2022-2024北京初三一模数学汇编：平行四边形

2022-2024北京初三一模数学汇编

平行四边形

一、单选题

1.（2024北京东城初三一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（0,2）,B（-l,0）,C（2,0）为YABCD的顶

点，则顶点。的坐标为（）

A.（-3,2）B.（2,2）C.（3,2）D.（2,3）

二、解答题

2.（2024北京平谷初三一模）如图，在ASC中，=90°,AB^AC,点D为BC边中点，

DE，AB千E,作N£E）C的平分线交AC于点F,过点E作O尸的垂线交D尸于点G,交BC于点H.

（1）依题意补全图形；

（2）求证：DH=BE；

（3）判断线段即、与BE之间的数量关系，并证明.

3.（2024北京通州初三一模）如图，将线段AB绕点A逆时针旋转a度（0。＜。＜180。）得到线段AC,连

结3C,点N是的中点，点。，E分别在线段AC,3C的延长线上，且CE=OE.

⑴NEDC=（用含a的代数式表示）；

（2）连结2£＞,点尸为的中点，连接AF,EF,NF.

①依题意补全图形；

②若用等式表示线段行与CE的数量关系，并证明.

4.（2023北京东城初三一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完

成证明.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

已知：如图，点。，E分别是，ABC的边AB,AC的中点.

求证：DE//BC,S.DE=-BC.

2

5.（2023北京燕山初三一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完

6.（2023北京通州初三一模）如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,AB=BD=2CD,E为AB的中点，请

你用无刻度的直尺在图中画△ABD的边AO上的高线，小蕊的画法如下.请你按照小蕊的画法完成画图,

并填写证明的依据.

画法：

①连接ED,

②连接CE,交BD于点F,

③连接AF,交DE于点、P

④作射线3尸，交AD于点H,

/.3”即为所求△ABZ）的边AD上的高线

证明：

VAB=2CD,E为AB的中点，

,BE=CD.

•：ABCD,

二四边形EBCD是平行四边形.____________________________

.,.点P是8D中点.•

:.AT、DE是的中线

，是AAfiD的中线

■/AB=BD

：.BH是AD边上的高线..

7.（2022北京大兴初三一模）如图，在平面四边形ABC。中，点E,尸分别是43,CD上的点,

CF=BE.

（1）求证：四边形是平行四边形；

⑵若NA=60。，AD=2,AB=4,求8。的长.

8.（2022北京海淀初三一模）在Rt45c中，ZABC=90°,ABAC=30°.。为边BC上一动点，点E在

边AC上，CE=CD.点。关于点8的对称点为点尸，连接AD,P为的中点，连接PE,PF,EF.

图1图2

(1)如图1,当点。与点8重合时，写出线段PE与/¥■之间的位置关系与数量关系；

(2)如图2,当点。与点8,C不重合时，判断(1)中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若

不成立，请举出反例.

参考答案

1.C

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，勾股定理，设点。的坐标为(私办，由平行四

0+2-1+m

22

边形对角线中点坐标相同可得,解方程即可得到答案.

2+00+n

—亍

【详解】解：设点。的坐标为

0+2-1+m

22

由平行四边形对角线中点坐标相同可得

2+00+〃

I22

m=3

n=2

；.点。的坐标为(3,2),

故选：C.

2.(1)见解析

(2)见解析

⑶BE?+HC?=DF?,见角军析

【分析】(1)根据题意补全图形即可;

(2)通过ASA证明EDG经HDG,得到=根据题意易得/3=45。，由DEIAB,可得△BDE

为等腰直角三角形，于是BE=DE=DH；

(3)过点尸作/W_LCD于点N,得DE为ABC的中位线，则比＞=CD,根据三角形内角和定理求得

ZCDF=ZCFD=67.5°,于是CD=CF=BD,进而CN=FN=BE=DE=DH,以此得出

CD-DH=CD-CN,即C"=DN,在RtDFN中,利用勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)解：补全图形如图所示.

:"EDG=ZHDG,

EH±DF,

:.NEGD=NHGD=90°,

在/XEDG和aHDG中,

NEGD=NHGD,DG=DG,/EDG=/HDG,

EDG空印9G(ASA),

在ABC中，ABAC=90°,AB=AC,

.1ABC为等腰直角三角形，

.-.ZB=45°,

又-DELAB,即NDE3=90°,

工以定为等腰直角三角形，

:.BE=DE=DH.

