的有限维赋范空间所满足的以下关系中，不正确的是（）.本题答案：【内积同构】18、【单选题】（）线性空间上的任何两个范数等价.本题答案：【有限维】19、【单选题】设M是内积空间H的子集,则M的正交补是H的().本题答案：【闭子空间】20、【单选题】设M是内积空间H的紧凸集,则x在M中的最佳逼近点满足().本题答案：【存在且唯一】21、【单选题】内积空间的任何一个正交系必是().本题答案：【线性无关集】22、【多选题】关于距离空间中点列的收敛性，以下说法正确的是（）.本题答案：【收敛列的极限是唯一的#收敛列的极限一定属于该距离空间#收敛列的子列一定收敛】23、【多选题】距离空间中的非空开集一定包含一个（）.本题答案：【内点#接触点#开球#闭球】24、【多选题】在距离空间中，以下说法正确的是（）.本题答案：【开球是开集#开球的闭包是闭集#开球的内部是开集#开球的补集是闭集】25、【多选题】关于内点与接触点，以下说法不正确的是（）.本题答案：【接触点一定是内点#内点未必是接触点】26、【多选题】在实数空间R中，令Q为有理数全体.以下选项中，与“Q在R中稠密”等价的是（）.本题答案：【#】27、【多选题】设E和F是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（）.本题答案：【#】28、【多选题】设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是（）.本题答案：【Y中任何开集的原像是X中的开集#Y中任何闭集的原像是X中的闭集】29、【多选题】在连续函数空间中，以下说法正确的是（）.本题答案：【收敛列一定是有界列#闭子集是完备子集#柯西列一定是收敛列#收敛列一定是柯西列】30、【多选题】在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，正确的是（）.本题答案：【单点集是列紧集#有限点集是列紧集#可列点集未必是列紧集#有限个列紧集的并集是列紧集】31、【多选题】在离散的距离空间中，以下选项中是列紧集的是（）.本题答案：【有限子集#单点集】32、【多选题】在通常的范数意义下，以下赋范空间是Banach空间的是（）.本题答案：【##】33、【多选题】设X是Banach空间，则以下命题中正确的是（）.本题答案：【X中任一绝对收敛的级数必收敛#X的闭子空间是Banach空间#X的完备化空间是它自己】34、【多选题】以下关于赋范空间的Hamel基以及Schauder基的描述，正确的是（）.本题答案：【任何非零的赋范空间都具有Hamel基#不可分的赋范空间一定不具有Schauder基】35、【多选题】设X是无限维赋范空间，则以下命题正确的是（）.本题答案：【X中的单位开球不是列紧集#X中的有界闭集不是紧集】36、【多选题】内积空间一定是（）.本题答案：【线性空间#赋范空间#距离空间】37、【多选题】设M,N是内积空间H的两个子集，则以下命题正确的是（）.本题答案：【#若则#若则#若则】38、【多选题】设E是Hilbert空间H的子空间，则以下结论中正确的是（）.本题答案：【###】39、【多选题】设是内积空间H的一个标准正交系，则以下命题正确的是（）.本题答案：【##】40、【多选题】设是Hilbert空间H的一个标准正交基，则以下命题中正确的是（）