2024-2025学年广东省东莞市某中学九年级（上）期中数学试卷

2024-2025学年广东省东莞市可园中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合

要求的）

1.（3分）下列方程是一元二次方程的是（）

A./+y+3=0B.3/-2=0D.5x+3=0

2.（3分）下面各组图形中，不是相似图形的是（

3.（3分）一元二次方程/+4x=2配方后化为（）

A.（x+2）2=6B.（x-2）2=6C.（x+2）2=-6D.（x+2）2=-2

4.（3分）一元二次方程f+x-2=0的根的情况是（）

A.没有实数根

B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的实数根

5.（3分）在我市组织的一次青少年足球比赛预赛中，每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场（）

A.7B.8C.12D.14

6.（3分）将抛物线＞=/向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（）

A.y=（尤+2）2+3B.y=（x-2）2+3

C.y=（x+2）2-3D.y=（尤-2）2-3

7.（3分）下列对抛物线y=-2（x+3）2-1描述不正确的是（）

A.开口向下B.y有最大值

C.对称轴是直线-3D.顶点坐标为（3,-1）

8.（3分）已知抛物线y=7-2x-1与x轴的一个交点为（m,0）,则代数式nr-2m+2024的值为（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

A.AB.1C.AD.2

23

10.（3分）根据表格中二次函数丫=办2+灰+<?的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程依2+灰+C=

0的一个解x的范围是（）

X00.511.52

y=aj?+bx+c-1-0.513.57

A.0<x<0.5B.0.5<x<lC.l<x<1.5D.1.5<x<2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）一元二次方程W=2024x的解是.

12.（3分）二次函数y=-x?+2的图象与y轴的交点坐标为.

13.（3分）设xi,X2是一元二次方程/-6x+根=0的两个实数根，若xi=2,则尤2的值为.

14.（3分）若点A（3,yi）,B（5,”）在函数y=-?+4x+l的图象上，贝Iyiy2（用

或者“=”连接）.

15.（3分）如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，直到她刚好在镜子中看到旗

杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，镜子与旗杆的水平距离为10米.则旗杆的高度为

16.（3分）如图，抛物线yucu^+Zzr+c（a=0）与x轴交于点（3,0）,对称轴为直线尤=1.结合图象分

析下列结论：①abc<0；③2a+c<0；④一元二次方程cf+bx+kO的两根分别为乂，1，%2=-1.其

X13

中正确的结论有.（请填序号）

q!3\x

Ix=l

三、解答题(本大题共9小题，满分72分.解答写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤)

17.(4分)解方程：?+2r-3=0.

18.(4分)已知二次函数的图象以A(1,-4)为顶点，且过点B(-2,5)

19.(6分)如图，在等腰△ABC中，AD是顶角NA4c的角平分线，垂足为点E.求证：AACDSABCE.

(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象;

x01234…

y30-1…

(2)当尤时，y随尤的增大而减小；

(3)当y>0时，x的取值范围是；

21.(8分)已知关于x的一元二次方程2?-(a+1)x+a-1=0(a为常数).

(1)当。=2时，求出该一元二次方程实数根；

(2)若XI,是这个一元二次方程两根，且XI,X2是以灰为斜边的直角三角形两直角边，求。的值.

22.(10分)根据以下素材，探索完成任务.

素材1随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某

工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，该零件4月份

生产100个，6月份生产144个.

素材2该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/

个时，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，

问题解决

任务1该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；

任务2为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际

售价应定为多少元？

23.(10分)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，

下面是他对击球线路的分析.

如图，在平面直角坐标系中，点A,球网与y轴的水平距离OA=3m,CA=2m,羽毛球的飞行高度

y6")与水平距离无(相)；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)(m)近似满足二次函数关系

(x-1)2+3.2.

(1)求点P的坐标和a的值；

(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计

算判断应选择哪种击球方式.

24.(12分)如图，抛物线y=《x2吟x+2与x轴交于点A，C为线段。1上的一个动点，过点C作x

轴的垂线，交该抛物线于点E.