(3)解：HC2+BE2=FD2,证明如下:

如图，过点P作FNLCD于点N,

则CRV为等腰直角三角形，

ZDEB=NCAB=90°,

DE//AC,

又・E为48的中点，

:.DE为A5C的中位线，

BD=CD,

NBDE=45。,

ZCDE=135°,

DF再分/EDC,

;./EDF=/CDF=675。,

ZC=45°,

:./CFD=180°-ZCDF-ZC=67.5°,即ZCDF=ZCFD,

：.CD=CF=BD,

:.CN=FN=BE=DE=DH,

:.CD-DH=CD-CN,即CH=Z)N,

在RtDFN中,由勾股定理得。力+对2=£＞产，

HC2+BE2=FD~.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定于性质、三角形中位线定理、角平分

线的定义、勾股定理，解题关键是利用等腰直角三角形的性质将目标线段转化到直角三角形中，再根据勾

股定理解决问题.

3.(1)90°-1«

(2)①见解析；②CE=^NF，证明见解析

【分析】本题考查了根据条件画图，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形

等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

(1)根据旋转和题意即可得出NC£>E=NDCE=NACB=90O-：a；

(2)①根据题意画出图形即可；

②延长"至点使~0=诙，连接证明四边形为平行四边形，证明

VACEaMDE,算出&=90。，ZECD=NEDC=45。,结合三角形中位线定理即可求解；

【详解】(1)ZA=a,

由旋转得AB=AC,

1QAO_a1

ZABC=ZACB=--------=90。——a,

22

•：CE=DE,

：.ZCDE=ZDCE=ZACB=90°--a.

(2)①补全图形如图:

②延长"至点M,使府=诙，连接

;点F为线段中点，

四边形ABMD为平行四边形,

:.AB//DM,AB=DM,

ZBAC+ZADM=180°,

,\ZADM=lSQ°-af

AF1EF,

:.AE=ME,

又QAB=AC,EC=ED,

:.AC=DM,

・•..ACE-MDE(SSS),

ZMDE=/ACE=180°-ZACB=90。+L,

2

/.ZADM=ZMDE-ZCDE=90°+-a-\900--a\=a

2I2)f

..180°-a=a,

/.a=90°,

:・NECD=NEDC=45。,

•*-CD=yfl.CE，

为BC中点，尸为8D中点，

，NF是：BDC中位线,

:.CD=2NF,

CE=®NF.

4.证明见解析

【分析】方法一，证明一皿也.CEF(ASA),则DE=£F,CF=AD,DE=^DF,CF=BD,证明四边

形8CTO是平行四边形，则。尸〃BC,DF=BC,进而结论得证；

方法二，证明△AED=△(?£1尸(SAS),则Cb=AD,ZCFE=ZADE,AD//CF,证明四边形DBCN是平

行四边形，则止=3C,DF//BC,进而结论得证.

【详解】方法一，证明：：点。，E分别是ABC的边AB,AC的中点，

**•AE=CE，AD=BD，

CF//AB,

：.ZA=ZFCEf

■:ZA=/FCE,AE=CE,ZAED=NCEF,

.AED^.CEF(ASA),

/.DE=EF,CF^AD,

：.DE=-DF,CF=BD,

2

.四边形BCTO是平行四边形,

:・DF〃BC,DF=BC,

：.DE//BC,DE=-BC；

2

方法二，证明：・・•点E分别是的边AB,AC的中点，

AAE=CE,AD=BD,

*.*AE=CE,XAED=/CEF,AD=BD,

.・・(SAS),

ACF=AD,ZCFE=ZADE,

：.AD//CF,CF=BD,

・••四边形DBCF是平行四边形,

：.DF=BC,DF//BC,

,/DE=-DF,

2

DE//BC,DE=-BC.

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线.解题的关键在于对知

识的熟练掌握与灵活运用.

5.证明见解析

【分析】方法一：先证明.AED空CE尸得到AD=CEZADE=ZCFE,得到AD〃CF,再证明四边形

BCFD是平行四边形，得到。尸=3C,DF//BC,则。E=工。/=,即可证明DE〃BC,且

22

DE=-BC.

2

方法二：同理可证ZXAE尸经ACEG得到CG=AF,NAFE=NCGE,再证明四边形ABGB是平行四边形，

得到AB=Gb,进一步证明四边形BDEG是平行四边形，得至IJDE〃台G,DE=BG,即可证明。E〃3c且

DE=-BC.

