新高考数学二轮复习讲义专题21 双曲线（原卷版）

专题21双曲线【考点专题】1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)【方法技巧】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出SKIPIF1<0，从而求出SKIPIF1<0;构造SKIPIF1<0的齐次式，求出SKIPIF1<0;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解．2.轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量（3）求轨迹方程相关点法：（1）分析题目：与动点SKIPIF1<0相关的点SKIPIF1<0在已知曲线上；（2）寻求关系式，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入已知曲线方程；（4）整理关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系式得到SKIPIF1<0M的轨迹方程【核心题型】题型一：待定系数法求双曲线方程1．（2023春·贵州·高三校联考）已知双曲线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的左支相交于SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的右支相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若四边形SKIPIF1<0为平行四边形，以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的两条渐近线均和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，且双曲线的右焦点为圆SKIPIF1<0的圆心，则该双曲线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：相同渐进性求双曲线方程4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<05．（2020·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的渐近线相同，则曲线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2018秋·安徽池州·高三统考期末）双曲线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0关于一条渐近线SKIPIF1<0的对称点恰为左焦点SKIPIF1<0，则该双曲线的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型三：直接法求离心率7．（2023·陕西榆林·统考二模）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左、右焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023·河南·统考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线上的点，且线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在另一条渐近线上．若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<09．（2023·新疆·统考一模）已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的左焦点，过点SKIPIF1<0的直线与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之间），与双曲线SKIPIF1<0在第一象限的交点为SKIPIF1<0为坐标原点，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型四：构造齐次方程求离心率10．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）过双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左焦点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线，切点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交双曲线右支于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的一条渐近线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A是双曲线C的左顶点，以SKIPIF1<0为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2题型五：渐进性的综合问题13．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知双曲线SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0过双曲线SKIPIF1<0的右焦点且斜率为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0轴下方）,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2021·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上，且SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为F，两条渐近线分别为SKIPIF1<0，过F且与SKIPIF1<0平行的直线与双曲线C及直线SKIPIF1<0依次交于点B，D，点B恰好平分线段SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2题型六：利用自变量求离心率范围问题16．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）直线l与双曲线SKIPIF1<0的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右焦点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2020·全国·高三专题练习）双曲线SKIPIF1<0上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝θ，且SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率的取值范围为（

）A．(1，SKIPIF1<0＋1] B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．[SKIPIF1<0，＋∞)题型七：双曲线的综合问题19．（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，A为垂足且位于第一象限，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形SKIPIF1<0（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知SKIPIF1<0是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和为1，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.20．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，SKIPIF1<0，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．21．（2023·安徽安庆·校考一模）在直角坐标平面中，SKIPIF1<0的两个顶点的坐标分别为SKIPIF1<0，两动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线.(1)求SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0的轨迹方程；(2)若过点SKIPIF1<0的直线与（1）的轨迹相交于SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的取值范围.(3)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.【高考必刷】一、单选题22．（2023·陕西商洛·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0的左顶点为A，右焦点为F，点M在双曲线C上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2023·河南焦作·统考模拟预测）设双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，则直线SKIPIF1<0斜率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2023·山东威海·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则C的渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2023·重庆·统考二模）SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左SKIPIF1<0右焦点，点SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0右支上一点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．（2023·湖北·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<027．（2023·江西赣州·统考一模）已知点SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上运动.当SKIPIF1<0的周长最小时，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在xOy平面内，双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过左顶点A且斜率为SKIPIF1<0的直线与渐近线在第一象限的交点为M，若SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<029．（2023·河南·校联考模拟预测）设双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段SKIPIF1<0与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则双曲线E的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题30．（2023·湖南·模拟预测）已知O为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线E：SKIPIF1<0的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若SKIPIF1<0，双曲线E的离心率为SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．双曲线E的标准方程为SKIPIF1<0B．双曲线E的渐近线方程为SKIPIF1<0C．点P到两条渐近线的距离之积为SKIPIF1<0D．若直线SKIPIF1<0与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则SKIPIF1<031．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，则（

）A．双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0B．双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，双曲线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0没有公共点D．当SKIPIF1<0时，双曲线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恰有两个公共点32．（2023·全国·高三）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左、右焦点，SKIPIF1<0的一条渐近线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在第一象限上的点，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0则下列正确的是（

）A．双曲线的方程为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<033．（2023·山东菏泽·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的左､右两支分别交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，下列命题正确的有（

）A．当点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点时，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三、填空题34．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）抛物线SKIPIF1<0的焦点与双曲线SKIPIF1<0的右焦点的连线交SKIPIF1<0于第一象限的点M，若SKIPIF1<0在点M处的切线平行于SKIPIF1<0的一条渐近线，则SKIPIF1<0__________．35．（2023·辽宁·校联考一模）过双曲线SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0