(1)求直线A8的表达式；

(2)若△ABE的面积取得最大值，求出这个最大值；

(3)当以8,E,。为顶点的三角形与△CD4相似时，求点C的坐标.

备用图

25.(12分)已知关于x的一元二次方程/-(m+1)x+-l(m2+l)=0有实数根.

2

(1)求相的值；

(2)先作y=/-(m+1)x+工6/+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单

2

位长度，再向上平移2个单位长度；

(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+”求后-4〃的最大值和最小值.

2024-2025学年广东省东莞市可园中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合

要求的）

1.（3分）下列方程是一元二次方程的是（）

A./+y+3=0B.3/-2=0C.4^=^D.5x+3=0

x

【解答】解：4该方程属于二元二次方程.

8、该方程属于一元二次方程.

C、该方程属于分式方程.

。、该方程属于一元一次二次方程.

故选：B.

【解答】解：A、两个图形相似;

B、两个图形相似；

C、五角星和六角星不相似；

。、所有的圆都相似，

故选：C.

3.(3分)一元二次方程/+4x=2配方后化为()

A.(x+2)2=6B.(尤-2)2=6C.(x+2)2=-6D.(x+2)2=-2

【解答】解：：/+4x=2,

:.,+4x+5=2+4,

(x+4)2=6.

故选：A.

4.(3分)一元二次方程/+x-2=0的根的情况是()

A.没有实数根

B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的实数根

【解答】解：A=12-7X1X(-2)=5>0,

所以方程有两个不相等的实数根.

故选：D.

5.(3分)在我市组织的一次青少年足球比赛预赛中，每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场()

A.7B.8C.12D.14

【解答】解：设共有x支队伍参赛，

依题意得：Xr(x-6)=28,

2

整理得：x1-x-56=0,

解得："=8,X2—-5(不符合题意，舍去)，

共有8支队伍参赛.

故选：B.

6.(3分)将抛物线y=/向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为()

A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3

C.y=(x+2)2-3D.y—(x-2)2-3

【解答】解：：将抛物线y=/向上平移3个单位再向右平移6个单位，

平移后的抛物线的解析式为：y=(x-2)2+8.

故选：B.

7.(3分)下列对抛物线y=-2(x+3)2-1描述不正确的是()

A.开口向下B.y有最大值

C.对称轴是直线x=-3D.顶点坐标为(3,-1)

【解答】解::抛物线丫=-2(x+3)5-1中。=-2<7,

...抛物线开口向下，y有最大值、2正确；

:抛物线的解析式为；尸-2(x+3)8-1,

・•・抛物线的对称轴是直线1=-3,顶点坐标为（-4,故C正确.

故选：D.

8.（3分）已知抛物线〉=7-2%-1与x轴的一个交点为（m,0）,则代数式机2-2机+2024的值为（

A.2022B.2023C.2024D.2025

【解答】解：把点（m,0）代入＞=/-5x-1,

得m2-3加-1=0,

m7-2m=1,

Am6-2祖+2024=1+2024=2025.

故选：D.

9.（3分）如图，在口A5CD中，对角线AC,点E为OC的中点，EF〃AB交BC于点、F.若A3=4（

【解答】解：・・•四边形ABC。是平行四边形，

:.OC^1AC,

2

,:点、E为OC的中点，

.-.C£=ZOC=A,

26

'：EF//AB,

:.ACEFsACAB,

•EF=CEpnEF=1

ABAC45

：.EF=1,

故选：B,

10.（3分）根据表格中二次函数yuaf+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程0x2+^+。

0的一个解x的范围是（）

x00.511.52

y=a??+bx+c-1-0.513.57

A.0<x<0.5B.0.5<x<lC.l<x<1.5D.1.5<x<2

【解答】解：观察表格可知：当尤=0.5时，y=-4.5,y=l,

方程以%6尤+c=0（aWO,a,b,。为常数）的一个解x的范围是5.5<x<l.

故选：B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）一元二次方程/=2024x的解是xi=0,>=2024.

