2023-2024学年度上学期高一数学期中考试试卷（含答案）

2023-2024学年度上学期高一数学期中考试

（时间120分钟，共150分）

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项.）

1.已知集合人-I},集合於岗—},则如於（）

A{T0,1,2}B{-1,0,1}c{0,2}D{-1}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集含义即可得到答案.

【详解】根据交集含义即可得到/n'={—1，°，1},

故选：B.

2.命题：▼》€凡》+|刈20的否定为（）

AmxeR,x+|x|<0B3xe7?,x+|x|<o

C3xe7?,x+|x|<0DG7?,x+|x|>0

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，

可得命题“Vxe7?,x+|x|>0"的否定为"3xe7?,x+1x|<0„

故选：C.

3,若函数"x）的定义域为[T3],则函数/（I）的定义域为（）

A.昌2]B,[-2,3]c[-1,2]D[-1,3]

【答案】A

【解析】

【分析】根据抽象函数定义域求解即可.

【详解】由题意，要使函数/（JX）有意义，

则一1<1-x<3,即一2WxW2,

所以函数/（I-X）的定义域为『2,2]

故选：A.

4.若0<x<4,则Jx（4-x）有（）

A.最小值°B.最大值2C.最大值班D.不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】结合二次函数的性质求解即可.

【详解】由Z4T）=J7+4X,

因为函数y=一X2+4x的对称轴为X=2,

且在（°'2）上单调递增，在（2,4）上单调递减,

、„（-X2+4X）=4

当X—2时，V41ax,

当x=0或4时，—X2+4X=0

所以当0<x<4时，0<一炉+4》44,

所以0<飞-x2+4x<2,

即函数JM"x）有最大值2,无最小直

故选：B.

5,已知函数"2》+1）=41,则/G）=（）

A.1B,2c,4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】通过换元法求得了（刈的解析式，代入即可.

【详解】因为/（2x+l）=r+l,令2x+l，x-三

所以〃3)=2.

故选：B

6.若定义在R的奇函数/（X）,若x<0时/G）=-x-2,则满足犷GO,°的x的取值范围是（）

A(-^-2)U[0,2](一双-2)U(2,+“)(-CO,-2]O[0,2][-2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】求出x<°时，/0)<0、/(x)>°和〃x)=°的解，再由奇函数性质得出x20时，

/(x)<0、/(x)>°和/(x)=°的解，然后分类讨论解不等式切(%)之°可得.

x

[详解]当x<0时，/()=-x-2,x<—2时，/(x)〉0,—2<x<0时，/(x)<0,/(-2)=0,

又〃x)是奇函数，所以0<x<2时，/(x)>0,》>2时，/0)<0,且/(0)=/(2)=0,

x>0x<0

xf(x)>0o<

不等式J(x)4。或x=0,所以0<x<2或-2Wx<0,

综上—2<x<2.

故选：D.

42]_

7.已知。=23,b=45,c=25\则

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【详解】因为"23=163,6=45=165,c=253,

1

_3

因为暴函数V=x在R上单调递增，所以a<。,

因为指数函数V=16'在R上单调递增，所以b<a,

即以*C.

故选：A.

(1-2m)x+1-m,x<0

/(%)=<

-X2+(«-2)X,X>0满足对任意国,“R,且92,都有

8.若函数

/(xj-/(%)<0

再

-x2成立，则实数加的取值范围为()

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可知，分段函数/（“）在定义域上单调递减，分别限定各函数的单调性以及端点处的取值

即可求出实数加的取值范围.

【详解】根据题意可知，函数在R上单调递减，

l-2m<0

*VO

21।

mi、1中、开口（l-2m）x0+l-m>0—<m<l

所以需满足〔I7,解z得2

即实数加的取值范围为12」.

故选:A

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部选对得5分，

部分选对得2分，有选错或不选得0分.）

9.下列各组中屈，户表示相同集合的是（）

A={3,-1},P={-1,3}

BM=-[x|x|=2n,neZ1,P=x=+eZ}

CM=^y\v|=x2+l,xeR1,P=x=t2+l,tER|

DM=^y\j|=x2-l,xeR},P=j=x2-l,xeR}

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.

