精 品解析：江苏省苏州外国语学校 高三上学期10月月考数学试题（解析版）

第1页/共1页第一学期阶段测试（一）高三数学2024.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，若，则实数的取值集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据，求实数的可能取值，由此可得结果.【详解】集合，又，，所以，故实数a的取值集合为，故选：C.2.若复数，则复数的共轭在复平面内对应的点位于第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】B【解析】【分析】应用复数乘法公式求出，再得到其共轭复数，由几何意义即可判断.【详解】因为，所以，又因为，所以复数的共轭在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.3.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和二倍角的余弦公式可得正确的选项.【详解】，则，，，而，故，故选：B.4.若{an}为等比数列，则“”是“（s，t，p，）”（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的性质，分别从充分性、必要性两方面判断题设条件间的推出关系，进而确定它们充分、必要关系.【详解】充分性：若，当时，，，此时与不一定相等，不充分．必要性：若，则，，所以，综上，“”是“”的必要不充分条件．故选：C5.在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由中点可知CD=12CA+CB，根据模长关系可得，设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用表示，结合模长运算求解【详解】因为D为AB的中点，则CD=可得，即，解得，又因为P为CD上一点，设，则，可得，解得，即，则，可得，即.故选：D.【点睛】关键点睛：1.根据模长关系可得；2.设，根据平面向量基本定理求得；3.以为基底表示，进而运算求解.6.已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】函数的对称轴可表示为：，在上单调可得，使得，然后可得，即可分析出答案.【详解】函数的对称轴可表示为：，在上单调可得，使得，解得又.，∴当3时，可取最大值为【点睛】本题考查的是正弦型函数的对称性和单调性，属于中档题.7.数列满足,且．记数列的前n项和为,则当取最大值时n为（）A.11 B.12 C.11或13 D.12或13【答案】C【解析】【分析】分的奇偶讨论数列的奇偶性分别满足的条件,再分析的最大值即可.【详解】由题,当为奇数时,,.故.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当为偶数时,.故偶数项为公差为-3的等差数列.又即.又.所以.综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着的增大由正变负.故当取最大值时n为奇数.故n为奇数且此时有,解得.故或.故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题.8.已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A. B.28 C. D.14【答案】A【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出的大致图象，如下令，则，根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意，因为，当且仅当时取得等号，又，易知其定义域内单调递减，即，此时有两个整数根或，而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2，显然只有符合题意，当时有，则，解方程得的另一个正根为，又，此时五个整数根依次是，显然最大的根和最小的根和为.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由题意可得，，可判断C；根据可判断A；利用对数的运算可判断B；根据可判断D．【详解】已知，，所以C正确；，即，因为，所以，A错误；，B正确；因，所以，D正确．故选：BCD．10.已知平面直角坐标系中三个点，点为线段上靠近的三等分点，下列说法正确的是（）A.是锐角三角形B.在上的投影向量为C.D.若四边形为平行四边形，则点为【答案】CD【解析】【分析】求出，．可推得，从而得出A项；根据投影向量的公式即可判断B项；可求出，根据数量积的坐标表示计算后，可判断C项；由平行四边形可得，根据向量相等可得到点坐标.【详解】三点位置如图所示，，．因为不共线，所以三点可构成三角形，又，所以为钝角，A项错误；因为，所以在上的投影向量为，B项错误；.因为，点为线段上靠近的三等分点，所以，，，所以，，所以有，C项正确；设Ex,y，则，因为若四边形为平行四边形，所以，即，即，解得，所以.D项正确.故选：CD.11.定义域为R的连续函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（）A.为偶函数BC.若f1=0D.若0为的极小值点，则的最小值为2【答案】ACD【解析】【分析】令，先求，再令，结合奇偶性定义判断A，令，结合换元法判断B，令，结合f1=0，先求出的周期为4，算出即可判断C，利用极小值定义求出的最小值判断D.【详解】对于选项A，令，有，解得或，若，只令，有，则恒为0，所以，所以，只令，有，因为，所以，即，所以f−x=fx，所以为偶函数，故选项对于选项B，令，有，令，所以，故，故选项B错误；对于选项C，若f1=0，令，有，所以，所以fx+2+f所以fx+2=−fx所以的周期为4，因为，f1=0所以，，，所以，所以，故选项C正确；对于选项D，由选项A可知，因为为偶函数，所以只需求解的的取值范围，因为0为极小值点，所以存在，使时，，由选项B可知，，所以，若，则，则有，与时，矛盾，故，所以，解得或，由上述过程同理可证不成立，所以，所以当时，，又因为为偶函数，所以当时，的最小值为，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D，利用极值的定义知存在，使时，，再利用选项B中结论，再分和两种情况，即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是奇函数，则______．