2

【详解】方法一：证明：如图，延长OE到点产，使EF=DE,连接尸C,DC,AF,

是AC的中点，

AE=CE,

又,：DE=FE,ZAED=ZCEF,

：.AAED丝△CEF(SAS),

/.AD=CF,NADE=NCFE,

：.AD//CF,

•.,。是AB的中点，

AD=BD=CF,

四边形BCFD是平行四边形，

:.DF=BC,DF//BC,

•：DE=FE,

：.DE=-DF=-BC,

22

：.DE//BC,且r>E=LgC.

2

方法二：证明：如图，取BC中点G,连接GE并延长到点产，使EF=GE,连接AF.

同理可证"即经△CEG,

ACG=AF,/AFE=NCGE,

：.AF//CG,

是BC中点，

BG=CG=AF,

...四边形ABGF是平行四边形，

AB=GF,

•；D,E分别是AB,的中点，

BD==AB=GE=-GF,

22

BD=GE,

又•:BD//GE,

.•.四边形BDEG是平行四边形，

DE//BG,DE=BG,

：.DE〃BCS.DE」BC.

2

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，正确理解题意是解题的关

键.

6.见解析

【分析】先根据题意画图，然后根据已知条件填写依据即可.

【详解】

VAB^2CD,E为AB的中点,

BE=CD.

,/ABCD,

，四边形EBCD是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

，点尸是8。中点.（平行四边形对角线互相平分），

AF.DE是△ABZ）的中线，

/.3"是的中线，

AB=BD,

A3,是边上的高线.（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）.

【点睛】此题考查平行四边形的性质与判断和等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件灵活使用平行

四边形的性质和判定.

7.（1）证明见解析；

（2）2A/3.

【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形AEFD是平行四边形；

（2）过点。作。GLA8于点G,利用已知条件和锐角三角函数以及勾股定理即可求出8。的长.

【详解】（1）解：：四边形ABC。是平行四边形，

：.AB^D5.AB=CD,

"：CF=BE,

：.AB-BE=CD-CF,即AE=DF

四边形AEFD是平行四边形；

（2）解：如图，过点。作DGLAB于点G.

ZAGD=90°,

'：ZA=60°,：.ZADG=30°,

\"AD=2,：,AG=1,

：.DG=722-l2=G，BG=AB-AG=3,

:.在RfADGB中，

BD=VDG2+BG2=7（^）2+32=2港.

【点睛】本题考查平行四边形与直角三角形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质和判定、直角三角形

的性质及勾股定理的应用是解题关键.

8.（1）PE±PF,—=—

PF3

（2）成立，证明见解析

【分析】（1）由题意知。,反尸三点重合，则CD=3C,PF=PD=PB,含30。的直角三角形中

BC=^-AC,由CE=CD,可知CE=C£>=2C=1AC,PE是"DC的中位线，有PE工PF,

22

PE=-CD=-BC,PF=>AB=&C,然后求出比值即可；

2222

(2)如图2,连接OE,作PM13C于M,PG〃尤轴，过E作GN_L3c交BC于N,交PG于G,由题

意知，是△ABD的中位线，BD=FB,CDE是等边三角形，四边形PAWG是矩形，设DC=c,

FD=BD=b,则==AB=«伍+c),PM=^(b+c),BM=g,FM=^b,

DN=-DC=^-c,EN=—c,GE=PM-EN=—b,PG=MN=-(b+c),

22222V'

FN=FB+BD+DN=2b+^c,在4△PR以中，由勾股定理得尸产=+PA〃，求出用4,人表示的

P产的值，在放△PEG中，由勾股定理得P£2=GE2+PG2,求出用a,6表示的尸炉的值，在QEFN

pp2PE

中，由勾股定理得取2=硒2+引Vz,求出用a,6表示的E产的值，求出可得%的值，进而可得卡的

PF-PF

值，根据PE2+PF2与EF2的数量关系判断PE与PF的位置关系即可.

【详解】(1)解：PELPF,-=^-.

PF3

理由如下：由题意知。，昆尸三点重合

：.CD=BC,PF=PD=PB

VZABC=90°,ZBAC=30°

：.ZACB=60°,BC=-AC

2

•：CE=CD

CE=CD=BC=-AC

2

...E为线段AC的中点

尸是AD中点

PE是△ADC的中位线

/.PE=-CD^-BC,PELPF

22

：-PF=-AB=—BC

22

PF-BCA

PE_2_，3

••PF一6一3-

----£)C

2

⑵解：PE"器邛的关系仍成立.

证明：如图2,连接DE,作人3c于M,PG〃尤轴，过E作GV,3c交BC于