【解答】解：?=2024%,

移项，得/-2024x=8,

分解因式，得无（尤-2024）=0,

贝Ux=O,x-2024=5,

解得尤1=。，X2=2024.

故答案为：xi=0,尤6=2024.

12.（3分）二次函数y=-7+2的图象与>轴的交点坐标为（0,2）.

【解答】解：当x=0时，y=-lX62+2=3,

...二次函数y=-7+2的图象与y轴的交点坐标为（8,2）.

故答案为：（0,7）.

13.（3分）设xi,无2是一元二次方程7-6x+m=0的两个实数根，若xi=2,则无2的值为4.

【解答】解：：无1,X2是一元二次方程无6-6X+机=0的两个实数根，

.*.X2+X2—6,

7x3=2,

,・X2=4・

故答案为：4.

14.（3分）若点A（3,yi）,B（5,”）在函数y=-W+4x+l的图象上，则yi>y2（用

或者"=”连接）.

【解答】解：当九=3时,yi=-32+4X4+l=4；

当x=6时，y2=-57+4X5+3=-4.

V4>-7,

J.y\>y2.

故答案为：>.

15.（3分）如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，直到她刚好在镜子中看到旗

杆的顶端，己知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，镜子与旗杆的水平距离为10米.则旗杆的高度为8

米.

【解答】解：由题意得：ZABO^ZCDO^90°,/AOB=NCOD,

：.△AOBs^cOD,

•AB=OB

"CD而’

：AB=L6米，OB=7米,

•-•-1--.-6--6,

CD10

解得：CD=S,

；•旗杆的高度为8米，

16.（3分）如图，抛物线y=a/+bx+c（a/0）与x轴交于点（3,0）,对称轴为直线尤=1.结合图象分

析下列结论：①％<0；③2a+c<0；④一元二次方程cN+bx+au。的两根分别为x,」•，X2=-1.其

X13

中正确的结论有①②④.（请填序号）

【解答】解：①由图象可得抛物线开口向下，则。<0,

因此。、6异号，抛物线与y轴交于正半轴，

故abc<Q,故①正确；

②当％=4时，y=4q+2/?+c>5；

③根据抛物线与％轴有交点(3,0),2),

故当x=-1时，a-b+c=0,

又」_=],则>=-2a,

6a

2〃+c=0,

••.2〃+〃+。=7,2〃+。=-a,

2〃+c〉4,

故③错误；

④〃cW0,m^06+ta+c=0的一个根为m,则am2+bm+c=5,

两边同时除以加2,得至lja+6XJi+cX(2)2,

mm

则工是cx7+Z?x+a=0的一个根.

m

由图象可知ax2+bx+c=4的两个根为3,-1,

则反和-1为一元二次方程c/+bx+a=0的两个根，

3

故④正确；

故答案为：①②④.

三、解答题(本大题共9小题，满分72分.解答写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤)

17.(4分)解方程：/+2x-3=0.

【解答】解：x2+2尤-8=0

(x+3)(x-2)=0

••xi=8,X2=-3.

18.(4分)已知二次函数的图象以A(1,-4)为顶点，且过点5(-2,5)

【解答】解：设抛物线解析式为y=。(x-1)2-2,

把8(2,5)代入得4=a(-2-1)2-4,

解得a=l,

所以抛物线解析式为y=(x-7)2-4.

19.(6分)如图，在等腰△ABC中，AD是顶角NBAC的角平分线，垂足为点E.求证：LACDsABCE.

【解答】证明：；4。是等腰△ABC的顶角NA4c的角平分线,

C.ADLBC,

：.ZADC=90°,

：BE是腰AC边上的高，

:./BEC=90°,

ZACD=ZBCE,ZADC^ZBEC,

：.AACDsABCE.

20.(6分)已知二次函数y=/-4x+3.

