浙江省衢温51联盟2022-2023学年高二创新班数学上学期期末联考试卷（含答案）

浙江省衢温51联盟2022-2023学年高二创新班数学上学期期末联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．设集合A={x∣−1<x<4}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}2．“向量a=(−1，3)是直线l的一个方向向量”是“直线A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要3．已知函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是（）A． B．C． D．4．锐角θ满足tanθ=2sin2θA．−12 B．−14 5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.A．24个 B．36个 C．72个 D．60个6．已知等差数列{an}的公差不为0，设Sn为其前n项和，若A．2022 B．2021 C．2019 D．20157．已知a=e0.01−1A．c>b>a B．b>c>a C．b>a>c D．c>a>b8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点B为直线l：3x−2y+6=0与y轴的交点，点A是直线l上异于A．263 B．32 C．2二、多选题9．已知实数a、b、c满足a<2b<c，且a+b+c=0，则下列不等关系正确的是（）A．1ab>1bc B．a<b C．10．某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照[30，40)、[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，A．此次测试众数的估计值为85B．此次测试分数在[50，60)的学生人数为C．随机抽取的学生测试分数的第55百分位数约为80D．平均数m在中位数n右侧11．已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(x−3)=3，f(x−1)−g(−x)=1，若g(−x−1)为偶函数，则（）A．函数g(x)的图象关于直线x=−1对称B．g(−2)=2C．函数g(x)的图象关于点(−2，D．g(−1)+g(0)+g(1)=312．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为O1，O2，几何体Ω的外接球包含圆锥的顶点与底面圆周，以及圆柱的底面圆周．S点为圆O1上任意一点，AB为圆O2的一条弦，已知A．该组合体外接球表面积为64πB．存在S点使得PS⊥ABC．若SA⊥圆O2所在平面，A∈平面α，PS∥平面α，则平面α与圆柱OD．记直线SA，SB与圆O2所在平面夹角分别θ1，θ三、填空题13．复数z=(2−i)214．已知(x−1)4+2x515．在棱长为4正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P、Q分别是平面A1B1C1D116．已知m，n满足方程m2+n2=4，函数f(x)=x2−mx+2，g(x)=x四、解答题17．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5=15，（1）求数列{a（2）设bn=log2an18．在①3(b−ccosA)sinC=a，②ab=12(tanCtanB+1)，③（1）求C；（2）若△ABC的面积为183，D为AC的中点，求BD19．某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表.

良好以下良好及以上合计男8001100女100合计12001600附表及公式：P(0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中K2=n（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关；（2）将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ).20．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，三棱锥A1−AB1C（1）求点B到平面AB（2）若BB1=BA，且平面AB121．已知F1(−6，0)，F2(6，0)，点P满足|PF1|−|PF2|=8，记点P的轨迹为曲线（1）求斜率k的取值范围；（2）在x轴上是否存在定点M，使得无论直线l绕点F2怎样转动，总有|MA|⋅22．已知函数f(x)=x−(a+b)lnx−abx，（1）若b=−1，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)不单调，且f(1)<0.（i）证明：f(a)+f(b)<−2ln（ii）若f(x1)=f(x2

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】A={x∣−1<x<4}，B={2，3，4，5}A∩B={2，3}故答案为：B

【分析】根据交集的定义进行运算可得答案。2．【答案】C【解析】【解答】因为向量a=(−1，3)是直线l的一个方向向量，所以直线所以直线l倾斜角为2π3故“向量a=(−1，3)是直线l的一个方向向量”是“直线若直线l倾斜角为2π3，则直线l的斜率为−所以向量a=(1，−故向量a=(−1，3所以“向量a=(−1，3)是直线l的一个方向向量”是“直线所以“向量a=(−1，3)是直线l的一个方向向量”是“直线故答案为：C.