【答案】##【解析】【分析】利用奇函数的定义及指数的运算性质即可求解.【详解】由，得，解得，所以的定义域为，因为，所以，因为函数是奇函数，所以，解得.故答案为：.13.在中，，，，点D，E，F分别在，，边上，且，，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可得A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径，则当最小时，需最小，当时，最小，结合题意可计算出此时的长度，即可得的最小值.【详解】由，，故A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径，又，故最小时，需最小，当时，最小，由，故此时，由正弦定理可得，．故答案为：.14.与曲线和曲线均相切的直线的方程为______.【答案】【解析】【分析】设出切点和，求导得到，并写出切线方程，将代入，化简得，从而求出切线方程.【详解】设在点和在点的切线重合，，，故，即，，在点处的切线方程为，将代入得，即，所以，又，故，则，故切线方程为，即.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连结，交于，连结，证明，由线线平行即可推得线面平行；（2）方法一：先证平面，过点作于点，过点作于点，连结，证明是二面角的平面角，借助于直角三角形分别求出和，即可求得；方法二：以为坐标原点，以为一组正交基底建立空间直角坐标系，依题求出相关点和向量的坐标，运用空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】如图，连结，交于，连结.在三棱柱中，侧面是平行四边形，故是的中点，又因是的中点，则得.因平面平面，故得平面.【小问2详解】因侧面均为正方形，则.又因平面，故平面.（方法一）三棱柱是直三棱柱，侧面底面.过点作于点，过点作于点，连结.因为平面，平面平面，所以平面，又因平面，则,因.则平面，因平面，故.即是二面角的平面角.因为侧面均为正方形，，所以，所以,.在直角中，，故，在直角中，，故.即二面角的余弦值为.（方法二）如图，以为坐标原点，以为一组正交基底建立空间直角坐标系.因，侧面均为正方形，故.由，可得设平面的法向量，则有，故可取；又,设平面的法向量，则有，故可取.设二面角的大小为，由图知，为锐角，则.所以二面角的余弦值为.16.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求B；（2）若的中线BD长为，求的最大值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用消去角C，然后化简可得；（2）将两边平方，利用向量数量积性质化简，然后由基本不等式可得.【小问1详解】因为，所以，又，所以，所以，整理得，因为，所以，即，因为，所以，所以，得.【小问2详解】因为D为AC中点，所以，因为，所以，整理得，所以，得，即，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为8.17.已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.（1）求数列和的通项公式；（2）记，其中，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设求得且的公差，再应用等差、等比中项的性质列方程求的基本量，进而写出对应通项公式；（2）运用分组求和，结合裂项相消、错位相减及等比数列前n项和公式求.【小问1详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，，，所以，解得，则，既是和的等差中项，又是其等比中项，所以，则，解得，即，所以，.【小问2详解】∵，，∴.，①，②，①②得：∴，∴.18.已知函数.（1）证明：曲线是中心对称图形；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由函数的定义域，计算的值判断对称中心；（2）利用导数判断的单调性，结合函数对称性列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】函数，定义域为，所以曲线关于点对称.【小问2详解】，因为，，所以，所以在定义域上单调递增.（方法一）又关于点对称，，所以解得.（方法二）因为关于点对称，所以是奇函数，且在区间上单调递增.由，即，即，所以，所以解得.所以实数的取值范围为.19.对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．（1）试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？（2）若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．①求q的取值范围；②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”【答案】（1）符合条件；（2）①；②证明见解析.【解析】【分析】（1）直接利用定义判断结论是否成立；（2）①，根据an的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，求q的取值范围；②要证数列符合“条件”，只要证，构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，由条件只要证即可.【小问1详解】公差为2的等差数列an，设，由，所以公差为2的等差数列an符合条件．【小问2详解】①首项为1，公比为q的正项等比数列an，，对恒成立，若，则，符合．若，数列an单调递增，不妨设，，，设，由（*）式中的m，n任意性得数列bn不递增，，，但当，，矛盾．若，则数