(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象;

(2)当x<2时,y随x的增大而减小；

(3)当y>0时，x的取值范围是x<l或x>3；

(4)根据图象回答：当0Wx<3时，y的取值范围是-0W3

y

X

【解答】解：(1)当x=3时，y=^-3x+3=0；

当x=7时，y=7-4x+6=3；

补全表格为:

X・・・08234

y…30-503

如图，

(2);抛物线的对称轴为直线尤=5,抛物线开口向上，

...当x<2时，y随x的增大而减小；

故答案为：<2；

(3)抛物线与x轴的交点坐标为(3,0),0),

当y>3时，x的取值范围是x<l或无>3；

故答案为：x<5或x>3；

(4)当x=0时，y=3；

当x=2时，y有最小值为-1,

当x=6时，y=0,

...当0Wx<3时，y的取值范围是-lWyW3.

故答案为：-7WyW3.

21.(8分)已知关于x的一元二次方程2/-(a+1)x+a-1=0(a为常数).

(1)当。=2时，求出该一元二次方程实数根；

(2)若XI,也是这个一元二次方程两根，且XI,冠是以灰为斜边的直角三角形两直角边，求。的值.

【解答】解：(1)把a=2代入一元二次方程2/-(a+1)x+a-1=5得2/-7尤+1=0,

贝ij(8x-l)(x-1)=5,

解得Xl=」，X2—1;

6

(2)\'x4,X2是一元二次方程2”-(a+1)x+a-1=6两根,

；.尤1+无2=-3+2,苫1彳6=户一］,

22

：X5,尤2是以遥为斜边的直角三角形两直角边，

.■.X52+X24=(A/5)2>

(X8+X2)2-2X1X2—3,

：.(a+1)7_2Xa-l=5)

27

解得41=-5(负值舍去)，02=5.

故a的值为6.

22.(10分)根据以下素材，探索完成任务.

素材1随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某

工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，该零件4月份

生产100个，6月份生产144个.

素材2该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/

个时，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，

问题解决

任务1该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；

任务2为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际

售价应定为多少元？

【解答】解：(1)设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为尤，

根据题意得：100(2+无)2=114,

解得：xi=8.2=20%,X2=-3.2(不符合题意，舍去).

答：该车间4月份到3月份生产数量的平均增长率为20%；

(2)设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为(y-30)元，

根据题意得：(j-30)(1000-10y)=10000,

整理得：y2-130y+4000=0,

解得:y8=50,-2=80,

又•••要尽可能让车企得到实惠，

；.y=50.

答：该零件的实际售价应定为50元.

23.(10分)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，

下面是他对击球线路的分析.

如图，在平面直角坐标系中，点A,球网4B与y轴的水平距离OA=3m,CA=2m,羽毛球的飞行高度

y(相)与水平距离x(m)；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)(m)近似满足二次函数关系y=a

(x-1)2+3.2.

(1)求点P的坐标和a的值；

(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计

算判断应选择哪种击球方式.

【解答】解：⑴在y=-0.4x+3.8中，令尤=0得y=5.8,

...点尸的坐标为(0,3.8)；

把尸(0,6.8)代入y=a(x-1)8+3.2得:0+3.2=2.3,

解得：a=-0.4,

•,•a的值是-6.4；

(2)；04=3CA=4根,

OC—5m,

：.C(5,3),

在y=-0.4x+3.8中，令y=0得无=2,

在y=-0.4(尤-6)2+3.8中，令y=0得x=-2我加+1^8.83,

V|7-5|>|4.83-5|,

.•.选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近.

24.(12分)如图，抛物线y=-^x2$x+2与％轴交于点4C为线段。4上的一个动点，过点C作x

轴的垂线，交该抛物线于点E.

(1)求直线AB的表达式；

(2)若AABE的面积取得最大值，求出这个最大值；

(3)当以8,E,。为顶点的三角形与△CD4相似时，求点C的坐标.

【解答】解：(1)令y=0,贝Uy=-lx2Wx+4=O，

33

'.x=-工或x=3,

2

(3,2),

令x=0,贝!|y=2,

：.B(4,2),

由点A、2的坐标得直线A2的表达式为：＞=-2;

5

(2)设点E(无，-+也+2),,当+2),

333

则DE—-—.^+-12.%+2-(-2&4+4彳，

3823

则△ABE的面积=LXOEXAO