【分析】根据方向向量可求得tanθ，但已知直线倾斜角，直线的方向向量有无数个，可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】原函数在[−3，3]上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在(0，0)可知，导函数图象为D故答案为：D

【分析】根据导函数正负与原函数单调性关系，可得答案.4．【答案】A【解析】【解答】由tanθ=2sin2θ，有sinθcosθ=4∴cos2θ=2故答案为：A.

【分析】由正弦的倍角公式以及弦切关系化简可得cos5．【答案】B【解析】【解答】分两步：第一步：先对除1以外的3位数字进行全排列，有A3第二步：将两个1选两个空插进去有C4由分步计数原理可得：小明可以设置的不同密码有6×6=36种，故答案为：B

【分析】直接利用插空法和分步计数原理可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】设等差数列{an}的公差为d由S1=S8，得所以S==d所以数列{Sk}根据二次函数的对称性可知S1=S8，S2所以集合{x|x=Sk，故答案为：C

【分析】根据已知条件，推出a1=−4d且7．【答案】A【解析】【解答】设f(x)f'设φ(x)在(−1，0)上，φ'则在(−1，0)上，f'(x得−tan(−0.01)<−令g(x)当x<0时，g'(x)<0，当x>0时，g'(x∴当x=0时，g(x)取得最小值，有g(x∴a=e令h(x)=x−tanx，h'(x)=1−1cos2x，h所以c>b>a．故答案为：A

【分析】设f(x)=ln(x+1)−tan8．【答案】D【解析】【解答】若直线l与椭圆C有公共点时，△PAB的面积不存在最小值，不合乎题意，故直线l与椭圆C相离，联立3x−2y+6=0b2Δ=122×3设点P(acosθ，点P到直线l的距离为d==|6−3a2+4所以，dmax=6+因为△PAB面积最大值是它的最小值的5倍，则dmax=5d所以，3a2+4b2当且仅当3a=2b3a2+4所以，椭圆C的四个顶点构成四边形面积为S=1此时，c=a2−b2故答案为：D.

【分析】若直线l与椭圆C有公共点时，△PAB的面积不存在最小值，不合乎题意，直线l与椭圆C相离，把直线l与椭圆C方程联立，令△<0，可得3a9．【答案】B,D【解析】【解答】因为实数a、b、c满足a<2b<c，且a+b+c=0，所以，a+b+c=0>a+a2+a=a+b+c=0<c+c2+c=对于A选项，取a=−4，b=1，c=3，则1ab对于B选项，因为2b>a>2a，则a<b，B对.对于C选项，取a=−1，b=0，c=1，则ab对于D选项，因为2b<c<2c，可得b<c，由不等式的基本性质可得ab>ac，D对.故答案为：BD.

【分析】利用特殊值法可判断A，C；推导出a<0，c>0，结合不等式的基本性质可判断B，D.10．【答案】A,C【解析】【解答】对于A选项，由频率分布直方图可知，此次测试众数的估计值为80+902对于B选项，测试分数不低于80分的学生所占的频率为(0.所以，参加这次测试的学生总人数为540所以，此次测试分数在[50，60)的学生人数为对于C选项，前5个矩形的面积之和为(0.所以，随机抽取的学生测试分数的第55百分位数约为80，C对；对于D选项，m=(35+45)×0.前4个矩形的面积之和为(0.005×2+0.由中位数的定义可得0.35+(n−70)×0.02=0.故答案为：AC.