【详解】对于A,集合"，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是

相同集合，A是；

对于B,因为〃eZ,则〃+leZ,因此集合河，P都表示所有偶数组成的集合，B是；

对于C,M={O=x2+l”R}=[l,+e）,P=*x=〃+i/eR}=[l,+”）,即凶=尸，c是;

对于D,因为集合M的元素是实数，集合尸中元素是有序实数对，因此集合M,尸是不同集合，D不是.

故选：ABC

10.下列计算正确的是（）

AV^9=V3R2=-理（X>0）

396=1

C.若3,则a+23=—1D.若。+。-1=4,则。2+。-2=14

【答案】ACD

【解析】

【分析】由分数指数塞与根式互化运算，指数与对数互化运算逐一判断每一选项即可.

1

I—21

VV9=（32）=3三=g

【详解】对于A,因为L」，故A正确;

1

对于B,因为炉=取6>°）,故B错误;

4fl2a+2b

30.9=3-(3j=3=-a+2Z)=log3-=-l

对于C,因为V3,所以一3,故c正确;

a+=a+—=4+a~2=a2-\—-={a-\—j—2=42—2=14

对于D,因为。，所以aa）,故D正确.

故选：ACD.

/（》）=/2I）

11.在实数范围内，使函数7ax--2ax+2的定义域为R的一个充分不必要条件可能是（）

A.0〈。<2g0<a<2Q1<a<2p0<a<2

【答案】CD

【解析】

【分析】由题意可得al-2ax+2〉0对于xeR恒成立，结合二次函数性质可求得实数。的取值范围,

进而根据充分不必要条件的定义求解即可.

/（X）72；3口

【详解】由函数7ax-2ax+2的定义域为R,

可知。必一2ax+2>0对于xeR恒成立,

当。=0时，2>°,恒成立；

a>0

<

当q70时，［A=4矿—8<7<0,即0<。<2,

综上所述，°〈a<2,

根据充分不必要条件的定义可知，

满足题意的有°<a<2.

故选：CD.

12.已知正实数口力满足=a+6+3,贝|（）

A.0+3的最小值为6

B.的最小值为3

1工12

——十———

C.ab的最小值为3

D."+2）的最小值为8

【答案】AC

【解析】

【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式解法判断AB；由的范围结合单调性判断C；变形给定

等式，利用基本不等式求解判断D.

［详解］正实数°/满足ab=a+6+3,

,,_a+b2

对于A,。+〃+3=助-（亍），则（a+b）2—4（a+b）_12N0,即（a+6—6）（。+6+2）20,

解得a+b»6,当且仅当。=6=3时取等号，所以6的最小值为6,A正确；

对于B,ab=a+b+3>14ab+3；贝°—3）（7^+1）20,解得23,即

当且仅当。=6=3时取等号，所以ab的最小值为9,B错误；

11a+bab-3332

——i——~~-----------------------।——।————

对于C,由选项B知，ab>9,abababab~93,

1+12

所以当a=b=3时，a石取得最小值3,c正确；

d-------->u,

对于D,由仍=。+6+3,得（"1）（6-1）=4,而6―1,则

。+2b=—1）+2s—1）+322yJ（a—1）-2（b—1）+3=4>/2+3当且仅当a—1—2（b—1）时取等号

由［（a—1）（'-1）=4,解得4=275+1力=应+1,所以当a=2/+1力=亚+1时，a+2》取得最小

值4A历+3,D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、"拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的

“一正”、“二定”、“三相等”的条件.

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知函数/（"）=（疗一2"—2）""2是幕函数，且在（°，+"）上递增，则实数加=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据系数为1得到方程，求出机=3或-1,结合单调性舍去加=T,得到答案.

【详解】由题意得病一2机-2=1,解得机=3或一1,

当机=3时，/O1在（°，+”）上递增，满足要求，

当加=T时，在（°，+"）上递减，不合要求，

故机=3.

故答案为：3

14.函数/（x）=2-6'”的单调递减区间为.

【答案】（一叫3）（或（一叫3］）

【解析】

【分析】根据指数型复合函数的单调性判断即可.

