新高考数学二轮复习讲义专题04 函数及其性质（原卷版）

专题04讲：函数及其性质【考点专题】1．函数函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数记法函数y＝f(x)，x∈A2.函数的三要素(1)定义域：x的取值范围；(2)值域：y的取值范围.(3)对应关系f：A→B.3．相等函数：定义域、对应关系都一致.4．函数的表示法：解析法、图象法和列表法．5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．6．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．7．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值8．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称9．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(3)函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．10．对称性对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称．(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称．【方法技巧】1．求函数值域的一般方法：①分离常数法；②配方法；③不等式法；=4\*GB3④单调性法；=5\*GB3⑤换元法；=6\*GB3⑥数形结合法；=7\*GB3⑦导数法．2．确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．3．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．4．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．【核心题型】题型一：求函数的定义域1．（2012·山东·高考真题（文））函数SKIPIF1<0的定义域为（）A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2]C．[－2，2] D．(－1，2]2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2011·河北衡水·三模（理））已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．题型二：求函数的值域4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数.例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全国·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___________.题型三：复合函数的单调性7．（2022·全国·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2020·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（理））设函数SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0成立的x的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2019·福建省长乐第一中学高一阶段练习）函数SKIPIF1<0的单调递减区间为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型四：根据函数的单调性与奇偶性解不等式10．（2020·全国·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在R上的偶函数,且在区间SKIPIF1<0单调递增.若实数a满足SKIPIF1<0,则a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2022·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0为定义在R上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则满足不等式SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型五：奇偶函数对称性的应用13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的零点的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．914．（2022·全国·高一课时练习）设SKIPIF1<0为定义在R上的函数，函数SKIPIF1<0是奇函数.对于下列四个结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称；④函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称；其中，正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．415．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数且满足SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型六：函数周期性的应用16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．517．（2019·全国·高三专题练习（文））定义在SKIPIF1<0上的偶函数SKIPIF1<0满足：对任意的实数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的值为（）A．2017 B．1010 C．1008 D．218．（2009·山东·高考真题（理））已知定义在R上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且在区间SKIPIF1<0上是增函数,若方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有四个不同的根，则SKIPIF1<0题型七：由函数对称性求函数值或参数19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2022·全国·高一课时练习）设定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0，满足对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称，且满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型八：不等式恒（能）成立问题22．（2021·浙江·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0恒成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分不必要条件23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若对于任意的实数x，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2022·广西·桂电中学高三阶段练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______________．26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域是___________.设函数SKIPIF1<0，若对于任意实数SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___________27．（2020·全国·高二课时练习（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_________.【高考必刷】一、选择题1．（2007·江西·高考真题（文））函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2013·山东·高考真题（文））函数SKIPIF1<0的定义域是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全国·高一单元测试）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2007·湖北·高考真题（理））设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的定义域为（）．A．（－4,0)∪（0,4)B．（－4，－1)∪（1,4)C．（－2，－1)∪（1,2)D．（－4，－2)∪（2,4)6．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数，也称取整函数，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<07．（2008·重庆·高考真题（理））已知函数SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的最大值为M，最小值为m，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022·新疆·乌市八中高二期末（文））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对于任意SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2018·全国·高三课时练习（文））已知函数SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增 B．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减C．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称 D．SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称11．（2021·全国·高一专题练习）设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，又SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2019·河南·淇滨高中高一期中）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．（2021·全国·高一课时练习）在SKIPIF1<0上定义的函数SKIPIF1<0是偶函数，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，则SKIPIF1<0（）A．在区间SKIPIF1<0上是增函数，在区间SKIPIF1<0上是增函数B．在区间SKIPIF1<0上是增函数，在区间SKIPIF1<0上是减函数C．在区间SKIPIF1<0上是减函数，在区间SKIPIF1<0上是增函数D．在区间SKIPIF1<0上是减函数，在区间SKIPIF1<0上是减函数14．（2021·全国·高一课时练习）定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0满足：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0上方程SKIPIF1<0的实根个数为（

）A．1 B．3 C．2 D．202115．（2021·广西·一模（理））已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是偶函数，SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．（2018·全国·高考真题（文））已知SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的奇函数,满足SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2021·贵州·安顺市第三高级中学高三阶段练习（文））若定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0的根的个数是()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<018．（2018·新疆乌鲁木齐·一模（文））奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．-2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．219．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））已知定义域是R的函数SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．-1 C．2 D．-320．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，又函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+SKIPIF1<0，则（）A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的图象关于直线SKIPIF1<0对称 D．f(x)的图象关于直线SKIPIF1<0对称22．（2022·全国·高一课时练习）对SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<023．（2023·全国·高三专题练习）不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数k的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2018·新疆乌鲁木齐·一模（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若存在唯一整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．（2021·全国·高一课时练习）当SKIPIF1<0时，若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0有解，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<027．（2022·全国·高三专题练习）若存在正数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题28．（2022·全国·高三专题练习）定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，给出下列真命题的有（

）A．SKIPIF1<0是周期函数；B．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称；C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数；D．SKIPIF1<0.29．（2022·全国·高一课时练习）若定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，在区间SKIPIF1<0上，有SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称B．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0成轴对称C．在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为减函数D．SKIPIF1<030．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，SKIPIF1<0是偶函数，当SKIPIF1<0，则下列说法中正确的有（

）A．函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称B．4是函数SKIPIF1<0的周期C．SKIPIF1<0D．方程SKIPIF1<0恰有4不同的根31．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的图象关于点（1，0）对称，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0有3个零点C．SKIPIF1<0的对称中心是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题32．（2007·重庆·高考真题（理））若函数f(x)＝SKIPIF1<0的定义域为R，则a的取值范围为________．33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是____________．34．（2022·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域为________．35．（2022·广东·模拟预测）设定义域