【分析】根据频率分布直方图的性质逐项进行判断，可得答案.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A：∵g(−x−1)为偶函数，∴g(x−1)=g(−x−1)，则g(x)的图象关于直线x=−1对称，A符合题意；对于B：∵f(x)+g(x−3)=3，将其中x变为x−1，则f(x−1)+g(x−4)=3⋯①，∵f(x−1)−g(−x)=1⋯②，由①−②得g(x−4)+g(−x)=2，令x=2则g(−2)+g(−2)=2，则g(−2)=1B不符合题意；对于C：由B中的证明得g(x−4)+g(−x)=2，即函数g(x)的图象关于点(−2，C符合题意；∵g(x)的图象关于直线x=−1对称，且g(−2)=1∴g(−2)=g(0)=1，∵f(x−1)−g(−x)=1，将其中x变为x+1，则f(x)−g(−x−1)=1⋯③，∵f(x)+g(x−3)=3⋯④，由④−③得g(x−3)+g(−x−1)=2，又∵g(x−1)=g(−x−1)，∴g(x−3)+g(x−1)=2，令x=2，则g(−1)+g(1)=2，则g(−1)+g(0)+g(1)=3，D符合题意；综上所述ACD符合题意，故答案为：ACD.

【分析】利用偶函数与对称的定义式将条件换元到需要条件，再逐项进行判断，可得答案.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A，设该组合体外接球的球心为O，半径为R，如图可知，过P，O1，O2的截面为五边形CDEPF，其中四边形CDEF为矩形，三角形在矩形CDEF中，有FO又FO=CO=R，O1O2=4，则所以该组合体外接球表面积为4πR对于B，作A'B'∥AB，且A'当S点为优弧A'B'由O1S⊥A'B对于C，连接AO，由SA⊥圆O2所在的平面，则SA∥PO，且SA=PO=4则四边形SAOP为平行四边形，则PS∥OA，所以OA⊂平面α，所以平面α与圆柱O1O2结合A可知圆O2的半径为23，则所以其长半轴为4，C不符合题意；对于D，作SS'⊥圆O2所在的平面，且如图，令S'A=a，又SS'=4，则直线SA，SB与圆O2所在平面夹角分别θ1=∠SAS所以cos结合A可知圆O2的半径为23，又AB=6，则在三角形当S'在劣弧AB上时，∠A此时36=AB2=a2所以cos当S'在优弧AB上时，∠A此时36=AB2=a2所以cos故cos故答案为：ABD．

【分析】在矩形CDEF中，有FO2−O1O2=CO2−(O1O2−O1O)2，则可求得O1O，进而求得该组合体外接球的半径R，再代入球的表面积公式即可判断A；显然当S点为优弧A'B'或劣弧A'B'的中点时，有PS⊥AB，可判断B；连接AO，则AO为平面α13．【答案】5【解析】【解答】由题，z=3−4i，则|z|=3故答案为：5.

【分析】化简z，再根据复数模的公式可求得答案.14．【答案】12【解析】【解答】解：令x+1=t，则x=t−1，故(x−1(t−2)4中t3的系数为C41(所以a3故答案为：12．

【分析】令x+1=t，直接根据二项式定理求解，可得答案.15．【答案】17【解析】【解答】解：由题知过点P作平面ABCD的垂线，垂足为P1连接P1|BP|=|P故|BP则|PQ|=|P若求|PQ|最小值，只需求|QP过点Q作AD的垂线，垂足为E，连接EQ，将平面ABCD拿出考虑，以AB中点为原点O，AB为x轴，过O作AB的垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：所以O(0，0)，因为|BP所以P1在以(2因为Q到直线AD距离等于|BQ|，即x+2=(x−2)化简可得y2即Q点在以B为焦点的抛物线上，在同一坐标系下画出两曲线图象如下：由图可知|QP故|PQ|min故答案为：17

【分析】连接P1P，P1B，PB，PQ，根据勾股定理可得若求|PQ|最小值，只需求|QP1|最小值，以AB中点为原点O，AB为x轴，过O作AB16．【答案】[1【解析】【解答】①当m=n时，y=g(x)②当m<n时，y=g(x)所以y=g(x)由m2+n所以x+2x不妨假设x>0，x<0同理可以求；所以y=g(x)f(x)的最大值为所以H(m，所以H(m，因为m，n满足m2所以(m，nH(m，而22−n22−m又m<n，所以kPA设直线kPA则PA：根据点到直线距离公式有：d=|0+0−2所以解得k=2+3（较大，舍）或k=2−所以2−3所以1<1所以1<H(m，③当m>n时，同理可证1<H(m，综上所述，则H(m，n)的取值范围为故答案为：[1，