【详解】因为了=/—6x+5在（-叫3）上单调递减，在（3，+°°）上单调递增，

y=在定义域R上单调递增，

所以，（x）=2-在（-叫3）上单调递减，在（3，+°°）上单调递增，

即函数，（x）=2,-6"的单调递减区间为（一°°，3）.

故答案为：（一口㈤（或（一叫3]）

15.已知命题尸：三%>°,必一4%一加=0.若命题尸为假命题，则实数加的取值范围是.

【答案】（一叫一寸

【解析】

【分析】写出命题的否定，则为真命题，从而得到八<°,即可求出参数的取值范围.

[详解]命题尸：Ex>0,x2-4x-m=0,

则一LP.Vx>0,一—4、一加。o,

因为命题P为假命题，所以命题「0为真命题，

所以A=G4）一4x（-机）解得也<—4,

即实数切的取值范围是G叫一4）.

故答案为：（一叫一牛

16.定义区间（“）），（见%,卜力]的长度均为d=6一°,多个区间并集的长度为各区间长度之和，例

如（1,2）Up,5）的长度.=（2T）+（5—3）=3,设/（x）=[x>{x},g（x）=l,其中旧表示不

超过x的最大整数，例如[1.3]=1,口.4]=-2；[3]=3,{X}=x_[x].若用d表示不等式“x”g（x）解集区

间的长度，则当xe『2021,2021]时，d=；

【答案】2023

【解析】

【分析】根据M_X<[小1将/（X）士g（%）化为MT）'之团T,对[x]T按三种情况进行分类

讨论求得不等式的解集，从而可求得

【详解】因为㈤表示不超过x的最大整数，所以—凶<1,即IX|Wx<IXI+l,

不等式/（X）2g（X）即H-（X-M）-XT等价于[小-[x^>x-l

即（IX|T）x4]2T=（同+1）（卜]-1）（*）

①当国T〉°,即x22时，不等式（*）化为x"IXI+l,即%—国、不成立.

②当［x］T=°,即l4x<2时，不等式（*）恒成立.

③当国T<°,即x<l时，不等式（*）化为“<国+1恒成立.

所以不等式/（x）2g（x）在区间［—2021,2021］上的解集为［-2021,2）,

67=2-（-2021）=2023

故答案为：2023

【点睛】

函数新定义的题目，解题关键点是围绕着新定义的概念和运算进行分析.

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

0=RN=_4x+3<o}B=-（r||x-3|<1jC=<x<a+l,aeR|

⑴分别求/cB,"DQB）；

（2）若8nc=c,求实数。的取值范围.

【答案】⑴{xl2<x-3},{依3或.4}

【解析】

【分析】（1）先求出集合48,进而根据交集、并集及补集的定义计算即可；

（2）由题意可得0口8,进而结合包含关系求解即可.

【小问1详解】

因为/二g,一41+3Vo}=<x«3}5=卜］,一3］<1}二9口<%<4}

所以"八闵2<心3},

又阜八卜屋2或24},

所以入&5）={43或x"}.

【小问2详解】

因为8nc=c,所以o,

a>2

<

所以即2<a<3,

所以实数。的取值范围为(2,3).

18.求证：=ab+ac+，c是ANBC是等边三角形的充要条件.(这里a,b,c是A48C的三

边边长).

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据充分性与必要性定义证明即可.

【详解】先证明充分性：

由。2+/+。2=处+ac+bc,

彳氏2(a2+Z?2+c2)=lab+lac+2bc

整理得，(a-^y+g—cy+p-c)2=o,

所以q=b=c,即A4SC是等边三角形.

然后证明必要性：

由AABC是等边三角形，则a=6=c,

所以/+Z>2+，=ab+ac+bc

综上所述，=ab+ac+bc是△48C是等边三角形的充要条件.

19.已知函数/(X)是定义在R上的增函数，并且满足/(x+y)=/(x)+/8),〃l)=4.

(1)求/(°)的值.

(2)判断函数/(X)的奇偶性.

(3)若/'(2X+3)-/(X)08,求x的取值范围.

【答案】(1)0;(2)奇函数；

(3){小<4}.

