数学优化训练：圆柱、圆锥、圆台和球

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。1.3圆柱、圆锥、圆台和球5分钟训练（预习类训练，可用于课前)1。一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为（）A。一个圆锥B.一个圆锥和一个圆柱C.两个圆锥D.一个圆锥和一个圆台解析:这里要注意转轴，可以自己先动手画一下，再结合旋转体的概念可知.答案：C2。过球面上两点可能作球的大圆个数是()A。有且只有一个B。一个或无数多个C。无数多个D.不存在这种大圆解析：若两点连线恰为球的直径，则得无数个大圆;若两点连线不是球的直径，则得一个大圆.答案：B3.平行于圆柱、圆锥、圆台底面的截面都是____________.答案：圆10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1.已知甲地在地球北半球,乙地在赤道上,由于地球自转,经一昼夜，甲地转过的路程是乙地转过路程的倍.则甲地在(）A。北纬30°圈上B.北纬45°圈上C.北纬60°圈上D.不能确定甲地纬度解：由乙地转过的路程为2πR,而甲地转过的路程为2πr，∴r=R,即.由cosα=,∴甲地在北纬30°.答案:A2.在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是(）图1—1—3—1解析：画图分析会比较直观形象，内接正三棱锥的圆柱的图形如图所示。答案：D3.如图1-1-3-2所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长为_____________。图1—1-3-2解：设圆台的母线为l，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r、4r,根据相似三角形的性质得，解得l=9。所以圆台的母线长为9cm。答案：9cm4.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）。在这4个球的上面放一个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是_____________.解析：五个球的球心O1，O2,O3，O4，O5组成正四棱锥O5—O1O2O3O4，过O5作O5P⊥面O1O2O3O4于P，则P是正方形O1O2O3O4的中心，连结O3P，则O3P=，则O5P==R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是2R+R=3R.答案:3R5。已知A、B、C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，那么A、B两点的球面距离为_____________,球心到平面ABC的距离为____________。解析：易知∠AOB=，A、B两点间的球面距离为πR;易知球心O在平面ABC的射影O′落在Rt△ABC的斜边AB的中点上，所以球心到平面ABC的距离OO′为R。答案：πRR30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.下列图形为圆柱体的是(）图1—1-3—3解析:圆柱的上下两个底面是相互平行并且完全相等的。答案:C2。已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球的同一侧，且相距为1，则这个球的半径为（)A。2B。3C。4解析：取球的轴截面，用平面几何知识得R=3。答案:B3。如图1—1-3—4所示，在地球北纬60°圈上有A、B两点，它们的经度之差等于180°，则A、B两点沿纬度圈上的弧长与A、B两点的球面距离之比为()图1-1—3—4A。3∶2B.2∶3C.1∶3解：设北纬60°圈的圆的半径为r，地球半径为R,则r=R.∴A、B两点沿纬度圈的弧长等于πr=πR,A、B两点的球面距离等于πR=πR.∴它们的比值为=3∶2.答案:A4。已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别是6π和8π，那么这两个平行截面的距离是____________.解析：分情况讨论:①若这两个平行截面位于球心的同侧,则可求得平行截面的距离等于1；②若这两个平行截面位于球心异侧,则可解得平行截面间的距离等于7.答案：1或75.地球上有甲、乙两个城市,甲在北纬30°、东经83°，乙在北纬30°、西经97°，这两个城市在纬度圈上的距离与它们在地球表面上的球面距离之比是____________.解：由题意可设北纬30°圈上圆的半径为r,地球半径为R,则r=R，则甲、乙两城市在北纬30°圈上的距离为πr=πR。而甲、乙两城市的球面距离为×πR=πR,∴它们的比值为∶，即∶4.答案：∶46。球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为4π,则这个球的半径为_____________.解:设球半径为R，小圆半径为r，则2πr=4π，所以r=2.如图，设球面上三点为A、B、C,O为球心，∠AOB=∠BOC=∠COA=。又因为OA=OB，所以△AOB是等边三角形，同样△BOC、△COA都是等边三角形,得△ABC为等边三角形，边长等于球半径R.设r为△ABC外接圆半径,则r=。答案：7.把地球当作半径为R的球，地球上A、B两点都在北纬45°的纬线上，A、B两点的球面距离是R，A在东经20°，求B点的位置.解：求B点位置即求B点的经度.设B点在东经α°或西经β°.∵A、B两点的球面距离是R.由∠AOB是知△AOB是等边三角形,∴AB=R。又AO1=BO1=AO·cos45°=R，∴∠AO1B=90°，则α=110°或β=70°.∴B点在北纬45°东经110°或北纬45°西经70°。答案：B点在北纬45°东经110°或北纬45°西经70°.8。如图1-1-3-5，AB⊥AE，CD∥AE，将五边形ABCDE绕AE边所在的直线旋转一周,由此得到的几何体是由哪些几何体构成的?你能否画出这个几何体的大致形状？图1-1—3-5解析：平面图形绕着一条直线(轴）旋转一周形成的曲面围成的几何体称为旋转体。答案：这个几何体是由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台构成的，大致形状如图所示.9。图1-1-3—6是由圆台和球构成的组合体,试指出这个几何体是怎样生成的？画出这个几何体的轴截面（过轴的截面）.图1—1—3-6解析：关于旋转体，不仅能由平面图形旋转出几何体来,也要能把几何体是由哪些平面图形旋转而来的复原出来.答