【分析】分离常数后根据几何意义和均值不等式，以及圆的性质即可求解出H(m，17．【答案】（1）解：设公差为d，则S5=5a因为a1，a2，a4即(a1+d)因为d≠0所以d=a1代入a1所以an（2）解：bn所以T=(=n【解析】【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，根据题意可得S5=5a1+10d=15，(a1+d)2=a18．【答案】（1）解：选①时，3(b−c利用正弦定理得：sinB−由于B=π−(A+C)，所以sinB=故sinA又A∈(0，π)，sinA≠0因为0<C<π，故C=π选②时，ab=1由于A+C+B=π，所以sin(B+C)=即2sin又A∈(0，π)，sinA≠0，B∈(0故cosC=12，0<C<π选③时，csin利用正弦定理得：sinC又B∈(0，π)，整理得sinC=所以sinC=整理得tanC=3，0<C<π，故（2）解：由于△ABC的面积解得ab=72.在△BCD中，由余弦定理得B故BD≥6，当且仅当a=12b，即a=6，b=12【解析】【分析】(1)分别选取①，②，③，利用正弦定理和三角函数的恒等变换化简，即可求出C的值；

(2)利用面积公式可得ab=72，利用余弦定理和基本不等式，即可求出BD的最小值.19．【答案】（1）解：由题中的数据补充列联表可得：

良好以下良好及以上合计男8003001100女400100500合计12004001600K2故有95%（2）解：根据题意，体测结果等级为“良好及以上”的频率为14可知ξ的取值有0，1，2，3，4，ξ∼B(4，14)，记则P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=CP(ξ=3)=CP(ξ=4)=C则ξ的分布列为：ξ01234P8110854121所以ξ的数学期望E(【解析】【分析】(1)由题意求出列联表，求出K2，然后求解即可；

(2)由题意可知ξ的取值有0，1，2，3，4，ξ∼B(4，20．【答案】（1）解：设点B到平面AB1C因为AB=2A1B1，三棱锥所以三棱锥C−A1B所以三棱锥B1−ABC的体积为又由VB得13×h×S（2）解：由已知设A1B1则BB1=AB=2x取AB1的中点M，连接则BM⊥AB由平面AB1C⊥平面ABB1故BM⊥AC，又AC⊥AA1，从而AC⊥平面故AC⊥AB，AC⊥AB取AB中点N，则A1四边形A1B1从而△ABB1为正三角形，故AB又S△AVC−A1在平面ABB1A1内作A1在平面AB1C内，作GH⊥B1因为平面AB1C⊥平面ABB1所以A1G⊥平面AB1C所以A1又A1G∩GH=G，A1G⊂平面A1所以B1C⊥平面又A1H⊂平面所以B1则二面角A−B1C−在直角△GHB1中，故tan∠A1即所求二面角的余弦值为219法二：取AB1的中点M，连接BM，则由平面AB1C⊥平面ABB1故BM⊥AC，又AC⊥AA1，从而AC⊥平面故AC⊥AB，以A为原点，分别以AB，AC，设A1B1则BB1=AB=2x，AC=2y，取AB则A1B1=AN=x，四边形从而△ABB1为正三角形，故AB又S△AVC−A1则A(0，0，所以AB1A设面AB1C由n⋅AB1=0设面A1B1由m⋅A1B1故cos<即所求A−B1C−【解析】【分析】(1)由已知求得三棱锥B1−ABC的体积，再根据等积转化法求点B到平面AB1C的距离；

(2)证明AB，AC，AA1两两垂直后以AB，AC，21．【答案】（1）解：依题意|PF1|−|PF2|=8<|F则c=6，2a=8，a=4，b=c所以曲线C的方