【解析】

【分析】(1)令x=J=°,即可得答案；

(2)令尸一x,结合⑴的结论即可判断；

(3)由题意可得/Q)=8,/(2X+3)-/(X)=/(X+3),则原不等式等价于〃x+3)<〃2),由/(%)是定义

在R上的增函数求解即可.

【小问1详解】

解：令尸产0,得/(0)=/(0)+/(0),解得“0户0；

【小问2详解】

解：因为函数/(X)的定义域为R,

令尸一X,

则有f(x-x)=f(x)+/(-x),即/(x)+/(-x)=0,

函数/(x)为奇函数，

二/a)为奇函数；

【小问3详解】

解：因为/(D=4,

所以/(2)=/。+1)=4+4=8,

又因为/(2X+3)-/(X)D8,

即有/(2X+3-X)</(2),

即/(x+3)<〃2),

又因为/(x)为增函数，

1+3<2,

解得X<—1,

故X的取值范围为{Rx<-1}.

20.已知函数歹=+(2—a)x—2a+6,a,bGR

⑴若函数值”。时，其解集为仲<x<2},求〃与6的值；

(2)若关于x的不等式歹<6的解集中恰有两个整数，求实数a的取值范围.

a=5

<

【答案】⑴['=12；

⑵{4-5Wa<-4或0<立1}.

【解析】

【分析】（1）根据二次不等式的解法及韦达定理即得；

（2）分。<-2,a>-2,。=-2讨论，然后结合条件即得.

【小问1详解】

由题意可知一+（2—©X—2。+A<0的解集为种<%<2},

1+2=。-2

所以11x2=—2a+b,

Q=5

即\b=n.

【小问2详解】

由+（2-q）x-2。+6<6可得（¥+2）（1-。）<0

①当。<一2时，不等式的解集为岗"<”<—2},

若y〈”的解集中恰有两个整数解，则-5Wa<-4；

②当a>一2时，不等式的解集为岗―2<“<"},

若的解集中恰有两个整数解，0<«<1,

③当。=-2时，不等式的解集为0,不合题意；

综上所述，实数〃的取值范围是M-5<a<-4或°<°<1}.

21.使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏

产业”.某农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节约成本，计划修建一个可使用16年的光伏电站，

并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）是关于面积X（单位：m~）的正比例函数，比

例系数为°12.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电.设在此模式下，

k

当光伏电站的太阳能面板的面积为X（单位：m2）时，该合作社每年消耗的电费为X+50（单位：万元,

无为常数）.记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和为厂（单位：万元）.

（1）求常数后的值，并用x表示少；

（2）该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使厂最小?并求出最小值.

「19200八，.

F=------+0.12%

【答案】⑴左=1200,x+50,x>0

（2）修建350m2的太阳能面板可使少最小，咒的最小值为90万元

【解析】

【分析】（1）根据题意求出后的值，进而建立函数模型运算即可得解；

（2）利用函数模型、基本不等式运算即可得解.

【小问1详解】

由题意，当x=0时，0+50,解得左=1200,

120019200

F=16x+0.12x=+0.12x

所以x+50x+50x>0

【小问2详解】

八鬻+°•-鬻+。』2（'+5。）-6。鬻x0』2（x+50）—6=90

因为

^^=0.12（x+50）

当且仅当x+50,即x=350时，等号成立，

所以该合作社应修建35°m2的太阳能面板，可使少最小，F的最小值为90万元.

22.已知函数8（"）=根“2鹏+1+〃，侬>0）在区间［1,2］上有最大值o,最小值一

（1）求实数冽，〃的值；

（2）存在xe［0」］,使得g（2、）+一'2'”^°成立，求实数后的取值范围；

（3）若〃G）=（"l*+3x,且/（x）=g（x）+〃（x）,如果对任意向。1］都有1/（小1,试求实数

a的取值范围.

【答案】（1）加=""=T

（11

②I4」

（3）卜2,0］

【解析】

[g（l）=T

【分析】（1）根据二次函数gO的单调性可得[gQ）=°,进而求解即可；

（2）令2'='（y2）,由题意转为问题为